2007年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2007年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角2（5分）函數(shù)f（x）=3x（0x2）的反函數(shù)的定義域為（）A（0，+）B（1，9C（0，1）D9，+）3（5分）平面平面的一個充分條件是（）A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b4（5分）已知O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且，那么（）ABCD5（5分）記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求

2、排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A1440種B960種C720種D480種6（5分）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是（）AB0a1C0a1或D7（5分）如果正數(shù)a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（）Aabc+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一Babc+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一Cabc+d且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一Dabc+d且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一8（5分）對于函數(shù)f（x）=lg（|x2|+1），f（x）=（x2）2，f（x）=cos（x+2），判斷如下三個命題的真假：命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；命

3、題乙：f（x）在（，2）上是減函數(shù)，在（2，+）上是增函數(shù)；命題丙：f（x+2）f（x）在（，+）上是增函數(shù)能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是（）ABCD二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）=10（5分）若數(shù)列an的前n項和Sn=n210n（n=1，2，3，），則此數(shù)列的通項公式為；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第項11（5分）在ABC中，若tanA=，C=150，BC=2，則AB=12（5分）已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40若AB=，則實數(shù)a的取值范圍是13（5分）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是

4、由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么cos2的值等于14（5分）已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出x123f（x）131x123g（x）321則fg（1）的值為；滿足fg（x）gf（x）的x的值是三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列（1）求c的值；（2）求an的通項公式16（14分）如圖，在RtAOB中，斜邊AB=4RtAOC可以通過RtAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到

5、，且二面角BAOC是直二面角動點D在斜邊AB上（）求證：平面COD平面AOB；（）當(dāng)D為AB的中點時，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大??；（）求CD與平面AOB所成角最大時的正切值大小17（14分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x3y6=0點T（1，1）在AD邊所在直線上（）求AD邊所在直線的方程；（）求矩形ABCD外接圓的方程；（）若動圓P過點N（2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程18（13分）某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）該校合唱團共有100名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖

6、所示（1）求合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（2）從合唱團中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率（3）從合唱團中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E19（13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S（）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（）求面積S的最大值20（13分）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S=（a，b）|aA，bA，a+b

7、A，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n若對于任意的aA，總有aA，則稱集合A具有性質(zhì)P（）檢驗集合0，1，2，3與1，2，3是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；（）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；（）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角【解答】解：costan=sin0，角是第三或第四象限角，故選C2（5分）函數(shù)f（x）=3x（0x

8、2）的反函數(shù)的定義域為（）A（0，+）B（1，9C（0，1）D9，+）【解答】解：函數(shù)f（x）=3x（0x2）的反函數(shù)的定義域就是函數(shù)f（x）=3x（0x2）的值域，由函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)得 1f（x）9，故選 B3（5分）平面平面的一個充分條件是（）A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b【解答】證明：對于A，一條直線與兩個平面都平行，兩個平面不一定平行故A不對；對于B，一個平面中的一條直線平行于另一個平面，兩個平面不一定平行，故B不對；對于C，兩個平面中的兩條直線平行，不能保證兩個平面平

9、行，故C不對；對于D，兩個平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個平面，可以保證兩個平面平行，故D正確4（5分）已知O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且，那么（）ABCD【解答】解：，D為BC邊中點，則，故選：A5（5分）記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A1440種B960種C720種D480種【解答】解：可分3步第一步，排兩端，從5名志愿者中選2名有A52=20種排法，第二步，2位老人相鄰，把2個老人看成整體，與剩下的3名志愿者全排列，有A44=24種排法第三步，2名老人之間的排列，有A22=2種排法最后，三步方

10、法數(shù)相乘，共有20242=960種排法故選B6（5分）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是（）AB0a1C0a1或D【解答】解：由題意可知：畫可行域如圖：不等式組 表示的平面區(qū)域是一個三角形及其內(nèi)部，且當(dāng)直線x+y=a過直線y=x與直線2x+y=2的交點時，a=所以a的取值范圍是：0a1或a故選C7（5分）如果正數(shù)a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（）Aabc+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一Babc+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一Cabc+d且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一Dabc+d且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一【解答】解：如果a，b是正

11、數(shù)，則根據(jù)均值不等式有：，則（a+b）24ab如果c，d是正數(shù)，則根據(jù)均值不等式有：； 則a，b，c，d滿足a+b=cd=4，2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=2時取等號化簡即為：abc+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一故選A8（5分）對于函數(shù)f（x）=lg（|x2|+1），f（x）=（x2）2，f（x）=cos（x+2），判斷如下三個命題的真假：命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；命題乙：f（x）在（，2）上是減函數(shù)，在（2，+）上是增函數(shù)；命題丙：f（x+2）f（x）在（，+）上是增函數(shù)能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是（）ABCD【解答】解：若f（x）=lg（|x2|+1）則：f（x+2

12、）是偶函數(shù)，此時命題甲為真；f（x）在（，2）上是減函數(shù)，在（2，+）上是增函數(shù)；此時命題乙為真；但f（x+2）f（x）在（，+）上不是單調(diào)遞增的；此時命題丙為假f（x）=（x2）2則：f（x+2）是偶函數(shù)，此時命題甲為真；f（x）在（，2）上是減函數(shù)，在（2，+）上是增函數(shù)；此時命題乙為真；但f（x+2）f（x）=4x4在（，+）上是增函數(shù)的；此時命題丙為真若f（x）=cos（x+2），則：f（x+2）是不偶函數(shù)，此時命題甲為假；f（x）在（，2）上不是減函數(shù)，在（2，+）上不是增函數(shù)；此時命題乙為假；但f（x+2）f（x）在（，+）上不是單調(diào)遞增的；此時命題丙為假故選D二、填空題（共6小題

13、，每小題5分，滿分30分）9（5分）=i【解答】解：=故答案為：i10（5分）若數(shù)列an的前n項和Sn=n210n（n=1，2，3，），則此數(shù)列的通項公式為2n11；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第3項【解答】解：由題意可知：數(shù)列an的前n項和Sn=n210n（n=1，2，3，），當(dāng)n=1時，a1=s1=110=9；當(dāng)n1時，an=snsn1=n210n（n1）2+10（n1）=2n11；綜上可知：數(shù)列的通項公式為an=2n11，nN*數(shù)列nan的通項公式為：，所以當(dāng)n為3時數(shù)列nan中數(shù)值最小故答案為：an=2n11，nN*、311（5分）在ABC中，若tanA=，C=150，BC=2，則AB=

14、【解答】解：tanA=sinA=根據(jù)正弦定理可得：AB=故答案為：12（5分）已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40若AB=，則實數(shù)a的取值范圍是（2，3）【解答】解：集合A=x|xa|1=x|a1xa+1，B=x|x25x+40=x|x4或x1又AB=，解得2a3，即實數(shù)a的取值范圍是（2，3）故應(yīng)填（2，3）13（5分）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么cos2的值等于【解答】解：大正方形面積

15、為25，小正方形面積為1，大正方形邊長為5，小正方形的邊長為15cos5sin=1，cossin=兩邊平方得：1sin2=，sin2=是直角三角形中較小的銳角，0cos2=故答案為：14（5分）已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出x123f（x）131x123g（x）321則fg（1）的值為1；滿足fg（x）gf（x）的x的值是2【解答】解：fg（1）=f（3）=1當(dāng)x=1時fg（1）=1，gf（1）=g（1）=3不滿足fg（x）gf（x）當(dāng)x=2時，fg（2）=f（2）=3，gf（2）=g（3）=1滿足fg（x）gf（x）當(dāng)x=3時fg（3）=f（1）=1，gf（3）=g（1）=3不滿足

16、fg（x）gf（x）故滿足fg（x）gf（x）的x的值是2故答案為1；2三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列（1）求c的值；（2）求an的通項公式【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因為a1，a2，a3成等比數(shù)列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2當(dāng)c=0時，a1=a2=a3，不符合題意舍去，故c=2（2）當(dāng)n2時，由于a2a1=c，a3a2=2c，anan1=（n1）c，所以又a1=2，c=2，故an=2+n（n1）=n2n+2

17、（n=2，3，）當(dāng)n=1時，上式也成立，所以an=n2n+2（n=1，2，）16（14分）如圖，在RtAOB中，斜邊AB=4RtAOC可以通過RtAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC是直二面角動點D在斜邊AB上（）求證：平面COD平面AOB；（）當(dāng)D為AB的中點時，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大?。唬ǎ┣驝D與平面AOB所成角最大時的正切值大小【解答】解：（I）由題意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，又二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBO=O，CO平面AOB，又CO平面COD，平面COD平面AOB（4分）（II）解法一：作DEOB，垂足為E，連接

18、CE（如圖），則DEAO，CDE是異面直線AO與CD所成的角在 RtCOE中，CO=BO=2，又在RtCDE中，異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為（9分）解法二：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖，則O（0，0，0），C（2，0，0），=異面直線AO與CD所成角的余弦值為（9分）（III）由（I）知，CO平面AOB，CDO是CD與平面AOB所成的角，且當(dāng)OD最小時，CDO最大，這時，ODAB，垂足為D，CD與平面AOB所成角的最大時的正切值為（14分）17（14分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x3y6=0點T（1，1）在AD邊所在直線上（）求AD

19、邊所在直線的方程；（）求矩形ABCD外接圓的方程；（）若動圓P過點N（2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程【解答】解：（I）因為AB邊所在直線的方程為x3y6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為3又因為點T（1，1）在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為y1=3（x+1）3x+y+2=0（II）由解得點A的坐標(biāo)為（0，2），因為矩形ABCD兩條對角線的交點為M（2，0）所以M為矩形ABCD外接圓的圓心又從而矩形ABCD外接圓的方程為（x2）2+y2=8（III）因為動圓P過點N，所以|PN|是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切，所以|PM|=|PN|+2，

20、即|PM|PN|=2故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支因為實半軸長a=，半焦距c=2所以虛半軸長b=從而動圓P的圓心的軌跡方程為18（13分）某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）該校合唱團共有100名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示（1）求合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（2）從合唱團中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率（3）從合唱團中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E【解答】解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40（1）該合唱團學(xué)生參加活動的人均次

21、數(shù)為=2.3（2）從合唱團中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為P0=（3）從合唱團中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件A，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件B，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件C易知P（=1）=P（A）+P（B）=+=；P（=2）=P（C）=；的分布列：的數(shù)學(xué)期望：E=0+1+2=19（13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S（）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（）求面積S的最大值【解答】解：（I）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系Oxy（如圖），則點C的橫坐標(biāo)為x，點C的縱坐標(biāo)y滿足方程，解得=，其定義域為x|0xr（II）記f（x）=4（x+r）2（r2x2），（0xr），則f（x）=8（x+r）2（r2x）令f（x）=0，得因為當(dāng)時，f（x）0；當(dāng)時，f（x）0，所以是f（x）的最大值因此，當(dāng)時，S也取得最大值，最大值為即梯形面積S的最大值為20（13分）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i