空間解析幾何ppt課件

1、第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何好像平面解析幾何那樣，空間解析幾何是經(jīng)過建立空間直角坐標(biāo)，把空間的點(diǎn)與三元有序數(shù)組對(duì)應(yīng)起來，用三元方程及方程組來表示空間幾何圖形，從而可以用代數(shù)的方法來研討空間幾何問題，而這又是學(xué)習(xí)微積分的根底。1 向量及其線性運(yùn)算 一.向量的概念1.數(shù)量與向量：僅有數(shù)值大小的物理量稱數(shù)量或標(biāo)量，如溫度、時(shí)間等。不僅有大小，還有方向的量稱向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：普通用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的記法：用粗體字母，如a、I；或上面加箭頭的字母，如a4.向量的模：即向量的大小，MM21用順序?qū)懗鍪键c(diǎn)和終點(diǎn)的記法，如特殊情

2、形：?jiǎn)挝幌蛄浚耗５扔?；零向量：模等于0，記為0，其方向可以是恣意的；負(fù)向量：與a大小相等方向相反的向量，記為-a.a的模記為a而其屬性不變，本章中只研討自在向量。5.自在向量：與始點(diǎn)位置無關(guān)的向量，可以對(duì)其進(jìn)展平移1.向量的加法：即向量的合成，可參照力的合成法那么 定義：將a、b的始點(diǎn)放在一同，以a、b 為鄰邊作平行四邊形，那么從始點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱a、b 的和，記a+b稱平行四邊形法那么。aba+b稱為平行向量，也稱為共線，易知其方向一樣或相反。假設(shè)a與b在同一條直線上或在兩條平行直線上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向一樣，記a=b.二.向量的線性運(yùn)算： 平行向量的和：當(dāng)a與

3、b方向一樣時(shí)，其和向量的模等于兩向量模之和，其方向與a、b 方向一樣；當(dāng)a與b方向相反時(shí)，其和向量的模等于兩向量模之差，其方向與a、b 中模較大的向量的方向一樣； 運(yùn)算律： 1交換律：a+b=b+a 2結(jié)合律：a+b+c= a+(b+c)三角形法那么：向量的加法還可以運(yùn)用三角形法那么，如圖： 特殊情況： a+0 = a ； a +- a = 0.babaaba+b0)()4aaaa0) 3621aaas3a2a1a4a5as6a2.向量的減法：兩向量a與b的差a-b規(guī)定為a+-b，可運(yùn)用三角形法那么求出，如圖：aba-b2.向量在軸上的投影： 點(diǎn)在軸上的投影：過A作軸u的垂直平面，那么與u的交

4、點(diǎn)A稱為A在軸u上的投影. 如圖：AA 向量在軸上的投影：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，y1，B點(diǎn)坐標(biāo)為x2，y2，那么x2-x1稱為向量 在x軸的投影，記作 ABprjxAB12xxBAprjx同樣12yyBAprjy1x1y2y2x令 分別為x軸上的單位向量，那么有ji,jyyixxAB)()(1212),(1212yyxxAB或AB將投影 ， 分別叫做向量 的坐標(biāo)12xx 12yy 再設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo) ，那么 ),(33yx23xxCBprjx不難證明CBjABjCBABjxxxPrPr)(PrCBjABjCBABjyyyPrPr)(Pr即和的投影等于投影的和普通地有： 個(gè)向量之和在 軸上的投影等于各

5、個(gè)向量在 軸上投影之和nuu注：相等向量在同一軸上的投影相等。 易知，當(dāng)向量與軸成銳角時(shí)投影為正；成鈍 角時(shí)投影為 負(fù)；成直角時(shí)投影為0.BAAuBBu3.關(guān)于向量投影的定理： 定理1：向量 在軸 上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦。ABu其中=)(ABu即 cosBABAprju 任何一個(gè)向量可在坐標(biāo)軸上的分解，即任何一個(gè)向量可在坐標(biāo)軸上的分解，即jaiaayx分別稱為分別稱為 在在 軸，軸， 軸上的向量軸上的向量xyajaiayx,aprjaxxaprjayy稱為投影，或坐標(biāo)，或數(shù)量稱為投影，或坐標(biāo)，或數(shù)量yxaa ,jaiaayxm 假設(shè)知向量的坐標(biāo)假設(shè)知向量的坐標(biāo) ,那么向量

6、的大小和那么向量的大小和m 方向就被確定由方向就被確定由 m 可得可得22yxaaaaax cosaay cos cos,cos稱為稱為 的方向余弦的方向余弦a定理：數(shù)與向量的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘積ajajuuPr)(Pr a總之，我們將數(shù)量和向量這一對(duì)矛盾一致在 之中jaiaayx2 空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)一.空間直角坐標(biāo)系： 1.定義：由過同一原點(diǎn)O作三條相互垂直的數(shù)軸分別稱ox軸、oy軸、oz軸，又稱橫軸、縱軸、豎軸，按右手法那么陳列所組成的坐標(biāo)系稱為空間直角坐標(biāo)系，記為Oxyz。其中以三坐標(biāo)軸正向確定的稱第卦限，按逆時(shí)針方向依次稱第、卦限，第卦限下面稱第卦限

7、，再按逆時(shí)針方向依次稱第、卦限。3.點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)有空間中點(diǎn)M，過M作三個(gè)平面分別垂直于Ox、Oy、Oz軸，并分別交三軸于點(diǎn)P、Q、R，設(shè)這三點(diǎn)在三軸上的坐標(biāo)分別為x、y、z，那么稱M點(diǎn)的在該空間坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x,y,z)，并記M點(diǎn)為M(x,y,z).如圖：2.有關(guān)概念：在上面定義中的點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)；Ox軸、Oy軸、Oz軸稱坐標(biāo)軸；由每?jī)蓷l坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，其中由Ox軸和Oy軸所確定的平面稱為xOy面，依次類推；三個(gè)坐標(biāo)平面把整個(gè)空間分為八個(gè)部分，每個(gè)部分稱為一個(gè)卦限，OQPzyxMR坐標(biāo)平面：xOy面上為x,y,0)，yOz面上為0,y,z)，zOx上為 x,0,z)； 坐標(biāo)

8、卦限：在第卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)依次為(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分別稱M點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。4.坐標(biāo)特征：點(diǎn)的坐標(biāo)有以下特征：坐標(biāo)原點(diǎn)：0,0,0；坐標(biāo)軸：x軸上為x,0,0)，y軸上為0,y,0)，z軸上為0,0,z)； zkyjxiOM也可記為zyxOM,二.向量的坐標(biāo)：1.根本單位向量：此向量的坐標(biāo)為OM為點(diǎn)M的向徑，稱向量設(shè)有空間中點(diǎn)Mx,y,z)， 2.點(diǎn)M的向徑的坐標(biāo)：分別記為i、j、k.正向一樣的三個(gè)單位向量與x軸、y軸、z軸5.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)代數(shù)表示：

9、設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中兩點(diǎn)，AB3.向量的坐標(biāo)：易知：AB=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐標(biāo)分別為1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐標(biāo)：設(shè)有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,那么有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k即ax= bx,ay= by,az= bz,從中消去得zzyyxxbababa其中假設(shè)上式中某個(gè)分母為0，那么其分子也為0.6.兩向量平行的充要條件：我們知兩向量a與b平行的充要條件是a= b,即兩向量平行的充要條件是其坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例例1 知兩向量知兩向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k三.模與方向余弦的坐標(biāo)表示： 1.模：222zyxaaaa其他弦稱為該向量的方向余弦。aaaaaazyx cos