D平面與空間直線PPT學習教案

1、會計學1D平面與空間直線平面與空間直線kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共25頁此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

2、第2頁/共25頁此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共25頁以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平

3、面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共25頁 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,),

4、0(iCBn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共25頁例例3.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy(P327 例4 , 自己練習) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共25頁設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 機動 目錄

5、上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共25頁221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共25頁因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M

6、, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共25頁外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:設平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共25頁xyzo0M求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面

7、所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共25頁1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共25頁0212121CCBBAA21

8、2121CCBBAA2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(1111CBAn 第13頁/共25頁一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關系二、線面間的位置關系 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 空間直線及其方程 第七七章 第14頁/共25頁xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)機動 目錄 上

9、頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共25頁),(0000zyxM故有說明說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.mxx000yyxx設直線上的動點為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對稱式方程對稱式方程(也稱為點向式方程點向式方程)直線方程為s已知直線上一點),(0000zyxM),(zyxM例如, 當,0, 0時pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共25頁設得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共25頁解解:先在直線上找一點.04320

10、1 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共25頁故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點;再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共25頁2L1L則兩直線夾角 滿足21, LL設直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳

11、角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共25頁特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共25頁解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為(參考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共25頁當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(