D671對(duì)坐標(biāo)曲線積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D671對(duì)坐標(biāo)曲線積分對(duì)坐標(biāo)曲線積分函數(shù)函數(shù)(物理量的分布物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng) (數(shù)性函數(shù)數(shù)性函數(shù))場(chǎng)場(chǎng)向量場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù)矢性函數(shù))如如: 溫度場(chǎng)溫度場(chǎng), 電勢(shì)場(chǎng)等電勢(shì)場(chǎng)等數(shù)量場(chǎng)的等值面數(shù)量場(chǎng)的等值面( , , )u x y zc向量場(chǎng)的向量線向量場(chǎng)的向量線( , , )( , , ), ( , , ),( , , )A x y zX x y z Y x y z Z x y z第1頁(yè)/共31頁(yè)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn)平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)

2、 B, 求移求移cosABFW “大化小大化小” “常代變常代變”“近似和近似和” “取極限取極限”恒力沿直線所作的功恒力沿直線所作的功解決辦法解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功動(dòng)過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO第2頁(yè)/共31頁(yè)1kMkMABxy2) “常代變常代變”L把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功為,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykxO第3頁(yè)/共31頁(yè)4) “

3、取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中其中 為為 n 個(gè)小弧段的個(gè)小弧段的 最大長(zhǎng)度最大長(zhǎng)度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO第4頁(yè)/共31頁(yè)設(shè)設(shè) L 為為xOy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對(duì)若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn)的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在都存在,在有向曲線弧在有向曲線弧 L 上上對(duì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)或或第二

4、類曲線積分第二類曲線積分.其中其中, ),(yxPL 稱為稱為積分弧段積分弧段 或或 積分曲線積分曲線 .稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作記作),(yxF),(yxQ第5頁(yè)/共31頁(yè)LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若若 為空間曲線弧為空間曲線弧 , 記記稱為對(duì)稱為對(duì) x 的曲線積分的曲線積分;稱為對(duì)稱為對(duì) y 的曲線積分的曲線積分.若記若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxP

5、sFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地類似地, 第6頁(yè)/共31頁(yè)(1) 若若 L 可分成可分成 k 條有向光滑曲線弧條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 則則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則則 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段

6、的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !第7頁(yè)/共31頁(yè)(3) 若由閉合曲線C所圍成的平面區(qū)域被劃分為兩個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域1和2 ，它們的邊界分別記作C1 ，C2 ，那么沿閉合曲線C的第二型線積分等于按同一方向閉合曲線 C1和C2 的第二型線積分之和，即CddP xQ y其中曲線C、C1和C2 或者都取正向或者都取負(fù)向.12CCddddP xQ yP xQ y第8頁(yè)/共31頁(yè)12+C+CADBAABEAADBBAABBEA ADBBEAC將上式兩端同乘以-1，并利用性質(zhì)2就有12-C-C -C第9頁(yè)/共31頁(yè)定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)

7、方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),存在, 且有第10頁(yè)/共31頁(yè)特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則)(xLyyxQxyxPd),(d),(對(duì)空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 第11頁(yè)/共31頁(yè)13例例1 122(1)dd ,:cos ,sin ,(02 )CIyxxy C xat yatt 求223(2)6

8、d10d ,:(1,1)(2,8)CIx y xxyyC yx求其中從到的一段解解22(1)ddCIyxxy求2023330sincosdattt 022(2)6d10dCIx y xxyy求212591630dxxx261013xx61023 24 2222sin(sin )cos( cos ) datatat att23626() 10 ()(3) dxxx xxxoxy1 23132第12頁(yè)/共31頁(yè),dLxyx其中L 為沿拋物線xy2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xx

9、yyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1(A第13頁(yè)/共31頁(yè)yxO其中 L 為,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(1

10、32334aaaxd00則則第14頁(yè)/共31頁(yè),dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO第15頁(yè)/共31頁(yè)例例5 5解解oxy3222d3dCyxyx yx計(jì)算(0,0)(1,1)OBC其中起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為和的積分路徑 為2(1)(0,0), (1,0),

11、 (1,1),(2),(3)OAByxyx依次聯(lián)結(jié)的有向折線AB322(1)2d3dCyxyx yxOAAB 1002 dy y0y 1x 322(2)2d3dCyxyx yx1405dyxxx322(3)2d3dCyxyx yx215240(223)dyxxxxxx111第16頁(yè)/共31頁(yè)BAyxzO作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿 移動(dòng)到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222

12、k其中 為 ),(zxyFsFWdsFWd第17頁(yè)/共31頁(yè),d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO第18頁(yè)/共31頁(yè)O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 121

13、01d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd第19頁(yè)/共31頁(yè)例例9. 質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從空間一點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，從空間一點(diǎn)A沿某光滑曲線沿某光滑曲線C移動(dòng)到另一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)B，求重力所做的功，求重力所做的功W。第20頁(yè)/共31頁(yè)(,)(cos ,cos,cos )dx dy dzeds ds dsoxyABCM ( , , ) d( , , )dCCA x y zsA x y zes dddcoscoscosdCCX xY yZ zXYZsAdsds222(d )(d )(d )ddsxyzsd sd ,d ,dx y zedszd d d x iy jz kd ,d ,d

14、x y z( , , ), ( , , ),( , , )AX x y z Y x y z Z x y z() d s()CCA MA M e ds第21頁(yè)/共31頁(yè)oxyABCMAdsz兩型線積分的異同（1）第一型線積分無方向， 第二型線積分有方向。（2）第一型線積分是對(duì)弧長(zhǎng)的積分， 第二型線積分是對(duì)坐標(biāo)的積分（3）第一型線積分對(duì)應(yīng)參數(shù)的下限小，上限大， 第二型線積分對(duì)應(yīng)參數(shù)的下限為起點(diǎn)，上限為終點(diǎn)（4）第一型線積分用于求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等， 第二型線積分用于求變力作功、引力場(chǎng)作功等。（5）兩類線積分的被積函數(shù)都定義在曲線上。（6）兩類線積分的計(jì)算都是化為定積分計(jì)算的。第22頁(yè)/共31頁(yè)

15、將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周第23頁(yè)/共31頁(yè)1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L

16、 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!第24頁(yè)/共31頁(yè),)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(第25頁(yè)/共31頁(yè)zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszR

17、yQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 第26頁(yè)/共31頁(yè) F原點(diǎn) O 的距離成正比,1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時(shí)針移動(dòng)到, ),0(bBO),(yxMxy)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解見 P196 例5), ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk 思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 第27頁(yè)/共31頁(yè)解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A線移動(dòng)到, )2,4,4(B向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xOy 面的距離成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F 作用下由點(diǎn)222zyxkzjyixzk第28頁(yè)/共31頁(yè)2222a