線性方程組的表示、消元法

1、1第四章第四章 向量與線性方程組向量與線性方程組2定義定義1211112211211222221122ij,(system of linear equations),a (1,2, ;1,2, )(1,n2, )nnnnnsssnnsxxxa xa xa xba xa xaxba xa xa xbis jnis 1 1i i含含有有n n個個未未知知變變量量的的一一次次方方程程組組元元線線性性方方程程組組稱稱為為稱稱為為，b b稱稱系系數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)項項. .1 線性方程組的表示、消元法線性方程組的表示、消元法3111212122212nnsssnaaaaaaAaaa ， 1122,nnxb

2、xbXxb 讓讓(,).AA AA 系系數(shù)數(shù)矩矩稱稱為為線線性性方方程程組組陣陣增增的的， 稱稱為為廣廣矩矩陣陣. .412A=(,),nA 對對系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣進進行行列列分分塊塊則則可可得得到到線線性性方方程程組組的的：向向量量形形式式1122.nnxxx 線線性性方方程程也也可可以以表表示示為為求求和和形形式式：nijj= 1a, (1, 2,).jixbis .A X ： 矩矩 陣陣 形形 式式借助于矩陣乘法，線性方程組可表示為借助于矩陣乘法，線性方程組可表示為512000,AX=.nccnXAXXc 維維向向量量若若滿滿足足則則稱稱是是線線性性方方程程組組的的一一個個，方方程程組組解

3、解的的全全體體構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合稱稱為為解解集集合合相相等等的的方方程程組組稱稱為為同同解解方方程程組組 常常數(shù)數(shù)項項有有非非零零項項的的線線性性方方程程組組稱稱為為，常常數(shù)數(shù)項項全全為為零零的的解解解解集集合合非非齊齊次次線線性性方方程程組組齊齊次次線線為為性性方方程程組組稱稱6線性方程組研究的主要問題為：線性方程組研究的主要問題為：（1）線性方程組是否有解？）線性方程組是否有解？（2）線性方程組如有解，有多少個解）線性方程組如有解，有多少個解?（3）線性方程組如有解，如何求解？）線性方程組如有解，如何求解？如解有無窮多，如何表示所有的解？如解有無窮多，如何表示所有的解？7引例引例)1(求

4、解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342用消元法解下列方程組的過程用消元法解下列方程組的過程2 8解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx13429)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 ,

5、 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：10解得解得 3344321xcxcxcx.3可任意取值可任意取值x方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c 30340111cx即即(2), 3, 3, 443231 xxxxx方程組的解為方程組的解為令令,3cx 11 從上面的例子我們可以看出，用消元法解線從上面的例子我們可以看出，用消元法解線性方程組，實際上是對線性方程組施行了以下性方程組，實際上是對線性方程組施行了以下三種變換：三種變換：(

6、1)互換兩個方程的位置；互換兩個方程的位置；(2)用一用一非零非零數(shù)數(shù)c乘某一方程；乘某一方程；(3)(3)把其中一個方程的把其中一個方程的k倍加到另一個方程上倍加到另一個方程上我們稱以上三種變換為線性方程組的初等變換我們稱以上三種變換為線性方程組的初等變換 12 這三種初等變換只改變了線性方程組這三種初等變換只改變了線性方程組的系數(shù)和常數(shù)，而未知量保持不變。因此，的系數(shù)和常數(shù)，而未知量保持不變。因此，如果將未知量與系數(shù)和常數(shù)項分離開來，如果將未知量與系數(shù)和常數(shù)項分離開來，實際上是對系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成的實際上是對系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成的增廣矩陣增廣矩陣作了三種初等作了三種初等行行變換。因此解線性方程組

7、變換。因此解線性方程組時只需對由系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的增廣矩時只需對由系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的增廣矩陣作初等陣作初等行行變換。變換。 13問題：問題：（1）為什么經(jīng)過一系列的初等）為什么經(jīng)過一系列的初等行行變換以后得變換以后得到的新的方程組的解為原方程組的解。我們到的新的方程組的解為原方程組的解。我們需要給出它的理論依據(jù)。需要給出它的理論依據(jù)。(2)(2)是否任意一個線性方程組都有解，在什么是否任意一個線性方程組都有解，在什么條件下方程組無解？條件下方程組無解？ 14(,)(.),(,AACCAXCXCXAX 理理 論論 根根 據(jù)據(jù)這這 個個 過過 程程 相相 當當 于于 對對作作 有有限限 多多

8、次次 初初 等等變變 換換 ， 變變 為為消消 元元 法法 解解 線線 性性 方方 程程 組組 的的：對對 線線 性性 方方 程程 組組做做 有有 限限 多多 次次 初初等等 變變 化化 換換 化化 為為 線線 性性 方方 程程 組組則則與與行行同同 解解% % %150000010(,)PACPAPA PCPAPBXAXAXPCXXCXPAX %這這是是因因為為存存在在可可逆逆矩矩陣陣 ，使使得得，得得，。如如果果是是的的解解，則則，用用 左左乘乘等等式式兩兩端端得得到到；反反之之，若若滿滿足足，用用左左乘乘等等式式兩兩端端得得，故故兩兩方方程程組組同同解解。16階梯矩陣階梯矩陣定義定義()

9、,A. Jordan)()A.ijm nAa 設(shè)設(shè)矩矩陣陣的的每每一一行行的的第第一一個個非非零零元元稱稱為為該該行行的的若若A A的的所所有有元元素素全全為為零零的的行行如如果果存存在在這這樣樣的的零零行行 都都位位于于最最下下端端，而而不不全全為為零零的的行行依依次次的的首首元元所所在在的的列列標標是是嚴嚴格格增增加加的的，則則稱稱A A是是（l la ad dd de er r m ma at tr ri ix x) ). .若若首首元元皆皆為為1 1, ,同同時時首首元元所所在在列列其其余余元元素素皆皆為為零零的的階階梯梯形形矩矩陣陣首首元元階階梯梯形形矩矩陣陣若若當當（稱稱階階梯梯形

10、形為為例例001011001, 第一，二，三行的首元所第一，二，三行的首元所在的列依次為在的列依次為2，1，3，不是嚴格增的，故不是階不是嚴格增的，故不是階梯行梯行.17（1）可劃出一）可劃出一條階梯線，線的條階梯線，線的下方全為零；下方全為零；5 00000310003011040101B （2）每個臺）每個臺階階 只有一行，只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元零元行階梯形矩陣行階梯形矩陣特點：特點： 0000010000001000011018回顧回顧:

11、消元法解方程的過程實際上就是用一系列消元法解方程的過程實際上就是用一系列初等初等行行變換把增廣矩陣化為變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣階梯形矩陣(特別是特別是若當階梯形若當階梯形)的過程的過程. ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx現(xiàn)重新用初等行變換化增廣矩陣為現(xiàn)重新用初等行變換化增廣矩陣為Jordan階梯形的方法求解線性方程組階梯形的方法求解線性方程組19 97963422644121121112)(bAA 979634226421112412111,2 行行交交換換第第解解20 979632113221112412111/23行行

12、乘乘以以第第 3433063550613304121143-132-122-1行行倍倍加加到到第第行行的的第第行行，倍倍加加到到第第行行的的第第行行，倍倍加加到到第第行行的的第第21 9300043/4000613304121141235/3-2行行，倍倍加加到到第第行行的的第第行行，倍倍加加到到第第行行的的第第 310003100023/1110412113/144/33-1/32行行乘乘以以第第，行行乘乘以以第第，行行乘乘以以第第22 000003100023/1110412114-13行行倍倍加加到到第第行行的的第第階梯形階梯形 000003100030110702111-132-1/3

13、3行行倍倍加加到到第第行行的的第第行行倍倍加加到到第第行行的的第第23 000003100030110401011-12行行倍倍加加到到第第行行的的第第若當階梯形若當階梯形于是得到原方程組的同解方程組于是得到原方程組的同解方程組132344,3,3,0 0,xxxxx 134224例例 解線性方程組解線性方程組 6312242212121xxxxxx25解：寫出增廣矩陣解：寫出增廣矩陣 ，對其進行初等行變換，對其進行初等行變換化簡：化簡：以以 為增廣矩陣的線性方程組有一矛盾方為增廣矩陣的線性方程組有一矛盾方程程0=47，從而原方程組無解。，從而原方程組無解。 ABAA4794001021294

14、501021274506021614312221),(5)2()3(1)3()2(1)1()3(2)1()2( B26注：若原方程組與同解方程組中出現(xiàn)注：若原方程組與同解方程組中出現(xiàn)矛盾方程，則原方程組無解。矛盾方程，則原方程組無解。 27例例 用消元法解線性方程組用消元法解線性方程組 2421325232121321xxxxxxxx28解：解：3133178100010001269860063000126356002102113115210450211215421032211/A29所以原方程組的解為所以原方程組的解為 ，與用，與用Gramer法則所得結(jié)果一樣。法則所得結(jié)果一樣。 13172

15、4310X30例例 解齊次線性方程組解齊次線性方程組AX=0，其中系數(shù)矩陣，其中系數(shù)矩陣 026311421121A31解：解： BA000031001121310031001121026311421121與原方程組同解的齊次線性方程組與原方程組同解的齊次線性方程組BX=0的一般形式為，的一般形式為， 32 0032200030224342143421xxxxxxxxxx或很顯然對于任意的很顯然對于任意的 都能解出都能解出 令令 ，得，得 42, xx31, xxlxkx 42,lxlkx3,2231 方程組的解為方程組的解為 為為任任意意常常數(shù)數(shù)lklkllklk,1302001232233

16、從上面的例子可以看出，求解線性方程組分為以從上面的例子可以看出，求解線性方程組分為以下幾步：下幾步：1.對增廣矩陣作初等行變換化為階梯形；對增廣矩陣作初等行變換化為階梯形；2. 若階梯形增廣矩陣對應(yīng)的最后一個不為零的方若階梯形增廣矩陣對應(yīng)的最后一個不為零的方程為程為 ，則原方程組無解；否則方，則原方程組無解；否則方程組一定有解程組一定有解.3.有解的情況下有解的情況下:當階梯形增廣矩陣非零數(shù)行等于當階梯形增廣矩陣非零數(shù)行等于未知數(shù)個數(shù)時未知數(shù)個數(shù)時,則解唯一則解唯一;否則非零行數(shù)就小于未知否則非零行數(shù)就小于未知數(shù)數(shù),這時候方程組有無窮多解這時候方程組有無窮多解.要解出方程組要解出方程組,就需要

17、繼續(xù)對階梯形增廣矩陣進行就需要繼續(xù)對階梯形增廣矩陣進行初等行變換初等行變換,最終化為若當階梯形最終化為若當階梯形.若當階梯形增廣若當階梯形增廣矩陣對應(yīng)的方程組實際上就是解矩陣對應(yīng)的方程組實際上就是解(讓非首元對應(yīng)的讓非首元對應(yīng)的未知數(shù)取任意數(shù)未知數(shù)取任意數(shù)).0,0 dd34證明：必要性。設(shè)證明：必要性。設(shè) 滿足滿足 。若若 ，則，則 A可逆，有唯一解可逆，有唯一解 矛盾，故矛盾，故 。 00 X00 AX0 A001 A0 A充分性。當充分性。當n=1時，時， 有非有非零解，假設(shè)零解，假設(shè)n-1時結(jié)論成立。時結(jié)論成立。 00 ,0111 xA定理定理1 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，則齊次線性方程組階

18、方陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是有非零解的充分必要條件是 。 0 A35當為當為n時，設(shè)時，設(shè)A經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣B： ，其中，其中C為為n-1階方陣，階方陣，P為為n階可逆矩陣。取行列式得階可逆矩陣。取行列式得 。解同解方程組解同解方程組 。若。若b=0，則，則 是一個非零解；是一個非零解； PACbBA 0 CbAPB 00 BXT)0 , 0 , 1(36若若 ，則，則 ，由歸納假設(shè)，齊次，由歸納假設(shè)，齊次線性方程組線性方程組有非零解有非零解 ，代入，代入 的的第一個方程，因為第一個方程，因為 的系數(shù)的系數(shù) ，可，可解出解出 。于是。于是 是是 的一的一個非零解。由歸納法結(jié)論成立。個非零解。由歸納法結(jié)論成立。 0