數(shù)學物理方法第一章

1、數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法信息與通信工程學院信息與通信工程學院李莉李莉1教學目的教學目的n通過本課程的學習，使學生熟悉和掌握波動方程、熱傳導通過本課程的學習，使學生熟悉和掌握波動方程、熱傳導方程和方程和Laplace方程等典型數(shù)學物理方程的常用解法：分方程等典型數(shù)學物理方程的常用解法：分離變量法、行波法、積分變換法和離變量法、行波法、積分變換法和Green函數(shù)法等等。熟函數(shù)法等等。熟悉和掌握悉和掌握Bessel函數(shù)和函數(shù)和Legendre函數(shù)等兩類特殊函數(shù)的函數(shù)等兩類特殊函數(shù)的性質(zhì)和應用。性質(zhì)和應用。n通過對所討論問題的綜合分析，使學生逐步掌握運用數(shù)學通過對所討論問題的綜合分析，使學生逐步掌握運

2、用數(shù)學的思想和方法來解決實際物理問題的思路和具體步驟，為的思想和方法來解決實際物理問題的思路和具體步驟，為電磁場電磁場、微波理論微波理論等后續(xù)課程的學習及培養(yǎng)初步的科研能等后續(xù)課程的學習及培養(yǎng)初步的科研能力打下基礎。力打下基礎。2數(shù)學物理方法：數(shù)學物理方法：數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程+特殊函數(shù)特殊函數(shù)n數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程從物理學、工程科學與技術(shù)科學的實際問題中從物理學、工程科學與技術(shù)科學的實際問題中導出的，反映物理量之間關系的導出的，反映物理量之間關系的偏微分方程偏微分方程和和積分方程積分方程。n特殊函數(shù)特殊函數(shù)q與初等函數(shù)相對；與初等函數(shù)相對；q初等函數(shù)：常函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函

3、數(shù)、初等函數(shù)：常函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)三角函數(shù)和反三角函數(shù)3主要內(nèi)容主要內(nèi)容n第第4章章 數(shù)學物理方程及其定解條件數(shù)學物理方程及其定解條件 n 4.1 基本方程的建立基本方程的建立n 4.2 定解條件定解條件n 4.3 定解問題的提法定解問題的提法n 4.4 二階線性偏微分方程的分類與化簡二階線性偏微分方程的分類與化簡n第第5章章 分離變量法分離變量法n 5.1 （1+1）維齊次方程的分離變量法）維齊次方程的分離變量法n 5.2 二維二維Laplace方程的定解問題方程的定解問題n 5.3 非齊次方程的解法非齊次方程的解法n 5.4 非齊次邊界條件的處理非齊次邊

4、界條件的處理4n第第6章章 二階常微分方程的級數(shù)解法二階常微分方程的級數(shù)解法 本征值問題本征值問題n6.1 二階常微分方程的級數(shù)解法二階常微分方程的級數(shù)解法n6.2 Sturm-Liouville（斯特姆（斯特姆-劉維爾）本征值問題劉維爾）本征值問題n第第7章章 Bessel函數(shù)的性質(zhì)及其應用函數(shù)的性質(zhì)及其應用n 7.1 Bessel方程的引入方程的引入n 7.2 Bessel函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)n 7.3 Bessel函數(shù)的應用函數(shù)的應用n *7.4 修正修正Bessel函數(shù)函數(shù)n *7.5 可化為可化為Bessel方程的方程方程的方程5n第第8章章 Legendre 多項式及其應用多項式及

5、其應用n 8.1 Legendre 方程及方程及Legendre 多項式的引入多項式的引入n 8.2 Legendre 多項式的性質(zhì)多項式的性質(zhì)n 8.3 Legendre多項式的應用多項式的應用n *8.4 關聯(lián)關聯(lián)Legendre 多項式及其應用多項式及其應用n *8.5 其它特殊函數(shù)方程簡介其它特殊函數(shù)方程簡介n第第9章章 行波法與積分變換法行波法與積分變換法n 9.1 一維波動方程的一維波動方程的DAlember(達朗貝爾達朗貝爾)公式公式n 9.2 三維波動方程的三維波動方程的Poisson公式公式n 9.3 Fourier積分變換法求定解問題積分變換法求定解問題n 9.4 Lapl

6、ace變換法解定解問題變換法解定解問題6n第第10章章 Green函數(shù)法函數(shù)法n 10.1 引言引言n 10.2 函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)的定義與性質(zhì) n 10.3 Poisson方程的邊值問題方程的邊值問題n 10.4 Green函數(shù)的一般求法函數(shù)的一般求法n 10.5 用電像法求某些特殊區(qū)域的用電像法求某些特殊區(qū)域的Dirichlet-Green函函數(shù)數(shù)7教學基本要求教學基本要求n掌握掌握波動方程波動方程、熱傳導方程熱傳導方程、Laplace方程方程的的物理背景及其定解問題的提法；物理背景及其定解問題的提法；n熟練掌握三類方程定解問題的解法：熟練掌握三類方程定解問題的解法：分離變量分離變量法法

7、，行波法、積分變換法等；，行波法、積分變換法等；n熟悉熟悉Bessel函數(shù)和函數(shù)和Legendre函數(shù)的性質(zhì)及其函數(shù)的性質(zhì)及其應用。應用。物理過程物理過程數(shù)學模型數(shù)學模型數(shù)學解數(shù)學解物理解物理解學習方法學習方法物理現(xiàn)象物理現(xiàn)象第第4章章 數(shù)學物理方程及其數(shù)學物理方程及其定解條件定解條件典型方程和定解條件的導出典型方程和定解條件的導出94-1 基本方程的建立基本方程的建立n基本方程是一類或幾類物理現(xiàn)象滿足的普遍規(guī)律的基本方程是一類或幾類物理現(xiàn)象滿足的普遍規(guī)律的數(shù)學表達數(shù)學表達n任務任務：將物理規(guī)律：將物理規(guī)律“翻譯翻譯”為數(shù)學語言，即列出某為數(shù)學語言，即列出某類物理現(xiàn)象所滿足的數(shù)學物理方程類物理

8、現(xiàn)象所滿足的數(shù)學物理方程n常用的方法：常用的方法：q微元法微元法：在整個系統(tǒng)中分出一個小部分，分析鄰近部分與這：在整個系統(tǒng)中分出一個小部分，分析鄰近部分與這一小部分的相互作用，通過對表達式的化簡、整理，即得到一小部分的相互作用，通過對表達式的化簡、整理，即得到所研究問題滿足的數(shù)學物理方程所研究問題滿足的數(shù)學物理方程q規(guī)律法規(guī)律法：將物理規(guī)律（比如：將物理規(guī)律（比如Maxwell方程組）用（容易求解方程組）用（容易求解的）數(shù)學物理方程表示出來的）數(shù)學物理方程表示出來q統(tǒng)計法統(tǒng)計法：通過統(tǒng)計規(guī)律建立所研究問題滿足的廣義數(shù)學物理：通過統(tǒng)計規(guī)律建立所研究問題滿足的廣義數(shù)學物理方程，常用于經(jīng)濟、社會科學

9、等領域。方程，常用于經(jīng)濟、社會科學等領域。104.1.1 波動方程波動方程q均勻弦的微小橫振動均勻弦的微小橫振動設有一根均勻柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，而且除了受不隨時間變設有一根均勻柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，而且除了受不隨時間變化的張力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用?；膹埩跋冶旧淼闹亓ν?，不受其他外力的作用。下面研究弦作下面研究弦作微小橫振動微小橫振動的規(guī)律。的規(guī)律。所謂所謂“橫向橫向”是指全部運動出現(xiàn)在一個是指全部運動出現(xiàn)在一個平面內(nèi)，而且弦上的點沿垂直于平面內(nèi)，而且弦上的點沿垂直于x軸的方軸的方向運動。向運動。所謂所謂“微小微小”是指運動的幅度及弦在任是指運動的幅度及弦在

10、任意位置處切線的傾角都很小，以致它們意位置處切線的傾角都很小，以致它們的高于一次方的項可以忽略不計。的高于一次方的項可以忽略不計。弦是均勻的，設其線密度為弦是均勻的，設其線密度為 ；11弧段兩端所受張力為弧段兩端所受張力為 和和設弦上具有橫坐標為設弦上具有橫坐標為x的點，在時刻的點，在時刻t的位置為的位置為M，其位移，其位移MN記為記為u。顯然，在振動過程中，位移顯然，在振動過程中，位移u是變量是變量x和和t的函數(shù)，即的函數(shù)，即( , )uu x t采用采用微元法微元法來建立位移來建立位移u滿足的方程：滿足的方程：把弦上點的運動先看成小弧段的運動，然把弦上點的運動先看成小弧段的運動，然后再考慮

11、小弧段趨于零的極限情況。后再考慮小弧段趨于零的極限情況。在弦上任取一弧段在弦上任取一弧段 ，其長度為，其長度為ds，TT由于假定弦是柔軟的，所以在任意點處張力的方向總是沿著弦在該點的由于假定弦是柔軟的，所以在任意點處張力的方向總是沿著弦在該點的切線方向切線方向。MM是弦的線密度是弦的線密度12現(xiàn)在考慮弧段現(xiàn)在考慮弧段 在在t時刻的受力和運動情況。時刻的受力和運動情況。根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律，作用于弧段上任一方向上力的總和等于這段弧的，作用于弧段上任一方向上力的總和等于這段弧的質(zhì)量乘以該方向上的運動加速度。質(zhì)量乘以該方向上的運動加速度。在在x方向方向弧段弧段 受力總和為受力總和為由于弦

12、只做橫向運動，所以由于弦只做橫向運動，所以按照弦作微小振動的假設，可知在振動過程中，弦上按照弦作微小振動的假設，可知在振動過程中，弦上M和和M點處切線的點處切線的傾角都很小，即：傾角都很小，即：MMMMcoscosTTcoscos0TT0,013略去略去 和和 的所有高于一次方的項時，就有的所有高于一次方的項時，就有 由由代入式代入式便可近似得到：便可近似得到：在在u方向方向弧段弧段 受力總和為受力總和為其中，其中， 是是 的重力。的重力。gds24cos12!4! cos1,cos1coscos0TTTTMMsinsin,TTgdsMM14當當 時，時，小弧段在時刻小弧段在時刻t沿沿u方向的

13、方向的加速度加速度近似為近似為 ，22( , )u x tt小弧段的質(zhì)量為小弧段的質(zhì)量為ds由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有將近似式代入，將近似式代入，0,02,tansintan,1tanu x tx,sintan,u xdx tx2,1.u x tdsdxdxx22,sinsinu x tTTgdsdst22,u xdx tu x tu x tTgdxdxxxt15上式左端方括號的部分是由于上式左端方括號的部分是由于x產(chǎn)生產(chǎn)生 的變化引起的的變化引起的 的改變量，可以用微分近似代替：的改變量，可以用微分近似代替：dx( , )u x tx所以式（所以式（*）變?yōu)椋┳優(yōu)椋?）或或一般來說，張

14、力較大時弦振動的速度變化很快，即一般來說，張力較大時弦振動的速度變化很快，即 要比要比g大得多，大得多，所以可以把所以可以把g略去。略去。22( , )u x tt可得：可得：22222( , )( , )u x tu x tatx其中，其中，2/aT這就是均勻弦的橫振動所滿足的泛定方程。它是一種波動方程。由于在這就是均勻弦的橫振動所滿足的泛定方程。它是一種波動方程。由于在空間上是一維的，故稱空間上是一維的，故稱一維波動方程一維波動方程。22,u xdx tu x tu x tTgdxdxxxt22,u xdx tu x tu x tu x tdxdxxxxxx2222,u x tu x tT

15、g dxdxxt2222,u x tu x tTgxt16其中，其中， ，表示，表示t時刻單位質(zhì)量的弦在時刻單位質(zhì)量的弦在x點所受的外力。點所受的外力。如果均勻弦上沿位移方向還經(jīng)受外力場作用，單位長度弦上所受之力，如果均勻弦上沿位移方向還經(jīng)受外力場作用，單位長度弦上所受之力，即力密度為即力密度為F(x,t)。則在方程左端還應加上一項外力。則在方程左端還應加上一項外力 。( , )F x t dx( , )( , )/f x tF x t受迫振動受迫振動則方程組則方程組應該變?yōu)椋簯撟優(yōu)椋褐貜鸵陨系耐茖н^程，可得有外力作用時弦的振動方程為：重復以上的推導過程，可得有外力作用時弦的振動方程為：22

16、222( , )( , )( , )u x tu x taf x ttx（*）式（式（*）稱為弦的受迫振動方程。）稱為弦的受迫振動方程。coscos0TT22,sinsinu x tFdsTTgdsdstcoscos0TT22,sinsinu x tTTgdsdst17包括有非零自由項的方程稱為包括有非零自由項的方程稱為非齊次方程非齊次方程。自由項恒等于零的方程稱為自由項恒等于零的方程稱為齊次方程齊次方程。方程（方程（*）為一維齊次波動方程，）為一維齊次波動方程，22222( , )( , )u x tu x tatx方程（方程（*）為一維非齊次波動方程。）為一維非齊次波動方程。22222(

17、, )( , )( , )u x tu x taf x ttx方程（方程（*）和方程（）和方程（*）的差別在于方程（）的差別在于方程（ * ）的右端多了一個與未）的右端多了一個與未知函數(shù)知函數(shù)u無關的項無關的項f(x,t)，這個項稱為自由項。，這個項稱為自由項。（*）（*）18桿的桿的質(zhì)量密度質(zhì)量密度為為 ，橫截面橫截面為為S（常數(shù)），（常數(shù)），長度長度為為 q均勻彈性桿的微小縱振動均勻彈性桿的微小縱振動一根彈性桿中任意小段受外界影響發(fā)生縱振動，必使其相鄰部分發(fā)生伸一根彈性桿中任意小段受外界影響發(fā)生縱振動，必使其相鄰部分發(fā)生伸長或縮短。最終，桿上任意小段的縱振動必然傳播到整根桿。這種振動長或縮

18、短。最終，桿上任意小段的縱振動必然傳播到整根桿。這種振動的傳播就是的傳播就是波波。彈性模量彈性模量E：桿伸長單位長度所需的：桿伸長單位長度所需的力力x點在點在t時刻的時刻的縱向位移縱向位移為為u(x,t) 。( , )x t外力密度外力密度為為F(x,t)，應力應力 ：桿在伸縮過程中各點相互之間單位截面上的作用力：桿在伸縮過程中各點相互之間單位截面上的作用力：桿上：桿上x點在點在t時刻的應力。時刻的應力。應變：應變：桿的相對伸長桿的相對伸長x19x點的應變點的應變?yōu)椋簽椋喝鐖D，如圖，AB段的相對伸長是：段的相對伸長是：(, )( , )ABABu xx tu x txAB0(, )( , )(

19、 , )limxu xx tu x tu x txx 由于振動是微小的，可認為不超過桿的彈性限度由于振動是微小的，可認為不超過桿的彈性限度( , )( , )u x tx tEx由由牛頓第二定律牛頓第二定律，可得，可得x,x+x段的運動方程為：段的運動方程為：1222( , )(, )( , )(, )xxutS xxx t Sx t SF xx t S xt 虎克（虎克（Hooke）定律：）定律：應力應力=彈性模量彈性模量*應變應變201222( , )( , )( , )(, )xxxxxutututS xESESF xx t S xt ( , )( , )u x tx tEx1222(

20、, )(, )( , )(, )xxutS xxx t Sx t SF xx t S xt 將虎克定律將虎克定律 代入上式代入上式 得：得：122222( , )( , )(, )xxxututS xESxF xx t S xt 將函數(shù)將函數(shù) 在在 處展開為泰勒級數(shù)并取前兩項，得：處展開為泰勒級數(shù)并取前兩項，得：( , )xxut x其中，其中， 滿足滿足12, 01 (1,2)ii21122222( , )( , )(, )xxxututS xESxF xx t S xt 以以 除上式兩端，得：除上式兩端，得：S x122222( , )( , )(, )xxxututEF xx tt 令令

21、 ，得：，得：0 x ( , )( , )( , )ttxxux tEux tF x t記記( , ), ( , )EF x taf x t方程變?yōu)椋悍匠套優(yōu)椋?( , )( , )( , )ttxxux ta ux tf x t一維波動方程一維波動方程22q傳輸線方程傳輸線方程對于直流電或低頻的交流電，基爾霍夫（對于直流電或低頻的交流電，基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支）定律指出同一支路中電流相等。但對于較高頻率的（指頻率還沒有高到能顯著地輻射電路中電流相等。但對于較高頻率的（指頻率還沒有高到能顯著地輻射電磁波的情況），電路中的導線的自感和電容的效應不可忽略，因而同一磁波的情況）

22、，電路中的導線的自感和電容的效應不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。支路中電流未必相等。考慮一來一往的高頻傳輸線考慮一來一往的高頻傳輸線（具有分布參數(shù)的導體）（具有分布參數(shù)的導體）在具有分布參數(shù)的導體中，電流通在具有分布參數(shù)的導體中，電流通過的情況，可以用電流強度過的情況，可以用電流強度I與電壓與電壓V來描述，此處來描述，此處I與與V都是都是 的函的函數(shù)數(shù),記作記作 與與 。, x t( , )I x t( , )V x tR每一回路單位的串聯(lián)電阻；每一回路單位的串聯(lián)電阻； L每一回路單位的串聯(lián)電感；每一回路單位的串聯(lián)電感；C每單位長度的分路電容；每單位長度的分路電容； G每單位長度的分路電

23、導。每單位長度的分路電導。23采用微元法采用微元法根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為的傳輸線中，電壓降應等于電動勢的傳輸線中，電壓降應等于電動勢之和，即之和，即()IVVVR x IL xt 兩邊除以兩邊除以 ，并令，并令 ，可得，可得VIRILxt 另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點的電流應等于流出該節(jié)點的電流，另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點的電流應等于流出該節(jié)點的電流，即即()()()VVIIIC xG x VVt 可得可得IVCGVxt xx0 x 24VIRILxt IVCGVxt 即即I 和和V應滿足如下方程組：應滿足如下方程組：0,0.IVCGVxtV

24、ILRIxt從這個方程組消去從這個方程組消去V (或或I), 即可得到即可得到I (或或V)所滿足的方程。所滿足的方程。250,0.IVCGVxtVILRIxt（1）（2）將方程（將方程（1）對）對x微分（假定微分（假定V與與I對對x,t都是二次連續(xù)可微的），得：都是二次連續(xù)可微的），得：22220IVIIGLCRCxxtt同時在方程（同時在方程（2）兩端乘以）兩端乘以C后再對后再對t微分，可得：微分，可得：2220IVVCGxt xx 2220VIICCLCRx ttt 將兩個結(jié)果相減，即得：將兩個結(jié)果相減，即得：2622220IVIIGLCRCxxtt將將 代入上式，得代入上式，得VIRI

25、Lxt 2222()IIILCRCGLGRIxtt電流電流I滿足的微分方程滿足的微分方程類似可得電壓類似可得電壓V滿足的方程：滿足的方程：2222()VVVLCRCGLGRVxtt2222()IIILCRCGLGRIxtt2222()VVVLCRCGLGRVxtt傳輸線方程傳輸線方程27根據(jù)不同的具體情況，對參數(shù)根據(jù)不同的具體情況，對參數(shù)R ,L, C, G作不同的假定，就可以得到傳作不同的假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式。輸線方程的各種特殊形式。無損耗傳輸線：無損耗傳輸線：0GR此時傳輸線方程此時傳輸線方程可簡化為可簡化為2222()IIILCRCGLGRIxtt2222()VVVL

26、CRCGLGRVxtt22221IItLCx22221VVtLCx無損耗傳輸線方程無損耗傳輸線方程2822221IItLCx22221VVtLCx若令若令21aLC這兩個方程與一維齊次波動方程標準形式完全相同。這兩個方程與一維齊次波動方程標準形式完全相同。22222( , )( , )u x tu x tatx由此可見，同一個方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象。由此可見，同一個方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動方程只是波動方程中最簡單的情況，在流體力學、聲學及電磁一維波動方程只是波動方程中最簡單的情況，在流體力學、聲學及電磁場理論中，還要研究高維的波動方程。場理論中，還要研究高維的波動方程。

27、29q電磁波方程電磁波方程電磁場由電場強度電磁場由電場強度E，電位移矢量，電位移矢量D，磁場強度，磁場強度H，磁感應強度，磁感應強度B描述。描述。電磁場的規(guī)律由以下的麥克斯韋方程組表述：電磁場的規(guī)律由以下的麥克斯韋方程組表述：Dt BE0BtDHJ其中，其中， 是自由電荷密度，是自由電荷密度， 是傳導電流密度。是傳導電流密度。J這組方程還必須與下述場的物質(zhì)方程相聯(lián)立這組方程還必須與下述場的物質(zhì)方程相聯(lián)立DEBHJE其中，其中， 是介質(zhì)的介電常數(shù)，是介質(zhì)的介電常數(shù)， 為導磁率，為導磁率， 為導電率。為導電率。（1-1）（1-2）（1-3）（1-4）（2-1）（2-2）（2-3）30哈密頓算符：哈密頓算符：xyz ijk運算規(guī)則：運算規(guī)則：是個矢量微分算子，在運算中具有矢量和微分雙重性質(zhì)。是個矢量微分算子，在運算中具有矢量和微分雙重性質(zhì)。uu