固體物理第一二章習題解答

1、第一章 習 題1. 畫出下列晶體的慣用原胞和布拉菲格子，指明各晶體的結(jié)構(gòu)以及慣用原胞、初基原胞中的原子個數(shù)和配位數(shù)。(1) 氯化鉀；（2）氯化鈦；（3）硅；（4）砷化鎵；（5）碳化硅（6）鉭酸鋰；（7）鈹；（8）鉬；（9）鉑。解：名稱分子式結(jié)構(gòu)慣用元胞布拉菲格子初基元胞中原子數(shù)慣用元胞中原子數(shù)配位數(shù)氯化鉀KClNaCl結(jié)構(gòu)fcc286氯化鈦TiClCsCl結(jié)構(gòu)sc228硅Si金剛石fcc284砷化鎵GaAs閃鋅礦fcc284碳化硅SiC閃鋅礦fcc284鉭酸鋰LiTaO3鈣鈦礦sc552、6、12O、Ta、Li鈹Behcp簡單六角2612鉬Mobccbcc128鉑Ptfccfcc14122.

2、試證明：理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的。如果實際的值比這個數(shù)值大得多，可以把晶體視為由原子密排平面所組成，這些面是疏松堆垛的。證明：如右圖所示，六角層內(nèi)最近鄰原子間距為a，而相鄰兩層的最近鄰原子間距為：。 當d=a時構(gòu)成理想密堆積結(jié)構(gòu)，此時有：， 由此解出：。 若 時，則表示原子平面的層間距較理想結(jié)構(gòu)的層間距大，因此層間堆積不夠緊密。 3. 畫出立方晶系中的下列晶向和晶面：01、10、112、121、（10）、（211）、（11）、（12）。解：4. 考慮指數(shù)為（100）和（001）的面，其晶格屬于面心立方，且指數(shù)指的是立方慣用原胞。若采用初基原胞基矢坐標系為軸，這些面的指數(shù)是多少？解：如右圖所示：在立

3、方慣用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐標系中，在、三個基矢坐標上的截距為，則晶面指數(shù)為（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐標系、上的截距為，則晶面指數(shù)為（110）。5. 試求面心立方結(jié)構(gòu)（100）、（110）、（111）晶面族的原子數(shù)面密度和面間距，并比較大??；說明垂直于上述各晶面的軸線是什么對稱軸？解：晶面指數(shù)原子數(shù)面密度面間距對稱軸（100）C4（110）C2（111）C36. 對于二維六角密積結(jié)構(gòu)，初基原胞基矢為：，。求其倒格子基矢，并判斷倒格子也是六方結(jié)構(gòu)。解：由倒格基失的定義，可計算得：=，（未在圖中畫出）正空間二維初基原胞如圖（A）所示，倒空間初基原胞如圖（B）

4、所示（1）由組成的倒初基原胞構(gòu)成倒空間點陣，具有C6操作對稱性，而C6對稱性是六角晶系的特征。（2）由構(gòu)成的二維正初基原胞，與由構(gòu)成的倒初基原胞為相似平行四邊形，故正空間為六角結(jié)構(gòu)，倒空間也必為六角結(jié)構(gòu)。（3）倒空間初基原胞基矢與正格子初基原胞基矢形式相同，所以也為六方結(jié)構(gòu)。7. 用倒格矢的性質(zhì)證明，立方晶系的hkl晶向與（hkl）晶面垂直。證明：由倒格矢的性質(zhì)，倒格矢垂直于晶面（hkl）。由晶向指數(shù)hkl，晶向可用矢量表示，則：。 倒格子基矢的定義：； 在立方晶系中，可取相互垂直且，則可得知， 且。設(shè)（為常值，且有量綱，即不為純數(shù)），則 ，即與平行;也即晶向hkl 垂直于晶面（hkl）8.

5、考慮晶格中的一個晶面（hkl），證明：(a) 倒格矢垂直于這個晶面；(b) 晶格中相鄰兩個平行晶面的間距為；(c) 對于簡單立方晶格有。證明：（a）晶面（hkl）在基矢上的截距為。作矢量： ，顯然這三個矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右圖），且 同理，有，所以，倒格矢晶面。（b）晶面族（hkl）的面間距為： （c）對于簡單立方晶格： 9. 用X光衍射對Al作結(jié)構(gòu)分析時，測得從(111)面反射的波長為1.54，反射角為q=19.20，求面間距d111。解：由布拉格反射模型，認為入射角反射角，由布拉格公式：2dsinq=l，可得 （對主極大取n=1） 10. 試證明：勞厄方程與布拉格公式是

6、等效的。證明：由勞厄方程： 與正倒格矢關(guān)系：比較可知：若成立，即入射波矢，衍射波矢之差為任意倒格矢，則方向產(chǎn)生衍射光，式稱為倒空間勞厄方程又稱衍射三角形。 現(xiàn)由倒空間勞厄方程出發(fā)，推導Blagg公式。對彈性散射：。由倒格子性質(zhì)，倒格矢垂直于該晶面族。所以，的垂直平分面必與該晶面族平行。由右圖可知： (A)又若為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質(zhì)有：；若不是該方向最短倒格失，由倒格子周期性： （B）比較（A）、（B）二式可得： 2dSinqnl 即為Blagg公式。11. 求金剛石的幾何結(jié)構(gòu)因子，并討論衍射面指數(shù)與衍射強度的關(guān)系。解：每個慣用元胞中有八個同類原子，其坐標為： 結(jié)構(gòu)因子： 前四項為f

7、cc的結(jié)構(gòu)因子，用Ff表示從后四項提出因子因為衍射強度， 用尤拉公式整理后：討論：1、當h、k、l為奇異性數(shù)（奇偶混雜）時，所以； 2、當h、k、l為全奇數(shù)時，； 3、當h、k、l全為偶數(shù)，且（n為任意整數(shù)）時， 當h、k、l全為偶數(shù)，但，則時， 12. 證明第一布里淵區(qū)的體積為，其中Vc是正格子初基原胞的體積。證明：根據(jù)正、倒格子之間的關(guān)系： ，； Vc是正格子初基原胞的體積，第一布里淵區(qū)的體積為就為倒格子原胞的體積，即 第二章 習 題1、已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成：，求： 晶體平衡時兩原子間的距離； 平衡時的二原子間的互作用能； 若取m=2，n=10，兩原子間的平衡距離為3，

8、僅考慮二原子間互作用則離解能為4eV，計算a及b的值； 若把互作用勢中排斥項改用玻恩梅葉表達式，并認為在平衡時對互作用勢能具有相同的貢獻，求n和p間的關(guān)系。解：(1) 由，平衡時：， 得： ，化簡后得：。(2) 平衡時把r0表示式代入U(r)中：。（3）由r0表示式得： 若理解為互作用勢能為二原子平衡時系統(tǒng)所具有的能量，由能量最小原理，平衡時系統(tǒng)能量具有極小值，且為負值；離解能和結(jié)合能為要把二原子拉開，外力所作的功，為正值，所以，離解能結(jié)合能互作用勢能，由U(r)式的負值，得： 化簡為： 略去第二項計算可得： (4) 由題意得： * ，則： 又解：*式兩邊對r0求導，得：，與*式比較得： 可解

9、得：2、N對離子組成的Nacl晶體相互作用勢能為：。 證明平衡原子間距為：； 證明平衡時的互作用勢能為：； 若試驗試驗測得Nacl晶體的結(jié)合能為765kJ/mol，晶格常數(shù)為5.6310-10m，計算Nacl晶體的排斥能的冪指數(shù)n，已知Nacl晶體的馬德隆常數(shù)是a1.75。證明：（1）由：得： 令： ，即 得：。 （2）把以上結(jié)果代入U(R)式，并把R取為R0，則： 若認為結(jié)合能與互作用能符號相反，則上式乘“”。（3）由（2）之結(jié)論整理可得：式中：N，庫侖，法/米 若題中R0為異種原子的間矩，則：；U（平衡時互作用勢能取極小值，且為負，而結(jié)合能為正值） 馬德隆常數(shù)：，將這些一致數(shù)據(jù)代入n的表達

10、式中，則： 3、如果把晶體的體積寫成：VNbR3，式中N是晶體中的粒子數(shù)；R是最近鄰粒子間距；b是結(jié)構(gòu)因子，試求下列結(jié)構(gòu)的b值：fcc；bcc；NaCl；金剛石。解：取一個慣用元胞來考慮：結(jié)構(gòu)V0N0R0bfcca34bcca32NaCla381金剛石a384、證明：由兩種離子組成的間距為R0的一維晶格的馬德隆常數(shù)。已知證明：由馬德隆常數(shù)的定義：，其中同號離子取“”，異號離子取“”。若以一正離子為參考點，則： (A)又由已知，代入（A）式，則： 5、假定由2N個交替帶電荷為的離子排布成一條線，其最近鄰之間的排斥勢為，試證明在平衡間距下有：。證明：由，得： 令： ，即 得：。把該式代入U(R)式

11、，并把R取為R0，則： (A) 由馬德隆常數(shù)的定義：，其中同號離子取“”，異號離子取“”。若以一正離子為參考點，則： (B)又由已知，代入（B）式，則：。將代入(A) 式，得： 。6、試說明為什么當正、負離子半徑比時不能形成氯化銫結(jié)構(gòu)；當時不能形成氯化鈉結(jié)構(gòu)。當時將形成什么結(jié)構(gòu)？已知RbCl、AgBr及BeS中正、負離子半徑分別為：晶 體r+/nmr-/nmRbClAgBrBeS0.1490.1130.0340.1810.1960.174若把它們看成是典型的離子晶體，試問它們具有什么晶體結(jié)構(gòu)？若近似地把正、負離子都看成是硬小球，請計算這些晶體的晶格常數(shù)。解：通常，當組成晶體時，可以認為正、負離子球相互密接。對氯化銫結(jié)構(gòu)，如圖（a）所示，8個正離子組成立方體，負離子處在立方體的中心，所以立方體的對角線，立方體的邊長為： 為了能構(gòu)成氯化銫結(jié)構(gòu)晶體，負離子的直徑必須小于立方體的邊長a，即 ，由此可得：。即為了能構(gòu)成氯化銫結(jié)構(gòu)晶體，必須小于1.37。 （a） （b） （c） 對于氯化鈉結(jié)構(gòu)，如圖（b）所示為氯化鈉結(jié)構(gòu)的一個慣用原胞（100）面的離子分布情況，這里設(shè)正離子處在頂角，由圖可見，則。所以，構(gòu)成氯化鈉結(jié)構(gòu)必須小于2.41。 對于閃鋅礦結(jié)構(gòu)