實變函數(shù)期末考試卷A及參考答卷

1、考生信息欄 院（系） 班級 姓名 學號 裝訂線 20112012學年 第1學期 數(shù)計學院09級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)(1、2班) 實變函數(shù)期末考試卷（A）試卷類別：閉卷考試用時：120分鐘考試時間：2012年01月04日考試地點：文501、502題號分數(shù)一二三四五注意事項1、學生的院（系）別、專業(yè)、班級、姓名、學號必須填寫在考生信息欄內指定的位置。2、學生在考試之前必須填寫考試時間和地點。3、答題字跡要清楚，并保持卷面清潔。六七八總分評卷人復核人 試卷 共 8 頁 第 1 頁考生考試誠信承諾書在我填寫考生信息后，表示我已閱讀和理解龍巖學院考試紀律與違紀處分辦法的有關規(guī)定，承諾在考試中自覺遵規(guī)守紀，

2、如有違反將接受處理；我保證在本科目考試中，本人所提供的個人信息是真實、準確的?？忌灻?試卷 共 頁 第 頁 試卷 共 頁 第 頁 試卷 共 8 頁 第 2 頁實變函數(shù)期末考試卷(A) 2009級本科1、2班用 考試時間2012年01月 04日一 填空題（每小題3分，滿分24分）1 我們將定義在可測集上的所有可測函數(shù)所成的集合記為.任取，都可以確定兩個非負可測函數(shù)： 和分別稱為的正部和負部。請你寫出和之間的關系：，。2 上題中有些元素被稱為非負簡單函數(shù)，指的是：是有限個互不相交的可測集的并集，在上（非負常數(shù)）（）.在上的積分定義為： ，這個積分值可能落在區(qū)間中，但只有當時才能說是可積的。3

3、若是非負函數(shù)，則它的積分定義為：，這個積分值可能落在區(qū)間中，但只有當時才能說是可積的。4 中的一般元素稱為是積分確定的，如果和，即和的值；但只有當時才能說是可積的，這時將它的積分定義為：。5 從中取出一個非負函數(shù)列，則法圖引理的結論是不等式：；如果再添上條件和就得到列維定理的結論：。6 設和都是中的可測函數(shù)，滿足 于或兩個條件之一。 試卷 共 8 頁 第 3 頁如果再添上下例兩個條件之一：或 ，就可得到勒貝格控制收斂的結論： （1）； （2）。7 富比尼定理的表述過程比較長，但它給出了定義在兩個可測子集上的笛卡爾積上的可測函數(shù)的積分可化為累次積分 的條件卻非常簡單。只要下列兩個簡單條件之一成立

4、就行了：（1） ；（2）。 兩個累次積分都存在且相等是在上可積的條件，但不是 條件。8 斯蒂爾切斯積分的定義是：。二 多項選擇題 下列各題中正確的結論有些可能不止一個，請把正確結論的編號填在左邊的方括號內。（每小題3分，滿分15分） 1定義在上的實函數(shù)的正部和負部的取值情況有： （），與不同時取正值，但可能同時為零；（），與可能同時取正值，也可能同時為零； （）上任意兩個非負實函數(shù)都構成上第三個實函數(shù)的正部與負部； （）上任意兩個不同時取正值的非負函數(shù)都構成上第三個實函數(shù)的正部與負部。 2 設是中有限個互不相交的可測集的并集，函數(shù)在上的值恒等于常數(shù)（），則在上可積的充要條件有： （）； （）當

5、時； （）均為測度有限集； （）每個均為有限數(shù)。 3 中的非負函數(shù)都是積分確定的，這是因為： 試卷 共 8 頁 第 4 頁 （）；（）和都是有限數(shù)； （）；（） 4 上的有界變差函數(shù)的任一個變差都不會超過全變差，而且當時有.由這兩條結論可以推知： （）在上的振幅；（）有； （）有界變差函數(shù)一定可以表為兩個增函數(shù)的差； （）有界變差函數(shù)至多有可數(shù)個不連續(xù)點，不可導點構成零測度集。 5 關于上的絕對連續(xù)函數(shù)及其導數(shù)，下列結論正確的有：（）用每個在上可積的函數(shù)都可構造一個絕對連續(xù)函數(shù) ，滿足于；（）每個絕對連續(xù)函數(shù)都在上幾乎處處有可積的導函數(shù)，而且滿足牛氏公式 ； （）每個在上幾乎處處有導數(shù)的函數(shù)都

6、是絕對連續(xù)函數(shù)，同時滿足牛氏公式 ； （）在上幾乎處處有導數(shù)的有界函數(shù)不一定連續(xù)，但本身一定可積。而它的導函數(shù)就不一定可積了。即使可積也不一定滿足牛氏公式。三 設滿足：，閉集使. 試證明是可測集。 （8分） 試卷 共 8 頁 第 5 頁四 我們也可以這樣來定義可測函數(shù)：定義在可測集上的實函數(shù)稱為是可測的，如果它能表達成上一列簡單函數(shù)的極限函數(shù). 現(xiàn)在請你用這個定義證明：上兩個可測函數(shù)的乘積還是上可測函數(shù)。（7分） 五 設是上的可積函數(shù)列，并且正項級數(shù)收斂。試證明函數(shù)項級數(shù)幾乎處處收斂，它的和函數(shù)在上可積，而且滿足逐項積分公式：. （12分） 試卷 共 8 頁 第 6 頁六 設是上的可積函數(shù)，證

7、明，存在上的連續(xù)函數(shù)使 . （12分）七 設是上非負可測函數(shù)列, ,并且 .若有某個在上上可積。試證明也在上可積，并且 . （10分） 試卷 共 8 頁 第 7 頁八 設在上可積,試證明：，存在的可測子集使 （12分） 試卷 共 8 頁 第 8 頁實變函數(shù)期末考試卷(A)參考答卷 2009級本科1、2班用 考試時間2012年01月 04日一 填空題（每小題3分，滿分24分）1 我們將定義在可測集上的所有可測函數(shù)所成的集合記為.任取，都可以確定兩個非負可測函數(shù)： 和分別稱為的正部和負部。請你寫出和之間的關系：，。2 上題中有些元素被稱為非負簡單函數(shù)，指的是：是有限個互不相交的可測集的并集，在上（

8、非負常數(shù)）（）.在上的積分定義為： ，這個積分值可能落在區(qū)間中，但只有當時才能說是可積的。3 若是非負函數(shù)，則它的積分定義為：，這個積分值可能落在區(qū)間中，但只有當時才能說是可積的。4 中的一般元素稱為是積分確定的，如果和，即和的值；但只有當時才能說是可積的，這時將它的積分定義為：.5 從中取出一個非負函數(shù)列，則法圖引理的結論是不等式：；如果再添上條件和就得到列維定理的結論： .6 設和都是中的可測函數(shù)，滿足 答卷 共 6 頁 第 1 頁 于或兩個條件之一。如果再添上下例兩個條件之一：或 ，就可得到勒貝格控制收斂的結論： （1）； （2）.7 富比尼定理的表述過程比較長，但它給出了定義在兩個可測

9、子集上的笛卡爾積上的可測函數(shù)的積分可化為累次積分 的條件卻非常簡單。只要下列兩個簡單條件之一成立就行了：（1） ；（2）。 兩個累次積分都存在且相等是在上可積的條件，但不是 條件。8 斯蒂爾切斯積分的定義是： 二 多項選擇題 下列各題中正確的結論有些可能不止一個，請把正確結論的編號填在左邊的方括號內。（每小題3分，滿分15分） AD 1定義在上的實函數(shù)的正部和負部的取值情況有： （），與不同時取正值，但可能同時為零；（），與可能同時取正值，也可能同時為零； （）上任意兩個非負實函數(shù)都構成上第三個實函數(shù)的正部與負部； （）上任意兩個不同時取正值的非負函數(shù)都構成上第三個實函數(shù)的正部與負部。 答卷

10、共 6 頁 第 2 頁 BD 2 設是中有限個互不相交的可測集的并集，函數(shù)在上的值恒等于常數(shù)（），則在上可積的充要條件有： （）； （）當時； （）均為測度有限集； （）每個均為有限數(shù)。 C 3 中的非負函數(shù)都是積分確定的，這是因為： （）；（）和都是有限數(shù)； （）；（）ABCD 4 上的有界變差函數(shù)的任一個變差都不會超過全變差，而且當時有.由這兩條結論可以推知： （）在上的振幅；（）有； （）有界變差函數(shù)一定可以表為兩個增函數(shù)的差； （）有界變差函數(shù)至多有可數(shù)個不連續(xù)點，不可導點構成零測度集。ABCD 5 關于上的絕對連續(xù)函數(shù)及其導數(shù)，下列結論正確的有：（）用每個在上可積的函數(shù)都可構造一個絕

11、對連續(xù)函數(shù) ，滿足于；（）每個絕對連續(xù)函數(shù)都在上幾乎處處有可積的導函數(shù)，而且滿足牛氏公式 ； （）每個在上幾乎處處有導數(shù)的函數(shù)都是絕對連續(xù)函數(shù)，同時滿足牛氏公式 ； （）在上幾乎處處有導數(shù)的有界函數(shù)不一定連續(xù)，但本身一定可積。而它的導函數(shù)就不一定可積了。即使可積也不一定滿足牛氏公式。三 設滿足：，閉集使. 試證明是可測集。 （8分）證明 依題意，對每個自然數(shù)都有閉集使，取 答卷 共 6 頁 第 3 頁，則是可測集，且，于是 .令取極限得，所以是可測集，于是 是可測集四 我們也可以這樣來定義可測函數(shù)：定義在可測集上的實函數(shù)稱為是可測的，如果它能表達成上一列簡單函數(shù)的極限函數(shù). 現(xiàn)在請你用這個定義

12、證明：上兩個可測函數(shù)的乘積還是上可測函數(shù)。（7分）證明 因為均可測，所以存在上簡單函數(shù)列使 .于是有 .因為也是簡單函數(shù)列，所以仍是上的可測函數(shù)。五 設是上的可積函數(shù)列，并且正項級數(shù)收斂。試證明函數(shù)項級數(shù)幾乎處處收斂，它的和函數(shù)在上可積，而且滿足逐項積分公式：. （12分） 證明 令，由逐項積分定理得 ，即非負函數(shù)在上可積，于是于，即幾乎處處收斂，因此也幾乎處處收斂。 令，則是上的可測函數(shù)列，且于， 于.由勒貝格控制收斂定理得.六 設是上的可積函數(shù)，證明，存在上的連續(xù)函數(shù)使 . （12分）證明 因為在上可積，所以和都在上可積，于是存在簡 答卷 共 6 頁 第 4 頁單函數(shù)滿足： ，.令，則仍是上的簡單函數(shù)，且 .令，取，由魯津定理，存在閉集以及，使得，當時，且在整個上，于是 .故 .七 設是上非負可測函數(shù)列, ,并且 .若有某個在上上可積。試證明也在上可積，并且 . （10分） 證明 令，則是單調遞增的非負可測函數(shù)列