處理恒成立問題基本方法

1、處理有關(guān)“恒成立”的思路方法樂山市井研縣馬踏中學(xué) 廖德俊 與“恒成立”有關(guān)的問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是函數(shù)，數(shù)列，不等式，三角等內(nèi)容交匯處的一個(gè)非?；钴S的知識(shí)點(diǎn)，特別是導(dǎo)數(shù)的引入，成為我們更廣泛更深入的研究函數(shù)，不等式的有利工具，更為我們研究恒成立問題提供了保障。對(duì)恒成立問題的考察不僅涉及到函數(shù)，不等式等有關(guān)的傳統(tǒng)知識(shí)和方法，而且考察極限，導(dǎo)數(shù)等新增內(nèi)容的掌握和靈活運(yùn)用。它常與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合，體現(xiàn)了能力立意的原則。恒成立問題涉及到一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象滲透和換元，化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等思想方法，有利于考察學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，創(chuàng)造性，所以是歷年高

2、考的熱點(diǎn)。一 恒成立問題的基本類型按區(qū)間分類可分為：在給定區(qū)間某關(guān)系的恒成立問題；在全體實(shí)數(shù)集上某關(guān)系的恒成立問題。二 處理恒成立問題的基本思路處理與恒成立有關(guān)的問題大致可分以下兩種方法 變量分離思路處理； 利用函數(shù)的性質(zhì)，圖象思路處理。若不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解。在不等式的恒成立問題中，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，性質(zhì)使用。YXOYXO “恒成立問題”解決的基本策略一、恒成立問題的基本類型 在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給

3、定區(qū)間上某結(jié)論成立問題,其表現(xiàn)形式通常有:j在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;k某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;l某不等式的解為一切實(shí)數(shù);m某表達(dá)式的值恒大于a等等恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖象。二、恒成立問題解決的基本策略（一）兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”思路1、 思路2、如何在區(qū)間D上求函數(shù)f

4、(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值。這類問題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識(shí)比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中注意積累。（二）、賦值型利用特殊值求解等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3

5、,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D例2如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.（三）分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識(shí)，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解,十分簡(jiǎn)捷給定一次函數(shù)y=f(

6、x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于 同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+10在|a|2時(shí)恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只

7、需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運(yùn)用。（1）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識(shí)求解。例3 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)恒成立，所以，當(dāng)此時(shí)當(dāng)有綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，例4.已知函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍.分析：的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示：略解：

8、變式1：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：要使時(shí)，恒成立，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值為.當(dāng)，即時(shí)， 又 不存在.當(dāng)，即時(shí)， 又 當(dāng)，即時(shí)， 又 綜上所述，.變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于0的問題.22略解：，即在上成立. 綜上所述，.解法二：（運(yùn)用根的分布） 當(dāng)，即時(shí)， 不存在.當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， 綜上所述.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時(shí)，軸變區(qū)間定的情形，對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動(dòng)區(qū)間定，方法一樣.對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法（

9、如例4、例5），而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f(x)g(a)恒成立，則g(a)f(x)min;若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例5.已知三個(gè)不等式，要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略

10、解：由得2x3;,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得a3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實(shí)質(zhì) 1、對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：。 解得，即有，易得。2、設(shè)點(diǎn)P（x，y）

11、是圓上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題 3、若對(duì)于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。因?yàn)?即時(shí)，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡(jiǎn)化解題過程 4、若對(duì)于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。 解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會(huì)遇到很多麻煩，若以m為主元，則， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四）圖象解題，形象直觀 6、設(shè)，若不等式

12、恒成立，求a的取值范圍。 解：若設(shè)，則為上半圓。設(shè)，為過原點(diǎn)，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍為。7、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對(duì)一切x (1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21, 10,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì) 9、不論k

13、為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求a的范圍。解：，C（a，0），當(dāng)時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn)A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點(diǎn)A（0，1），曲線為圓。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏 10、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時(shí)應(yīng)對(duì)進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要， 解得。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只有。 綜上得。解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識(shí)來解較為簡(jiǎn)單。11、當(dāng)時(shí)，不等式

14、恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想 12、（1990年全國(guó)高考題）設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對(duì)于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對(duì)于恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。四、同步跟蹤練習(xí)1、對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍知是定義在的單調(diào)減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立？5、已知f(x)=,在x=1與x=-2時(shí)，都取得極值。 （1）求a、b的值； （2）若x-3,2都有f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。解、（1）a=,b=-6.（2）由f(x)min=-+c-得 或6、定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)，則稱函數(shù)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”.函數(shù),)是否為“接近函數(shù)”？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.解：因?yàn)?是“接近函數(shù)”7、對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)。