chap計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分析資料實(shí)用PPT課件

1、3.1 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 一個(gè)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，是它能正常工作的前提條件。連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是在S平面進(jìn)行的，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是在Z平面進(jìn)行的。 3.1.1 S平面與Z平面的關(guān)系 S平面與Z平面的映射關(guān)系，可由 來確定。 設(shè) 則有 Tsez jsTzezeezTTjT|第1頁/共41頁 在Z平面上，當(dāng)為某個(gè)定值時(shí)z=eTs隨由-變到的軌跡是一個(gè)圓，圓心位于原點(diǎn)，半徑為z=eTs ，而圓心角是隨線性增大的。 當(dāng)=0時(shí)，|z|=1，即S平面上的虛軸映射到Z平面上的是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。 當(dāng)0時(shí)，|z|0時(shí)，|z|1，即S平面的右半面映射到Z平面上的是以原點(diǎn)為圓心單位圓的外部。S平面與Z平面

2、的映射關(guān)系如圖3.1所示。 第2頁/共41頁圖3.1 S平面與Z平面的映射關(guān)系第3頁/共41頁 于是得到下面結(jié)論： 1S平面的虛軸對(duì)應(yīng)于Z平面的單位圓的圓周。 在S平面上，每變化一個(gè)s時(shí)，則對(duì)應(yīng)在Z 平面上重復(fù)畫出一個(gè)單位圓，在S平面中-s/2s/2的頻率范圍內(nèi)稱為主頻區(qū)，其余為輔頻區(qū)（有無限多個(gè)）。S平面的主頻區(qū)和輔頻區(qū)映射到Z平面的重迭稱為頻率混迭現(xiàn)象，由于實(shí)際系統(tǒng)正常工作時(shí)的頻率較低，因此，實(shí)際系統(tǒng)的工作頻率都在主頻區(qū)內(nèi)。 第4頁/共41頁 2S平面的左半面對(duì)應(yīng)于Z平面的單位圓內(nèi)部。 3S平面的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于Z平面的單位圓內(nèi)正實(shí)軸。 4S平面左半面負(fù)實(shí)軸的無窮遠(yuǎn)處對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓的圓心。

3、 5S平面的右半面對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓的外部。 6S平面的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Z平面正實(shí)軸上z=1的點(diǎn)。 在連續(xù)系統(tǒng)中，如果其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都在S平面的左半部分，或者說它的閉環(huán)特征方程的根的實(shí)部小于零，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可以想見，離散系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)（特征方程的根）必須在Z平面中的單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 第5頁/共41頁3.1.2 離散系統(tǒng)輸出響應(yīng)的一般關(guān)系式 設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為： 設(shè)有n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)zi互異，mn，輸入為單位階躍函數(shù)，則 其中 10111( )( )( )( )( )mmmnnnb zb zbY zB zw zR zza zaA z01( )1niiiC

4、CY zzzzznizAzzBCwABCiiii3 , 2 , 1)() 1()(,) 1 () 1 () 1 (0第6頁/共41頁 取Z反變換得： 上式為采樣系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出響應(yīng)序列的一般關(guān)系，第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)為暫態(tài)分量。 若離散系統(tǒng)穩(wěn)定，則當(dāng)時(shí)間k時(shí)，輸出響應(yīng)的暫態(tài)分量應(yīng)趨于0，即： 這就要求zi1 因此得到結(jié)論，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)Z傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)應(yīng)位于Z平面的單位圓內(nèi)。 , 3 , 2 , 1)(1 )1 ()(1kzCkwkynikii1lim0nkiikiC z第7頁/共41頁 例3.1 某離散系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為 則w(z)的極點(diǎn)為 ： z

5、1=-0.237，z2=-1.556 由于| z2 |=1.5561，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 111368. 0792. 1116. 3)(zzzzw第8頁/共41頁3.1.3 Routh穩(wěn)定性準(zhǔn)則在離散系統(tǒng)的應(yīng)用 連續(xù)系統(tǒng)的Routh穩(wěn)定性準(zhǔn)則不能直接應(yīng)用到離散系統(tǒng)中，這是因?yàn)镽outh穩(wěn)定性準(zhǔn)則只能用來判斷復(fù)變量代數(shù)方程的根是否位于S平面的左半面。如果把Z平面再映射到S平面，則采樣系統(tǒng)的特征方程又將變成S的超越方程。因此，使用雙線性變換，將Z平面變換到W平面，使得Z平面的單位圓內(nèi)映射到W平面的左半面。 設(shè) （或 ）則 （或 ） 其中z，w均為復(fù)變量，即構(gòu)成W變換，如圖3.2所示。 11wwz

6、wwz1111zzw11zzw第9頁/共41頁-11-jjZjImRe0Wj0圖3.2 Z平面與W平面的映射關(guān)系 這種變換稱為W變換，它將Z特征方程變成W特征方程，這樣就可以用Routh準(zhǔn)則來判斷W特征方程的根是否在W平面的左半面，即系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 第10頁/共41頁 例3.2 某離散系統(tǒng)如圖3.3所示，試用Routh準(zhǔn)則確定使該系統(tǒng)穩(wěn)定k值范圍，設(shè)T=0.25s。 解：該系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)為： r(t)y(t)T圖3.3 例3.2離散系統(tǒng))4( ssk)368.0)(1(158.0)4()(zzkzsskzG第11頁/共41頁 該系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為： 求得該系統(tǒng)的閉環(huán)Z特征方程為： 對(duì)

7、應(yīng)的W特征方程為：Routh表為w2 0.158k (2.736-0.158k)w1 1.264 0w0 (2.736-0.158k) 0 解得使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍為0k17.3 kzzzkzzGzGzW158.0)368.0)(1(158.0)(1)()(0158.0)368.0)(1(kzzz0)158.0736.2(264.1158.02kwkw第12頁/共41頁 顯然，當(dāng)k17.3時(shí)，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但對(duì)于二階連續(xù)系統(tǒng)，k為任何值時(shí)都是穩(wěn)定的。這就說明k對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性是有影響的。 一般來說，采樣周期T也對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響?？s短采樣周期，會(huì)改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于本例，若T=0.1

8、s，可以得到k值的范圍為0k40.5。 但需要指出的是，對(duì)于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，縮短采樣周期就意味著增加計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)間，且當(dāng)采樣周期減小到一定程度后，對(duì)改善動(dòng)態(tài)性能無多大意義，所以應(yīng)該適當(dāng)選取采樣周期。 第13頁/共41頁3.2 離散系統(tǒng)的過渡響應(yīng)分析 一個(gè)控制系統(tǒng)在外信號(hào)作用下從原有穩(wěn)定狀態(tài)變化到新的穩(wěn)定狀態(tài)的整個(gè)動(dòng)態(tài)過程稱之為控制系統(tǒng)的過渡過程。 一般認(rèn)為被控變量進(jìn)入新穩(wěn)態(tài)值附近5%或3%的范圍內(nèi)就可以表明過渡過程已經(jīng)結(jié)束。 通常，線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征是系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)輸入下的過渡過程特性(或者說系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性)。如果已知線性離散系統(tǒng)在階躍輸入下輸出的Z變換Y(z)，那么，對(duì)Y(z)

9、進(jìn)行Z反變換，就可獲得動(dòng)態(tài)響應(yīng)y*(t)。將y*(t)連成光滑曲線，就可得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（即超調(diào)量%與過渡過程時(shí)間ts），如圖3.4所示。 第14頁/共41頁0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 1.61.41.210.80.60.40.2y(t)tts圖3.4 線性離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)%5第15頁/共41頁 首先研究離散系統(tǒng)在單位脈沖信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，以了解離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 式中zi與zj分別表示閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)。利用部分分式法，可將W(z) 展開成 由此可見，離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)是它各個(gè)極點(diǎn)時(shí)間響應(yīng)的線性疊加。 )()()()(

10、)()(11mnzzzzKzRzYzWnjjmiinnzzzAzzzAzzzAzW2211)(第16頁/共41頁 設(shè)系統(tǒng)有一個(gè)位于zi的單極點(diǎn)，則在單位脈沖作用下，當(dāng)zi位于Z平面不同位置時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列如圖3.5所示。 -11-jjjImRe0圖3.5 不同位置的實(shí)極點(diǎn)與脈沖響應(yīng)的關(guān)系第17頁/共41頁 (1)極點(diǎn)在單位圓外的正實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量y(kT)單調(diào)發(fā)散。 (2)極點(diǎn)在單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y(kT)是等幅的。 (3)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y(kT)單調(diào)衰減。 (4)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y(kT)是以2T為周期正

11、負(fù)交替的衰減振蕩。 (5)極點(diǎn)在單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y(kT)是以2T為周期正負(fù)交替的等幅振蕩。 (6)極點(diǎn)在單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y(kT)是以2T為周期正負(fù)交替的發(fā)散振蕩。第18頁/共41頁第19頁/共41頁 例3.3 某離散系統(tǒng)如圖3.6所示，分析該系統(tǒng)的過渡過程。 設(shè)系統(tǒng)輸入是單位階躍函數(shù) 解： (1)設(shè) K=1，T=1；則 r(t)e(t)e*(t)y(t)T圖3.6 例3.3離散系統(tǒng)seTs1)1(ssK)368.01)(1 ()717.01 (368.0)(1111zzzzzG2121632.01264.0368.0)(1)()(zzzzzGzGzW第

12、20頁/共41頁 從上述數(shù)據(jù)可以看出，系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程具有衰減振蕩的形式，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其超調(diào)量約為40%，且峰值出現(xiàn)在第3、4拍之間，約經(jīng)12個(gè)采樣周期過渡過程結(jié)束，如圖3.7曲線a所示。 )()()(zRzWzY12123123456789101112131415160.3680.2641 21.6320.6320.3681.41.41.1470.8950.8020.8680.9931.0771.0811.0320.9810.9610.9730.997zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz第21頁/共41頁 (2)現(xiàn)將圖中的保持器去掉，k=1，T=1；則 由以上數(shù)據(jù)

13、可知該二階離散系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，超調(diào)量約為21%，峰值產(chǎn)生在第3拍，調(diào)整時(shí)間為5拍，如圖3.7曲線b所示?？梢?，無保持器比有保持器的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能好。這是因?yàn)楸３制饔袦笞饔盟隆?)368.01)(1 (632.0)(111zzzzG211368.0736.01632.0)(1)()(zzzzGzGzW3211368. 0104. 1736. 11632. 0)()()(zzzzzRzWzY765432198.097.002.112.121.11 .1632.0zzzzzzz第22頁/共41頁0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.61.41.210.80

14、.60.40.2y(t)tab圖3.7 離散系統(tǒng)的響應(yīng)曲線第23頁/共41頁 (3)現(xiàn)將圖中保持器去掉，設(shè)K=5，T=1，則 由上面數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)K=5，T=1時(shí)，沒有保持器的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且是正負(fù)交替的發(fā)散式振蕩較劇烈。211111368.0792.1116.3)()368.01)(1 (16.3)(zzzzWzzzzG5432132116 .1355. 75 . 65 . 216. 3368. 0424. 1792. 0116. 3)(zzzzzzzzzzY第24頁/共41頁 但我們知道，對(duì)于二階的連續(xù)系統(tǒng)無論K為何值都是穩(wěn)定的，而采樣控制系統(tǒng)則不然。 以上說明，利用Z變換本身含有

15、時(shí)間概念的特點(diǎn)，分析采樣控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性是很方便的，且很適用于計(jì)算機(jī)。第25頁/共41頁3.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)準(zhǔn)確度分析 利用Z變換的終值定理方法，求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)的終值誤差。 設(shè)單位負(fù)反饋誤差離散系統(tǒng)如圖3.8所示。其中G(s)為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，e(t)為系統(tǒng)連續(xù)誤差信號(hào)，e*(t)為系統(tǒng)采樣誤差信號(hào)，其閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)為 )(11)()()(zGzRzEzWe第26頁/共41頁 如果We(z)的極點(diǎn)（即閉環(huán)極點(diǎn)）全部嚴(yán)格位于Z平面的單位圓內(nèi)，即若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用Z變換的終值定理求出采樣瞬時(shí)的終值誤差為 上式表明，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不但與系統(tǒng)本身的結(jié)

16、構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與輸入序列的形式及幅值有關(guān)，除此之外，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期的選取也有關(guān)。 e*(t)y(t)Tr(t)e(t)圖3.8 單位負(fù)反饋離散系統(tǒng)G(s)(1)()1 (lim)()1 (lim)(lim)(1111*zGzRzzEzteezzt第27頁/共41頁 在離散系統(tǒng)中，也可以把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點(diǎn)數(shù)v作為劃分離散系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，把G(z)中v=0,1,2,的系統(tǒng)，稱為0型，型和型系統(tǒng)等。 1單位階躍輸人時(shí)下穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于單位階躍輸入r(t)=1(t)時(shí)， 則 稱為位置放大系數(shù)。 在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)存在位置誤差；型或型以上

17、的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時(shí)沒有位置誤差。 1)(11)(zzzGzEKpGzGzEzzezzp1) 1 (11)(11lim)(1lim)(11)(1lim1zGKpz第28頁/共41頁 2單位速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于單位速度輸入r(t)=t 時(shí) 則 稱為速度放大系數(shù)。 在單位速度函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差無窮大，型離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)存在速度誤差；型或型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時(shí)不存在穩(wěn)態(tài)誤差。 2)1()(11)(zTzzGzE)()1(lim)1()(111lim)(121zGzTzTzzGzzezzV)() 1(lim1zGzKzV第29頁/共41頁 3單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)

18、態(tài)誤差 對(duì)于單位加速度輸入 時(shí) 則 稱為加速度放大系數(shù)。 0型及型系統(tǒng)Ka=0；型系統(tǒng)的Ka為常值，型及型以上系統(tǒng)Ka=。因而，0型和I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)作用，型離散系統(tǒng)在單位加速度信號(hào)作用下存在加速度誤差，只有型或型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時(shí)不存在穩(wěn)態(tài)誤差。 221)(ttr231(1)( )1( )2(1)T z zE zG zz)() 1(lim) 1(2) 1()(111lim)(212321zGzTzzzTzGzzezza)() 1(lim21zGzKza第30頁/共41頁 例3.4 對(duì)于圖3.8所示的離散系統(tǒng)，設(shè) 求該系統(tǒng)在三種典型信號(hào)的作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 解： (1)單位階躍函數(shù)輸入時(shí) sTzzzZG1)368.0)(1()718.0(368.0)()368.0)(1()718.0(368.01lim)(1lim11zzzzGKZZp01)(ppKe第31頁/共41頁 (2)單位速度函數(shù)輸入時(shí) (3)單位加速度函數(shù)輸入時(shí)