5-1梁的撓度及轉(zhuǎn)角

1、displacements of bending beam5-1 deflection and 5-1 deflection and slope of beamslope of beam5-15-1梁的撓度及轉(zhuǎn)角梁的撓度及轉(zhuǎn)角1.1.彎曲變形的弊與利彎曲變形的弊與利2.2.撓曲線（撓曲線（deflection curve)deflection curve)3.3.撓度和轉(zhuǎn)角方程撓度和轉(zhuǎn)角方程(equation of (equation of deflection and slope)deflection and slope)4.4.彎曲位移的符號(hào)規(guī)則彎曲位移的符號(hào)規(guī)則1.1.彎曲變形的弊與利彎

2、曲變形的弊與利v使結(jié)構(gòu)的使用功能受到影象，嚴(yán)重時(shí)會(huì)破壞。使結(jié)構(gòu)的使用功能受到影象，嚴(yán)重時(shí)會(huì)破壞。v設(shè)計(jì)成彎曲形以達(dá)到減震，減少動(dòng)載荷。設(shè)計(jì)成彎曲形以達(dá)到減震，減少動(dòng)載荷。v利用變形的物理?xiàng)l件求彎曲靜不定問題。利用變形的物理?xiàng)l件求彎曲靜不定問題。fpfp2fpq1.1.彎曲變形的利弊彎曲變形的利弊v使結(jié)構(gòu)的使用功能受到影象，嚴(yán)重時(shí)會(huì)破壞。使結(jié)構(gòu)的使用功能受到影象，嚴(yán)重時(shí)會(huì)破壞。v設(shè)計(jì)成彎曲形以達(dá)到減震，減少動(dòng)載荷。設(shè)計(jì)成彎曲形以達(dá)到減震，減少動(dòng)載荷。v利用變形的協(xié)調(diào)條件求彎曲靜不定問題。利用變形的協(xié)調(diào)條件求彎曲靜不定問題。梁在荷載作用下，既產(chǎn)生應(yīng)力又發(fā)生變形。5-1 deflection and

3、 5-1 deflection and slope of beamslope of beamo對(duì)梁進(jìn)行剛度計(jì)算對(duì)梁進(jìn)行剛度計(jì)算o解超靜定梁解超靜定梁本課程研究梁彎曲變形的本課程研究梁彎曲變形的兩個(gè)目的兩個(gè)目的連續(xù)性假設(shè)連續(xù)性假設(shè)梁的軸線將由原來的水平直線變成一梁的軸線將由原來的水平直線變成一條連續(xù)平坦條連續(xù)平坦(flat)(flat)的曲線的曲線撓曲線。撓曲線。平面假設(shè)平面假設(shè)梁變形后的橫截面仍為平面且垂直與梁變形后的橫截面仍為平面且垂直與變形后的軸線。變形后的軸線。兩個(gè)基本假設(shè)在研究梁彎曲變形時(shí)的作用2.2.撓曲線（撓曲線（deflection curve)deflection curve)

4、撓度（撓度（deflectiondeflection）w w橫截面形心在垂直橫截面形心在垂直于軸線方向的位移。于軸線方向的位移。fabxc xfabyccyxbw轉(zhuǎn)角（轉(zhuǎn)角（slopeslope） 橫橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)過截面繞其中性軸轉(zhuǎn)過的角度。的角度。水平位移水平位移u u 橫截面形心沿水平方向的位移橫截面形心沿水平方向的位移, ,在小在小位移假設(shè)時(shí)忽略不計(jì)。位移假設(shè)時(shí)忽略不計(jì)。b c u 直梁平面彎曲的兩種位移直梁平面彎曲的兩種位移3.3.撓度和轉(zhuǎn)角方程（撓度和轉(zhuǎn)角方程（equation of equation of deflection and slope deflection and

5、slope） 很小很小 tgtg =dy/dx= =dy/dx= f f (x)(x)轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 =y = =y = f f (x) (b)(x) (b)tgtg = dy/dx = y = dy/dx = y 撓曲線是一條極其撓曲線是一條極其平坦平坦的彈性曲線的彈性曲線4.4.符號(hào)規(guī)定符號(hào)規(guī)定 撓度撓度w w 向下為正向下為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 由橫截面到斜截面由橫截面到斜截面順時(shí)針為正順時(shí)針為正 xfabyccyxbw撓曲方程撓曲方程 w =y= f(x)w =y= f(x) （a）dydx5. exampel5-2 5-2 梁的撓曲線近似微分方程式梁的撓曲線近似微分方程式及其積分及其積分1

6、1、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系2 2、建立撓曲線微分方程、建立撓曲線微分方程3 3、積分法計(jì)算梁的位移、積分法計(jì)算梁的位移4 4、由邊界條件確定積分常數(shù)、由邊界條件確定積分常數(shù)結(jié)論：梁截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線結(jié)論：梁截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線y y對(duì)于位對(duì)于位置坐標(biāo)置坐標(biāo) x x的一階導(dǎo)數(shù)。的一階導(dǎo)數(shù)。撓曲線撓曲線 y=f(x)y=f(x) 上任上任意點(diǎn)的切線斜率為：意點(diǎn)的切線斜率為：)()(bdxxdfdxdy a xfabyccyxbw1 1、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系2 2、建立撓曲線微分方程、建立撓曲線微分方程（1 1）物理方面）物理方面: :zeixmdxyd)(22zeixm

7、x)()(1（2 2）幾何方面：）幾何方面：2/ 3222)/(1 /)(1dxdydxydx22)(1dxydxe iz y= - m(x)zeim1(5-2b)積分法、疊加法、奇異函數(shù)法、積分法、疊加法、奇異函數(shù)法、能量能量法、圖解法、有限差分法、初參數(shù)法法、圖解法、有限差分法、初參數(shù)法撓曲線近似微分方程0, 022dxydm0, 022dxydm0, 022dxydm4-43 3 積分法計(jì)算梁的位移積分法計(jì)算梁的位移4 4 由邊界條件由邊界條件(boundary condition) (boundary condition) 確定確定積分常數(shù)。積分常數(shù)。1）基本方程基本方程：eizy=

8、- m(x) （5-2b）2）一次積分獲轉(zhuǎn)角方程一次積分獲轉(zhuǎn)角方程 eizy= - m(x) dx+c （5-3a） 3）二次積分獲撓度方程二次積分獲撓度方程 （5-3b） eizy= - m(x) dx dx +cx+d c c、d d為方程的積分常數(shù)為方程的積分常數(shù)中間鉸中間鉸4 4、由邊界條件確定積分常數(shù)、由邊界條件確定積分常數(shù)pxabxabcf懸臂梁的固定端處懸臂梁的固定端處（1 1）約束條件（）約束條件（ constraint condition ）x=0 x=0 ： =0 y=0=0 y=0 簡支梁的支座處簡支梁的支座處x=0 x=0 ：y y a a=0; =0; x=l x=l

9、 ：y y b b=0=0(2)(2)連續(xù)條件（連續(xù)條件（continuity condition ）x=ax=a：y yb左左= y= yb右右 b左左= = b右右fxcba aax=ax=a：y yb左左= y= yb右右 外伸梁外伸梁b b端端連續(xù)條件連續(xù)條件 x=4，ab10kn4m1my yb b左左= y= yb b右右yb=0； b b左左= = b b右右5.exanpel5.exanpel?。海。?撓曲線近似微分方程的適用范圍撓曲線近似微分方程的適用范圍1 1）均勻材料與等直截面梁）均勻材料與等直截面梁eiei為常值。為常值。2 2）m(x)m(x)是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。

10、3 3）梁的變形是在線彈性小變形范圍內(nèi)。）梁的變形是在線彈性小變形范圍內(nèi)。4)4)yx0例例5-15-1：求懸臂梁：求懸臂梁b b截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和b b截面撓度，截面撓度，設(shè)設(shè) ：梁長為：梁長為l l，ei = ei = 常數(shù)常數(shù) 。列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程求約束反力求約束反力 ya=f ma= flei y= ei = f(lx - x2/2) + cei y = flx2/2 - fx3/6 + c x + d列彎矩方程列彎矩方程 m(x)=fx-fl)()(xleifeixmy 求位移方程求位移方程fbxxa a5.exanpel5.exanpel ei y= =

11、 f(lx - x2/2) + cei y = flx2/2 - fx3/6 + c x + d確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)x=0 x=0 a a= 0 y= 0 ya a= = 0 c=0 d=0 0 c=0 d=0y= y= = f (lx - x = f (lx - x2 2/2) /ei /2) /ei y= f (lxy= f (lx2 2/2 - x/2 - x3 3/6)/ei/6)/ei求求b b截面轉(zhuǎn)角和位移將截面轉(zhuǎn)角和位移將 x=lx=l 代入代入fbxxeiflb22)(33eiflyb 例例5-2 5-2 圖示一彎曲剛度為圖示一彎曲剛度為eiei的簡支的簡支梁，在全梁上受集

12、度為梁，在全梁上受集度為q q的均布荷載的均布荷載作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：解：2qlffba求約束反力求約束反力列彎矩方程列彎矩方程)(2212)(22xlxqqxxqlxm求位移方程求位移方程 3)126(22)32(2143132cxcxlxqeiwcxlxqwei列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程 122xlxqwei 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)求最大撓度和位移求最大撓度和位移zcbzaeiqlyeiql38452443example 5-3 圖示一彎曲剛度為ei的簡支梁，在d

13、點(diǎn)處受一集中荷載作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。631)(2223322222222xblxaxblleifbywblxaxblleifbw)(6)(312222122211xblleifbxyxblleifbwablacfb撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程最大撓度和最大轉(zhuǎn)角最大撓度和最大轉(zhuǎn)角eifblwwwleialfableiblfablxbxa166)(6)(2max2/1max201梁上無拐點(diǎn)5-3 5-3 按疊加原理計(jì)算按疊加原理計(jì)算梁的撓度及轉(zhuǎn)角梁的撓度及轉(zhuǎn)角1. 疊加原理的適用范圍疊加原理的適用范圍2.2.疊加原理疊加原理1)1)力的分解法

14、力的分解法- - 2)2)梁的分段法梁的分段法-5-3 approximately differential equation for 5-3 approximately differential equation for deflection curve of beam and its integration deflection curve of beam and its integration 1. 疊加原理的適用范圍疊加原理的適用范圍 在材料的線彈性范圍內(nèi)，梁的小變形且在材料的線彈性范圍內(nèi)，梁的小變形且縱向變形忽略不計(jì)的條件下，縱向變形忽略不計(jì)的條件下，梁的撓度和轉(zhuǎn)梁的撓度和轉(zhuǎn)角與作用

15、在梁上的荷載成線性關(guān)系角與作用在梁上的荷載成線性關(guān)系. 2.2.疊加原理疊加原理 ）梁在幾項(xiàng)荷載同時(shí)作用下某一橫截面）梁在幾項(xiàng)荷載同時(shí)作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角，可等于每一項(xiàng)荷載單獨(dú)作的撓度和轉(zhuǎn)角，可等于每一項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加疊加表明荷載對(duì)梁變形的影響是獨(dú)立的表明荷載對(duì)梁變形的影響是獨(dú)立的例：簡支梁受集中力和集中力偶。求：例：簡支梁受集中力和集中力偶。求：a a、b b兩端轉(zhuǎn)角和中點(diǎn)撓度。兩端轉(zhuǎn)角和中點(diǎn)撓度。 a2= ml/6ei b2= - ml/3ei yc2 = ml2/16eif： a1、 b1、yc1 a1= - b1= fl2/16e

16、i yc1 = fl3/48ei m： a2、 b2、yc2 解：將梁分為力解：將梁分為力f f和力和力偶偶m m單獨(dú)作用的情況：單獨(dú)作用的情況：abl/2l/2cfabcyc 2mabcfyc1=力力的的分分解解法法 b= b1+ b2= - fl2/16ei - ml/3ei yc= yc1 + yc2 = fl3/48ei +ml2/16ei a= a1+ a2= fl2/16ei + ml/6ei力的分解法力的分解法-各橫截面的位移或轉(zhuǎn)角各橫截面的位移或轉(zhuǎn)角等于每項(xiàng)荷載獨(dú)立作用時(shí)在同位置產(chǎn)生等于每項(xiàng)荷載獨(dú)立作用時(shí)在同位置產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角代數(shù)和。的撓度和轉(zhuǎn)角代數(shù)和。 a2= ml/6ei

17、 b2= - ml/3ei yc2 = ml2/16eif： a1、 b1、yc1 a1= - b1= fl2/16ei yc1 = fl3/48ei m： a2、 b2、yc2例例5-55-5：簡支梁在半跨度上作用荷載：簡支梁在半跨度上作用荷載q q，求梁中點(diǎn)的撓度。求梁中點(diǎn)的撓度。ablq/2q/2al/2l/2q/2bqal/2l/2c eilyc384)(542 2q q eiqlyc76854 eily38454maxq q=+加平衡力系再分解加平衡力系再分解-”加減法加減法”2幾項(xiàng)荷載同時(shí)作用在梁的不同區(qū)段上，幾項(xiàng)荷載同時(shí)作用在梁的不同區(qū)段上，梁某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角，可等于每梁某

18、一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角，可等于每一項(xiàng)荷載單獨(dú)作用于梁各區(qū)段時(shí)該截面一項(xiàng)荷載單獨(dú)作用于梁各區(qū)段時(shí)該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加example 求圖示梁的最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。)(xmalpx解解 ：)(0)0()(lxaaxaxp 1 建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程alpxalpx例：計(jì)算懸臂梁的撓度例：計(jì)算懸臂梁的撓度y yc c。解：解： 1 1、將梁、將梁abab看作懸臂梁，在均布荷載看作懸臂梁，在均布荷載q q的作用的作用下：下： 查表：查表： y yb b= qa= qa4 4/8ei/8ei， b b= = qaqa3 3/6ei/6ei 2 2、把梁、把梁bcbc看作梁看作梁abab的延伸部分，仍保持為的延伸部分，仍保持為直線。直線。 由于小變形：由于小變形： y yc c= = y yb b + + b b a a y yc c