第十節(jié)歐拉方程

1、第十節(jié)歐拉方程第十節(jié)歐拉方程一、歐拉方程一、歐拉方程二、小結(jié)二、小結(jié)解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程.)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點特點：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同一、歐拉方程作變量變換作變量變換,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd將自變量換為將

2、自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用d表示對自變量表示對自變量t求導(dǎo)的運算求導(dǎo)的運算,dtd上述結(jié)果可以寫為上述結(jié)果可以寫為,dyyx ,)1()(2222yddydddtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333ydddyddddtdydtyddtydyx t將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微分方程.求出這個方程的解后求出這個方程的解后，把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.)1()1()(ykdddyxkk 一般地一般地，例例求歐拉方程求

3、歐拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或原方程化為原方程化為,34)1()2)(1(2tedyyddyddd 即即,332223tedyydyd 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所對應(yīng)的齊次方程為所對應(yīng)的齊次方程為, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 rrr所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為.33213321xcxccececcytt 設(shè)特解為設(shè)特解為,22bxbeyt 所給歐拉方程的通解為所給歐拉方程的通解為.2123321xxcxccy 代入原方程，得代入原方程，得.21 b,22xy 即即歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路變系數(shù)的線變系數(shù)的線性微分方程性微分方程常系數(shù)的線常系數(shù)的線性微分方程性微分方程變量代換變量代換注意：注意：歐拉方程的形式歐拉方程的形式xtextln 或或二、小結(jié)練練 習(xí)習(xí) 題題.ln433;ln2ln222; 0122222xxxyyxyxxxyyxyxyyxyx ：求下列歐拉方程的通解求下列歐拉方程的通解練習(xí)題答案