2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評五十四10.7拋物線文含解析北師大版

1、核心素養(yǎng)測評五十四拋物線(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2020漢中模擬)動點p到點a(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,則動點p的軌跡方程為()a.y2=4x b.y2=8xc.x2=4yd.x2=8y【解析】選d.因為動點p到點a(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,所以動點p到點a(0,2)的距離與它到直線y=-2的距離相等.由拋物線的定義得點p的軌跡為以a(0,2)為焦點,直線y=-2為準線的拋物線,其標準方程為x2=8y.2.已知拋物線y2=4x的焦點為f,準線為l,點p為拋物線上一點,且在第一象限,pal,垂足為a,|pf|=3,

2、則直線af的斜率為()a.2b.-2c.3d.-3【解析】選b.如圖,拋物線y2=4x的焦點為f(1,0),由|pf|=3,得|pa|=3,則xp=2,代入y2=4x,得yp=22.所以a(-1,22),所以kaf=22-2=-2.3.(2020聊城模擬)已知拋物線c:y2=4x的焦點f和準線l,過點f的直線交l于點a,與拋物線的一個交點為b,且=3,則|ab|=()a.23b.43c.83d.163【解析】選c.由拋物線方程y2=4x,知焦點f(1,0),準線l:x=-1,如圖,設(shè)l與x軸交點為k,過b作bml,交l于m,則易知bmkf,所以abmafk,設(shè)|bf|=m,由=3,可知|ab|

3、=2m,所以|kf|=12|af|=32m,又由方程知|kf|=2,所以32m=2,即m=43,所以|ab|=2m=83.4.(2020上饒模擬)已知點f是拋物線x2=4y的焦點,點p為拋物線上的任意一點,m(1,2)為平面上一點,則|pm|+|pf|的最小值為()a.3b.2c.4d.23【解析】選a.拋物線標準方程為x2=4y,即p=2,故焦點f(0,1),準線方程y=-1,過p作pa垂直于準線,垂足為a,過m作ma0垂直于準線,垂足為a0,交拋物線于p0,則|pm|+|pf|=|pa|+|pm|a0m|=3(當(dāng)且僅當(dāng)p與p0重合時取等號).5.已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于

4、m,n兩點,若mn中點的橫坐標為3,則此拋物線方程為()a.x2=32y b.x2=6y c.x2=-3y d.x2=3y【解析】選d.設(shè)點m(x1,y1),n(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,所以所求的拋物線方程是x2=3y.6.已知點m是拋物線c:y2=2px(p0)上一點,f為c的焦點,mf的中點坐標是(2,2),則p的值為()a.1b.2c.3d.4【解析】選d.fp2,0,那么m4-p2,4在拋物線上,即16=2p4-p2,即p2-8p+16=0,解得p=4.7.在直角坐標系xoy中,拋物線c:y2=4x

5、的焦點為f,準線為l,p為c上一點,pq垂直l于點q,m,n分別為pq,pf的中點,直線mn與x軸交于點r,若nfr=60,則|nr|=()世紀金榜導(dǎo)學(xué)號a.2b.3c.23d.3【解析】選a.根據(jù)題意,如圖所示:連接mf,qf,拋物線的方程為y2=4x,其焦點為f(1,0),準線為x=-1,則|fh|=2,由拋物線定義可得|pf|=|pq|,由pql,得:pqfr,所以qpf=nfr,又nfr=60,所以qpf=60,所以pqf為等邊三角形,由m,n分別為pq,pf的中點,得|mn|=12|qf|,mnqf,且mfpq,又qhpq,qmhf,故四邊形hfmq為矩形,故|qm|=|hf|=2,

6、又在rtqmf中,|qf|=|qm|cosmqf=2cos60=4,故|mn|=12|qf|=2,又pqrf,|pn|=|nf|,所以|nr|=|mn|=2.二、填空題(每小題5分,共15分)8.已知點p(-3,3),過點m(3,0)作直線,與拋物線y2=4x相交于a,b兩點,設(shè)直線pa,pb的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=.【解析】設(shè)過點m的直線為x=my+3,聯(lián)立拋物線方程可得y2-4my-12=0,設(shè)ay124,y1,by224,y2,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,則k1+k2=y1-3y124+3+y2-3y224+3=4y1-1212+y12+4y2-1212+y22

7、=4y1-1212+y12+-48y1-1212+144y12=4y1-1212+y12+-4y1-y1212+y12=-1.答案:-19.已知拋物線x2=4y焦點為f,經(jīng)過f的直線交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點,點a,b在拋物線準線上的射影分別為a1,b1,以下四個結(jié)論:x1x2=-4,|ab|=y1+y2+1,a1fb1=2,ab的中點到拋物線的準線的距離的最小值為2.其中正確的是.【解析】拋物線x2=4y焦點為f(0,1),易知直線ab的斜率存在,設(shè)直線ab的方程為y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,則x1+x2=4k,x1x2=-4,正確

8、;|ab|=|af|+|bf|=y1+1+y2+1 =y1+y2+2,不正確;=(x1,-2),=(x2,-2), 所以=x1x2+4=0,所以 ,a1fb1=2,正確;ab的中點到拋物線的準線的距離d=12(|aa1|+|bb1|)=12(y1+y2+2) =12(kx1+1+kx2+1+2) =12(4k2+4)2 .當(dāng)k=0時取得最小值2,正確.答案:10.(2020保定模擬)已知拋物線y2=2px(p0)經(jīng)過點m(1,2),直線l與拋物線交于相異兩點a,b,若mab的內(nèi)切圓圓心為(1,t),則直線l的斜率為.世紀金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】將點m(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以拋物線

9、方程為y2=4x,由題意知,直線l斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為x=my+n(m0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由mab的內(nèi)切圓圓心為(1,t),可得kma+kmb=y1-2x1-1+y2-2x2-1=y1-2y124-1+y2-2y224-1=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,從而l的方程為y=-x+n,所以直線l的斜率為-1.答案:-1(15分鐘35分)1.(5分)已知拋物線c:y2=8x的焦點為f,準線為l,p是l上一點,q是直線pf與c的一個交點,若fp=4fq,則|q

10、f|等于()a.72b.3c.52d.2【解析】選b.設(shè)q到l的距離為d,則|qf|=d,因為fp=4fq,所以|pq|=3d,不妨設(shè)直線pf的斜率為-22dd=-22,因為f(2,0),所以直線pf的方程為y=-22(x-2),與y2=8x聯(lián)立得x=1,所以|qf|=d=1+2=3.2.(5分)拋物線y=14x2上一點m到x軸的距離為d1,到直線x3-y4=1的距離為d2,則d1+d2的最小值為()a.85b.135c.3d.2【解析】選d.因為點m到拋物線x2=4y的準線的距離為d1+1等于m到拋物線x2=4y的焦點的距離|mf|,則d1+d2+1的最小值即為焦點f到直線x3-y4=1的距

11、離.由題意知f(0,1),所以(d1+d2)min=155-1=2.【變式備選】 已知拋物線c:y2=4x的焦點為f,準線為l,p是l上一點,q是直線pf與c的一個交點,若fp=2qf,則|qf|=()a.8b.4c.6d.3【解析】選d.設(shè)q到l的距離為d,則|qf|=d,因為fp=2qf,所以|pq|=3d,所以直線pf的斜率為22,因為f(1,0),所以直線pf的方程為y=22(x-1),與y2=4x聯(lián)立可得x=2(另一根舍去),所以|qf|=d=1+2=3.3.(5分)(2019葫蘆島模擬)已知拋物線c:y2=4x的焦點為f,過點f分別作兩條直線l1,l2,直線l1與拋物線c交于a,b

12、兩點,直線l2與拋物線c交于m,n點,若l1與直線l2的斜率的乘積為-1,則|ab|+|mn|的最小值為()a.14b.16c.18d.20【解析】選b.可得f(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),將其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),m(x3,y3),n(x4,y4),所以|ab|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=4+4k2,因為l1與l2的斜率的乘積為-1,所以l2的斜率為-1k,同理可得|mn|=x3+x4+p=2-1k2+4-1k2+2=4+4k2,所以|ab|+|mn|=4+4k

13、2+4+4k2=8+4k2+4k28+24k24k2=16.當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號.4.(10分)如圖,已知拋物線c1:y=14x2,圓c2:x2+(y-1)2=1,過點p(t,0)(t0)作不過原點o的直線pa,pb分別與拋物線c1和圓c2相切,a,b為切點.(1)求點a,b的坐標.(2)求pab的面積.【解析】 (1)由題意知直線pa的斜率存在,故可設(shè)直線pa的方程為y=k(x-t).由y=k(x-t),y=14x2,消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直線pa與拋物線相切,得k=t.因此,點a的坐標為(2t,t2).由題意知圓c2的圓心為d(0,1),點b的坐標為(x0,y0).

14、由題意知:點b,o關(guān)于直線pd對稱,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2,因此,點b的坐標為2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|ap|=t1+t2,直線pa的方程為tx-y-t2=0.點b到直線pa的距離是d=t21+t2.設(shè)pab的面積為s(t),則s(t)=12|ap|d=t32.5.(10分)(2019保定模擬)已知拋物線e:y2=8x,直線l:y=kx-4.(1)若直線l與拋物線e相切,求直線l的方程.(2)設(shè)q(4,0),k0,直線l與拋物線e交于不同的兩點a(x1,y1),b(x2,y2),若存在點c,使得四邊形oacb為平行四邊形(o為原點),且acqc,求x2的取值范圍.世紀金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】(1)根據(jù)題意,拋物線e:y2=8x,直線l:y=kx-4,聯(lián)立可得y=kx-4,y2=8x, 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直線l與拋物線e相切,則k0且=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-12,所以,所求的直線方程為y=-12x-4.(2)根據(jù)題意,聯(lián)立直線與拋物線的方程,有y=kx-4,y2=8x,可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因為k0,所以=64(k+1)2-64k20,則有x1+x2=8(k+1)k2,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=8k,因為四邊形oacb為平