第2章點(diǎn)線面綜合作圖題軌跡法和逆推法圖學(xué)應(yīng)用教程

1、12 點(diǎn)線面基本作圖題一般是單純的平行、點(diǎn)線面基本作圖題一般是單純的平行、相交、垂直作圖題，一般要求滿足的相交、垂直作圖題，一般要求滿足的條件比較單一，作圖過(guò)程也比較簡(jiǎn)單。條件比較單一，作圖過(guò)程也比較簡(jiǎn)單。 按問(wèn)題性質(zhì)可分為三類：按問(wèn)題性質(zhì)可分為三類：平行問(wèn)題、平行問(wèn)題、相交問(wèn)題、垂直問(wèn)題。相交問(wèn)題、垂直問(wèn)題。3平行問(wèn)題：平行問(wèn)題： 過(guò)已知點(diǎn)作直線平行于已知平面過(guò)已知點(diǎn)作直線平行于已知平面 過(guò)已知點(diǎn)作平面平行于已知直線過(guò)已知點(diǎn)作平面平行于已知直線 過(guò)已知點(diǎn)作平面平行于已知平面過(guò)已知點(diǎn)作平面平行于已知平面 過(guò)已知直線作平面平行于另一已知直線過(guò)已知直線作平面平行于另一已知直線 過(guò)已知直線作平面平行

2、于另一已知平面過(guò)已知直線作平面平行于另一已知平面4相交問(wèn)題：相交問(wèn)題： 一般位置直線與投影面垂直面相交一般位置直線與投影面垂直面相交 投影面垂直線與一般位置平面相交投影面垂直線與一般位置平面相交 一般位置平面與投影面垂直面相交一般位置平面與投影面垂直面相交 兩平面垂直相交兩平面垂直相交 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交 兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交5垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題： 過(guò)已知點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)已知點(diǎn)作直線垂直于已知平面 過(guò)已知點(diǎn)作平面垂直于已知直線過(guò)已知點(diǎn)作平面垂直于已知直線 過(guò)已知點(diǎn)作平面垂直于已知平面（除法過(guò)已知點(diǎn)作平面垂直于已知平面（除法線外再多

3、加一任意線）線外再多加一任意線） 過(guò)已知直線作平面垂直于已知平面（過(guò)過(guò)已知直線作平面垂直于已知平面（過(guò)直線上一點(diǎn)作已知平面的法線）直線上一點(diǎn)作已知平面的法線）6問(wèn)題總結(jié)：?jiǎn)栴}總結(jié)： 求實(shí)長(zhǎng)及與投影面的夾角求實(shí)長(zhǎng)及與投影面的夾角 已知一投影，求另一個(gè)投影已知一投影，求另一個(gè)投影 已知一直線及直線外一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作直線的平行線已知一直線及直線外一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作直線的平行線 過(guò)一點(diǎn)作已知投影面平行線的垂線過(guò)一點(diǎn)作已知投影面平行線的垂線 過(guò)一點(diǎn)作平面平行于已知直線過(guò)一點(diǎn)作平面平行于已知直線 一般位置直線與一般位置平面相交求交點(diǎn)：熟練掌握一般位置直線與一般位置平面相交求交點(diǎn)：熟練掌握 過(guò)一般位置直線上一點(diǎn)求

4、與其相垂直的平面：熟練掌過(guò)一般位置直線上一點(diǎn)求與其相垂直的平面：熟練掌握握 過(guò)一般位置平面上一點(diǎn)求其法線：熟練掌握過(guò)一般位置平面上一點(diǎn)求其法線：熟練掌握7 點(diǎn)線面綜合作圖題在解題過(guò)程中需要運(yùn)用多點(diǎn)線面綜合作圖題在解題過(guò)程中需要運(yùn)用多個(gè)求解點(diǎn)、線、面之間相對(duì)位置的基本作圖個(gè)求解點(diǎn)、線、面之間相對(duì)位置的基本作圖方法來(lái)進(jìn)行求解，一般要求滿足的條件和基方法來(lái)進(jìn)行求解，一般要求滿足的條件和基本作圖方法有兩個(gè)以上，空間關(guān)系和作圖過(guò)本作圖方法有兩個(gè)以上，空間關(guān)系和作圖過(guò)程也較復(fù)雜。程也較復(fù)雜。 按題目的性質(zhì)可分為四類：按題目的性質(zhì)可分為四類： 相對(duì)位置題相對(duì)位置題 距離題距離題 角度題角度題 其他類綜合題其

5、他類綜合題8 軌跡法和逆推法軌跡法和逆推法 輔助平面法輔助平面法 輔助曲面法輔助曲面法 輔助柱面法輔助柱面法 輔助錐面法輔助錐面法 輔助球面法輔助球面法 投影變換法投影變換法 正投影變換法正投影變換法 變換投影面法（換面法）變換投影面法（換面法） 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法 斜投影變換法斜投影變換法9根據(jù)已知條件和題目要求進(jìn)行空間分析，根據(jù)已知條件和題目要求進(jìn)行空間分析，分別作出滿足題目各個(gè)要求的軌跡，然分別作出滿足題目各個(gè)要求的軌跡，然后求出這些軌跡間的交點(diǎn)或交線，即得后求出這些軌跡間的交點(diǎn)或交線，即得所求答案。所求答案。10先假設(shè)最后解答已經(jīng)作出，然后應(yīng)用有關(guān)先假設(shè)最后解答已經(jīng)作出，然后應(yīng)用有關(guān)的幾何定

6、理進(jìn)行空間分析和邏輯推理，找的幾何定理進(jìn)行空間分析和邏輯推理，找出最后答案與已知條件之間的幾何聯(lián)系，出最后答案與已知條件之間的幾何聯(lián)系，并由此得到解題的方法和步驟。并由此得到解題的方法和步驟。11例例2.1 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)m作一平面垂直于作一平面垂直于abc，且平行于，且平行于直線直線de。分析：分析：過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)m所作平面可由所作平面可由一對(duì)相交直線一對(duì)相交直線來(lái)決定，只要來(lái)決定，只要使這一對(duì)相交使這一對(duì)相交直線分別成為直線分別成為平面平面abc的的垂 線 和 直 線垂 線 和 直 線de的 平 行 線的 平 行 線即可。即可。相對(duì)關(guān)系題相對(duì)關(guān)系題12例例2.2 作一直線與兩交叉直線作一直線與兩交叉直

7、線ab、cd分別交于分別交于點(diǎn)點(diǎn)k、l，并垂直于，并垂直于efg 。分析：分析：直線直線kl的軌跡的軌跡為包含直線為包含直線ab垂直于垂直于efg的平面的平面s，也，也是過(guò)直線是過(guò)直線cd所作垂直所作垂直于于efg的平面的平面q ，兩軌跡平面兩軌跡平面s與與q的交的交線即為線即為kl。實(shí)際上，。實(shí)際上，直線直線ab與平面與平面q的交的交點(diǎn)就是點(diǎn)點(diǎn)就是點(diǎn)k，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)k在在平面平面q內(nèi)作直線垂直內(nèi)作直線垂直于于efg，并與直線，并與直線cd相交，則交點(diǎn)即為相交，則交點(diǎn)即為點(diǎn)點(diǎn)l。13例例2.3 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)m作直線作直線mn同時(shí)與同時(shí)與abc及及efg平行平行 。分析分析1（逆推法）：（逆推法）：假

8、設(shè)所求假設(shè)所求的直線的直線mn已經(jīng)作出，則根據(jù)已經(jīng)作出，則根據(jù)幾何定理，直線幾何定理，直線mn必平行于必平行于abc與與efg的交線的交線kl，因，因此要求直線此要求直線mn，只要先求出，只要先求出abc與與efg的交線的交線kl，然，然后過(guò)點(diǎn)后過(guò)點(diǎn)m作直線平行交線作直線平行交線kl即即可。可。分析分析2（軌跡法）：（軌跡法）：所求解所求解mn軌跡既是過(guò)點(diǎn)軌跡既是過(guò)點(diǎn)m且與且與abc平平行的平面，也是過(guò)點(diǎn)行的平面，也是過(guò)點(diǎn)m且與且與efg平行的平面，兩平面的平行的平面，兩平面的交線即為所求。交線即為所求。14例例2.4 已知點(diǎn)已知點(diǎn)k到到abc距離為距離為18 mm，求點(diǎn)，求點(diǎn)k正面投影正面投

9、影 。分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)k的軌跡是與的軌跡是與abc距離距離為為18 mm的的平面平面p，點(diǎn)，點(diǎn)k 在 平 面在 平 面 p內(nèi)，故可利內(nèi)，故可利用平面內(nèi)求用平面內(nèi)求點(diǎn)的作圖方點(diǎn)的作圖方法求出所缺法求出所缺投影投影k 。15例例2.5 在直線在直線ab上求作一點(diǎn)上求作一點(diǎn)k與已知兩點(diǎn)與已知兩點(diǎn)e、f等距離。等距離。分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)k要要與與e、f兩點(diǎn)兩點(diǎn)等距離，其軌等距離，其軌跡之一是跡之一是e、f兩點(diǎn)連線的兩點(diǎn)連線的中垂面中垂面p，而，而點(diǎn)點(diǎn)k又要在直又要在直線線ab上，因上，因此，上述中垂此，上述中垂面面p與直線與直線ab的交點(diǎn)就是所的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)求的點(diǎn)k。16例例2.6 已知直角三角形的

10、一個(gè)直角邊已知直角三角形的一個(gè)直角邊ab，并知其斜邊，并知其斜邊ac平行于直線平行于直線de，試完成，試完成abc 的兩投影。的兩投影。分析：分析：首先分析直角關(guān)系。首先分析直角關(guān)系。 abc的一個(gè)直角邊為的一個(gè)直角邊為ab，而斜邊為而斜邊為ac，則，則b900，abbc。其次進(jìn)行空間分析。其次進(jìn)行空間分析。直角直角abc的斜邊的斜邊ac平行線直平行線直線線de，當(dāng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)a作直線作直線de的平行線的平行線af時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)c必在直必在直線線af上，再根據(jù)直角邊上，再根據(jù)直角邊ab bc，點(diǎn)，點(diǎn)c又在過(guò)點(diǎn)又在過(guò)點(diǎn)b所作所作的的ab垂線的軌跡平面垂線的軌跡平面p內(nèi)，內(nèi)，因此直線因此直線af與平

11、面與平面p的交點(diǎn)的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)就是所求的點(diǎn)c。17例例2.7 已知等腰已知等腰abc的正面投影及底邊的正面投影及底邊ab的水的水平投影，試完成平投影，試完成abc 的水平投影。的水平投影。分析：分析：首先分析直角首先分析直角關(guān)系。關(guān)系。 等腰等腰abc的的底邊為底邊為ab，則高，則高cd必垂直平分必垂直平分ab。其次進(jìn)行空間分析。其次進(jìn)行空間分析。因因cdab，且，且d為底為底邊邊ab的中點(diǎn)，則點(diǎn)的中點(diǎn)，則點(diǎn)c在過(guò)點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)d并垂直于底并垂直于底邊邊ab的平面的平面p上。點(diǎn)上。點(diǎn)c在平面在平面p內(nèi)，故可用平內(nèi)，故可用平面內(nèi)求點(diǎn)的作圖方法面內(nèi)求點(diǎn)的作圖方法求出所缺的投影。求出所缺的投影。18例

12、例2.8 已知矩形已知矩形abcd的一邊的一邊bc，另一邊，另一邊ab平行于平行于，且頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)a位于位于h面上方面上方10 mm處，試完成處，試完成該矩形的兩投影。該矩形的兩投影。分析：分析：首先分析直角關(guān)系。首先分析直角關(guān)系。由于矩形由于矩形abcd的一邊為的一邊為bc，另一邊為，另一邊為ab，則，則b900，abbc。其次進(jìn)行空間分析。其次進(jìn)行空間分析。矩形矩形abcd的邊的邊bc已知，另一已知，另一邊邊abbc，則點(diǎn)，則點(diǎn)a必在必在過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)b所作的垂直于所作的垂直于bc的的平 面平 面 p 內(nèi) ， 再 根 據(jù)內(nèi) ， 再 根 據(jù)abi ii iii及點(diǎn)及點(diǎn)a在在h面上方面上方10 mm

13、的條件即可的條件即可求出點(diǎn)求出點(diǎn)a。19例例2.9 已知等腰已知等腰abc的高在直線的高在直線ad上，腰上，腰ab平行于直線平行于直線ef，且長(zhǎng)度等于且長(zhǎng)度等于23 mm，試作出，試作出abc的兩投影。的兩投影。分析：分析：首先分析直角關(guān)系。首先分析直角關(guān)系。由于等腰由于等腰abc的高在直線的高在直線ad上，因此上，因此bc為底邊，直線為底邊，直線ad為底邊為底邊bc的中垂線，點(diǎn)的中垂線，點(diǎn)k為垂足，即底邊為垂足，即底邊bc的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。其次進(jìn)行空間分析其次進(jìn)行空間分析。先根據(jù)。先根據(jù)腰腰ab平行于直線平行于直線ef，且長(zhǎng)度，且長(zhǎng)度等于等于23 mm的已知條件將點(diǎn)的已知條件將點(diǎn)b的位置確定下

14、來(lái)，有了點(diǎn)的位置確定下來(lái)，有了點(diǎn)b后，后，由于由于adbc，則底邊，則底邊bc必必在過(guò)點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)b所作的垂直于直線所作的垂直于直線ad的平面的平面p內(nèi)，而直線內(nèi)，而直線ad與與平面平面p的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)k，再根，再根據(jù)據(jù)bkck，即可求出，即可求出 點(diǎn)點(diǎn)c，完成等腰完成等腰abc。20例例2.10 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)a作直線分別交作直線分別交def于于b，交直線，交直線mn于于c，使，使ab=bc。分析：分析：連連amn成成一平面，求出它一平面，求出它與三角形與三角形def的交線的交線kg，然后，然后在在an上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)t，使使ak=kt，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)t作直線平行于作直線平行于kg，交交mn于點(diǎn)于點(diǎn)c，連，連ac交交kg于點(diǎn)于點(diǎn)b，則直線則直線abc即為即為所求。所求。21例例2.11 求交叉兩直線求交叉兩直線ab、cd之間的垂直距離之間的垂直距離和各垂足位置。和各垂足位置。分析：分析：兩線之間的關(guān)系一般需兩線之間的關(guān)系一般需要轉(zhuǎn)化為線面或面面之間的關(guān)要轉(zhuǎn)化為線面或面面之間的關(guān)系。可過(guò)系?？蛇^(guò)cd作一平面作一平面p，使之，使之平行于已知直線平行于已知直線ab，由點(diǎn)，由點(diǎn)b向向平面平面p作垂線得垂足作垂線得垂足f，則，則bf是點(diǎn)是點(diǎn)b到平面到平面p的距離，也是的距離，也是直線直線ab到平面到平面p的距離，由于的距離，由于cd屬于平面屬于平面p，故，故