立體幾何中的向量方法4

1、a1b1c1d1abcdn 課本例課本例2的學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí) 課本第課本第116116頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)2 2的思考的思考:(:(求兩點(diǎn)間的距離向量法思路求兩點(diǎn)間的距離向量法思路) ) 如圖如圖,60,60的二面角的棱上有的二面角的棱上有a、b兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,直線(xiàn)直線(xiàn)ac、bd分別分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi), ,且都垂直且都垂直ab, ,已知已知ab4,4,ac6,6,bd8,8,求求cd的長(zhǎng)的長(zhǎng). . bacd 第第115頁(yè)的思考解答頁(yè)的思考解答(由學(xué)生課外學(xué)習(xí)由學(xué)生課外學(xué)習(xí)) 課本課本例例2.2.如圖甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)如圖甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)a a處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)

2、處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)b b處。從處。從a a，b b到直線(xiàn)到直線(xiàn) （庫(kù)底與水壩的交線(xiàn)）的距離（庫(kù)底與水壩的交線(xiàn)）的距離acac和和bdbd分別為分別為 和和 ,cd,cd的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 , ab, ab的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 . .求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值. . labcd分析：分析：如圖，如圖，. dabccdbbdaac ，化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題由圖可知有向量關(guān)系由圖可知有向量關(guān)系abaccddb 進(jìn)行向量運(yùn)算嘗試進(jìn)行向量運(yùn)算嘗試22()abac cd db 2222()abcdbdac cd ac db cd db abcd 22222dacbca db 課

3、本第課本第115頁(yè)例頁(yè)例2的思考的思考(2) 如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的線(xiàn)的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？余弦值嗎？ 分析：分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn)如圖，設(shè)以頂點(diǎn) 為端點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)為端點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為長(zhǎng)為 ，三條棱長(zhǎng)分別為，三條棱長(zhǎng)分別為 各棱間夾角為各棱間夾角為 。a1b1c1d1abcdad， cba 22211()dacabbccc 2222()cosacbabbcac )(2cos 2222acbcabcbad 則則 課本

4、第課本第115頁(yè)的思考頁(yè)的思考(3) 如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于 ，并且以某一頂點(diǎn)為端，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)面，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)面夾角的余弦值嗎？夾角的余弦值嗎？a a1b1c1d1abcd分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夾角向量的夾角回歸圖形回歸圖形 解：解：如圖，在平面如圖，在平面 ab1 內(nèi)過(guò)內(nèi)過(guò) a1 作作 a1eab 于點(diǎn)于點(diǎn) e，ef在平面在平面 ac 內(nèi)作內(nèi)作 cfab 于于 f。 cos sin 1abfaeacfea ，則則11 cosco

5、s cos eafca ecf ，11|a e cfa ecf 122() ()sina aaecbbfa 2222222coscos cos()cos cos()cossinaaaaa cos1cos 可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值?？梢源_定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值。向量法向量法(坐標(biāo)化坐標(biāo)化)不建坐標(biāo)系怎么解不建坐標(biāo)系怎么解zxyf1 1f2 2f3 3acbo500kgf1 1f3 3f2 2f1 1f2 2f3 3acbo500kgf1 1f3 3f2 21答案答案2答案答案ca1ab1b1c1d1fabcdsa1ab1bc1c1d1fxyz所以：a1ab1b1c1d1f

6、解：以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則 11cc (1,0,0), (0,1,0),abcxyzc) 1 ,21,21(),1 , 0 ,21(11df) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11dbfa10302345| 141|1111dbfadbfa11cos,af bd |所以所以 與與 所成角的余弦值為所成角的余弦值為1bd1af1030abcds解： 建立空直角坐系a-xyz如所示,),0 ,21, 0(da( 0, 0, 0) ,c ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)s) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (dsdc),0 ,21, 0(1dansba的法向量易知，面2( , , ),scdnx y z 的法向量22,ncd nsd 由得：設(shè)平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn。是即所求二面角的余弦值36xyzzxyabcc1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1baecxyzc則解：如圖建立坐標(biāo)系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1baec則的公垂線(xiàn)的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnbaec100n