第八章不定積分

1、第八章第八章 不定積分不定積分1 不定積分概念與基本積分公式不定積分概念與基本積分公式 正如加法有其逆運算減法, 乘法有其逆運算除法一樣, 微分法也有它的逆運算積分法. 我們已經(jīng)知道微分法的基本問題是研究如何從已知函數(shù)求出它的導(dǎo)函數(shù), 那么與之相反的問題是: 求一個未知函數(shù), 使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某已知函數(shù). 提出這個逆問題, 首先是因為它出現(xiàn)在許多實際問題之中. 例如: 已知速度求路程; 已知加速度求速度; 已知曲線上每一點處的切線斜率(或斜率所滿足的某一規(guī)律)求曲線方程等. 本章與其后三章構(gòu)成一元函數(shù)積分學(xué).一一.原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分3232( )( ),.1()311()co1.

2、 s232fFIF xf xxIFfIxxxxx 設(shè)與在區(qū)間 上都有定義.若則稱為在區(qū)間 上的一個原函數(shù) 例如是在，上的一個原函數(shù), 因為原函數(shù)定義定義1 . 與2.1cos21sin2(,)211cos2cos21sin2 . 22, xxxxx 原函數(shù)的存在性與個數(shù)都是在內(nèi)的原函數(shù), 因為 如果這些簡單的例子都可從基本求導(dǎo)公式反推而得的話 那么21 ( )arctanln(1)2( )arctan, . ,1. , 2. : , F xxxxf xx是的一個原函數(shù) 就不那樣明顯了 事實上 研究原函數(shù)必須解決下面兩個重要滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)？ 如果存在 是否唯一？若問已知某個函數(shù)

3、的原函數(shù)存在 又怎樣 把題它求出來？, ;, , , ( )( ), .5.fIfIFF xf xxI 關(guān)于第一個問題 用下面兩個定理來回答 至于第二個問題 其解答則是本章接著要介紹的各種積分方法若函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù) 則在 上存在原函數(shù)即 本定定理81理要到第九章中 才能獲得證明2, (, , :. (,)xe dx 由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)函數(shù) 因此每個初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù) 只是初等函數(shù)的原函數(shù)不一定仍是初等函數(shù) 如當(dāng)然 一個函數(shù)如果存在間斷點 那么此函數(shù)在其間斷點所在的區(qū)間上就不一定存在原函數(shù) 參見本節(jié)習(xí)題第)8題注, ( ) , ;( ) , . FfIiFCfICi

4、ifI設(shè)是在區(qū)間 上的一個原函數(shù) 則也是 在區(qū)間 上的原函數(shù) 其中為任意常量函數(shù)在 上的任意兩個原函數(shù)之間 只可能相差一定理82 個常數(shù)( )( ( )( )( ), ( ) , ( ( )( )( )( ) ( )( )0,.( )( ), .iF xCF xf xxIiiFGfIF xG xF xG xf xf xxIF xG xC xI 這是因為 設(shè) 和是在 上的任意兩個原函數(shù)于是 證則明, ( )., ( ),( ), (3. 21(1), fIfIf x dxf xf x dxx函數(shù) 在區(qū)間 上的全體原函數(shù)稱為在 上的不定積分 記作其中稱 為積分號為被積函數(shù) 為被積表達式為積分變量盡

5、管記號 中各個部分都有其特定的名稱 但在使用時必須把它不定積分們看作定義定義一整體2, , , ,. , ( )( ), (2)FffFCCf x dxF xCC 由定義 可見 不定積分與原函數(shù)是總體與個體的關(guān)系 即若是的一個原函數(shù) 則的不定積分是一個函數(shù)族 其中是任意常數(shù) 為方便起見 寫作這時又稱 為積分常數(shù) 它可取任一實 ( )( )( ), ( )(3)(4. (2), :)(.f x dxF xCf xd f x dxd F xCf x dx數(shù)值 于是又有按照寫法本節(jié)開頭所舉的幾個例子 可寫作 2321 ,31 sin2cos2,21arctanarctanln(1).2, “”“”x

6、 dxxCxdxxCxdxxxxC此外 一個存在不定積分 與 存在原函函數(shù)顯然是等數(shù)同的說法 , ( ) . FfyF xff若是的一個原函數(shù) 則稱的圖像為 的4 一條積分曲線 于是 的不定不定積分的幾何意義積分在幾何上表示), ,f 的某一積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一切積分曲線組成的積分曲線族(右圖顯然 若在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作切線則這些切線互相平行0000, , ( )(, , ( ,).F xyx y 在求原函數(shù)的具體問題中 往往先求出全體原函數(shù) 然后從中確定一個滿足條件稱為初始條件 它由具體問題所規(guī)定)的原函數(shù) 它就是積分曲線族中通過點的那一條積分曲線000000 ,

7、 , ( )( ), ( ).( ), ,( )().a tv tav tadtatCv tvCvatv ta ttv例如 質(zhì)點作勻加速直線運動時則 若已知代入上式后確定積分常數(shù) 于是就有 00200100100 020000( )( ), ( )()1 ()2( ),1( )()().2s tv ts ta ttv dta ttv tCs tsCsv ts ta ttv tts又因所以又有若已知 則代入上式得到二二. . 不定積分的基本積分表不定積分的基本積分表 , , , ff 怎樣求原函數(shù)？我們很快就會發(fā)現(xiàn)這要比求導(dǎo)函數(shù)要困難得多原因在于原函數(shù)的定義不像導(dǎo)數(shù)定義那樣具有構(gòu)造性即它只告訴我

8、們其導(dǎo)數(shù)恰好等于某個已知函數(shù)而沒有指出怎樣由求出它的原函數(shù)的具體形式和途徑因此 只能先按照微分法的已知結(jié)果去試探1:10.21.3 (1,0)11 .21ln | (0).dxCdxdxxCxx dxCxdxxCxdxxCxx 首先把基本導(dǎo)數(shù)公式改寫成基本積分公式,4. 25.6 (0,1)ln17cossin (0)18sincos (0)9sectan.xxxxe dxeCaa dxCaaaaxdxaxCaaaxdxaxCaaxdxxC .212112 10csccot.11sectansec.12csccotcsc.13arcsinarccos.114ar.ctanarccot.1xdx

9、xCxxdxxCxxdxxCdxxCxCxdxxCxCxCC 以上公式中的及均為任意常數(shù), , , ., , ln ,tan ,cot ,sec ,csc ,arcsin ,arctan, . xxxxxxx 上列基本積分公式 讀者必須牢牢記住 因為其它函數(shù)的不定積分經(jīng)運算變形后 最后歸為這些基本不定積分當(dāng)然 僅有這些基本公式是不夠用的即這樣一些基本初等函數(shù) 現(xiàn)在還不知道怎樣去求得它們的原函數(shù) 所以11, . :( )( ).5) (6)nniiiiiik f xdxkf x dx還需要從一些求導(dǎo)法則去導(dǎo)出相應(yīng)的不定積分法則 并逐步擴充不定積分公式 最簡單的是從導(dǎo)數(shù)線性運算法則得到不定積分的線

10、性運算法則線性法則的一般形式為1101112011 , ( ).( ).1 2nnnnnnnnp xa xa xaxap x dxaaaxxxa xCnn根據(jù)上述線性運算法則和基本積分公式 可求得一些簡單函數(shù)的不定例1積解分LL422232222222212 (1)111 2arctan.3cossincossincossin (cscsec) cottan. xdxxdxxxxxxCdxxxdxxxxxxx dxxxC 例2例3 cos3sin1 (sin4sin2 )2111 (cos4cos2 )2421 (cos42cos2 ).8xxdxxx dxxxCxxC 例42222222(1

11、010 ) (10102) (10 )(10 )21 (1010) 2.2ln10 xxxxxxxxdxdxdxx C例 5221|1|.1,1 ( ) |1| (,)1,1, |1|(,),1,), 2, 1,),( ). 2(,1 ,( ) 1, xdxxxf xxfx xxdxxxfFfxxF xxxF xxC 求 設(shè)由于 在內(nèi)連續(xù) 故不定積分在內(nèi)存在.易知 是 在上的一個原函數(shù) 設(shè)例6 為的一個原函數(shù) 且當(dāng)時 則當(dāng)時 于是存在常數(shù) 解使得211122 ( ), (,1,211111,221. , 12( ) |1|( ),1, 1.2.xF xx C xFxCCxx xF xxdxF

12、xCxxxC 因為 在連續(xù), 故有從而于是其中 為任意常數(shù)1812,4,5(5)(7)(8)(10)(11)(15),6(1)作業(yè) P- 換元積分法換元積分法 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可導(dǎo)出換元積分法由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可導(dǎo)出換元積分法.2 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法,( ),( ).( )( )( )( ( ) ( ) ( ( ) ( )(.4()( ). (1) fIxtJJIif x dxF xCIftt dtJftt dtFtC 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義 在區(qū)間 上可導(dǎo) 且若不定積分在 上存在,則不定積分在 上也存在,定理8換元積且分法（第一換元公式）11( )( )( ), (

13、 )( ( ) ( )( ), ( )( ). (2)iixtJtxxIf x dxIftt dtG tCJIf x dxGxC若在 上存在反函數(shù)且不定積分在 上也存在,則當(dāng)不定積分 在 上存在時 在 上有 （第二換元公式）( ( )( ( )( )( ( )( ),( ( )( )( ( ) ) (1)( )dFtFttfttdtfttFit 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法進行驗證.因所以以為其原函數(shù),證明式成立01111110( )( ). ( ( ( )( )( ( ) ( )( )( ( ) ( )( ( ) ( )0,( ( )( ), ( ( )( ), ( )( ), ( )( )( ) )

14、f x dxF xCtJdFtG tFttG tdtfttfttFtG tCFtG tCF xGxCf x dxF xCGxCiiC 設(shè)對有于是從而即所以1 ( ).GxC1( )( ), ( )0,( )( ) ( )0,( ), xtJtxxItxJJIiitxJJIJ在上 若中的條件 換成則在條件且下 由拉格朗日中值定理及反函數(shù)的可導(dǎo)性可推出注:更強的在上存存在反函數(shù)在可導(dǎo)的條件且,反函數(shù),111(2):( )( ) ( )1 ( ( )( )( ) ( ( )( ).dGxGxxdxftttftf x因而也可直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo)法得到, :( ( )( )( ( )( ) (

15、 ( ).(1)fxx dxfx dxFxC 下面的例至例采用第一換元積分法求解在使用公式()時 也可把它寫成如下簡便形式tan.sin(cos )tan,coscos1( )cos ,( )1tanln ln cos.xdxxxxdxdxdxxxuxx f uuxdxduuCuxC 例1解 求由 可令, 則得222222(0).( )1()1( )11arc tan11arctan. dxaaxxddxxauxaxaaaduuCauaxCaa 求 令例2解222222, (1). (0)( )11( )1( ) arcsin.udxaaxxddxdxaaxxaxaaxCa 對換元積分法較熟練

16、后,可以不寫出換元變量而直接使用公式例3 求解2222(0)111 ()21()() 21 lnln21 ln.2dxaxadxdxaxaxaxad xad xaaxaxaxaxaCaxaCaxa 求 例4 解22sec4cos(sin )seccos1sin11sin ln.21sinxdxxdxxdxdxxxxCx求 利用例 的結(jié)果法解解一可得例5sec (sectan )secsectan(sectan )sectan ln sectan.xxxxdxdxxxdxxxxxxC解法二 , , 11sin ln= ln sectan.21sinxxxx這兩種解法所得結(jié)果只是形式上的不同 但所

17、表示的函數(shù)集是一樣的 可驗證, ( ( )( ), ( ), ( ),.fxx dxuxf u duux 從以上幾例看到 使用第一換元積分法的關(guān)鍵在于把被積表達式湊成的形式 以便選取變換化為易于積分的最終不要忘記把新引入的變量還原為起始變量 21, .69 第二換元公式從形式上看是公式的逆行 但目的都是為了化為容易求得原函數(shù)的形式(最終同樣不要忘記變量還原)以下例 至例 采用第二換元積分法求解36., 236, , : duuuux求為去掉被積函數(shù)中的根式 取根次數(shù) 與 的最小公倍數(shù)并令則可把原來的不定積分化為簡單有理例解 式的積分6532323236661 6 (1)1 6ln1322366

18、ln1.duxdxxxuuxxdxxxxxxCuuuuC 22(0).|, sin , 2arcsin. ax dx axaxattxta 求 因可令(這是存在反函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間例)7解于是22222222222cos( sin ) cos(1cos2 )21 (sin 2 )22 arcsin1()21(arcsin).2ax dxatd atatdtat dtattCaxxxCaaaxaxaxCa2222(0).sec , 0, 2sectan tan sec ln sectan.dxaxaxattdxattdtatxatdtttC例8 解求有 令于是222222221, sec, ta

19、n, lnln.xxattaadxxxaCaaxaxxaC借助右下圖的輔助直角三角形 便于求出故2222222244333322(0).()tan , 2sec1cos()sec11(1cos2 )(sin cos )221(arctan).2d xaxaxattd xatdttdtxaatat dttttCaaxaxCaaxa 求 令于解是有例922.1. 1 dxxxx有些不定積分還可采用兩種換元方法來計算求采用第一換元積分法 當(dāng)例10解解法一時,22322222222111111( )111111.11, 1.1dxdxxxxxudduxxuxuCxCxdxxxCxxx 同理可得當(dāng)時22

20、22( sec ).sectan sectan1 cos1 sin1.xtdxttdtttxxtdttCxCx 采用第二換元積分法 解令法二(15)tanlncos;(16)cotlnsin;(17)secln(sectan );(18)cscln(csccot );xdxxCxdxxCxdxxxCxdxxxC 不定積分的基本積分表（續(xù)）不定積分的基本積分表（續(xù)）2222221(19) 1 arctan(0);11(20) ln(0);211(21) ln(0);2dxaxxC aaaxadxC axaaxaaxdxC aaxaax不定積分的基本積分表（續(xù)）不定積分的基本積分表（續(xù)）22222

21、2222221(22) arcsin(0);1(23) ln(0).(24) 1 (arcsin)(0); 2xdxC aaaxdxxxaC axaax dxxax axC aa二二. .分部積分法分部積分法由乘積求導(dǎo)法由乘積求導(dǎo)法,可以導(dǎo)出分部積分法可以導(dǎo)出分部積分法 ( )( )( ) ( ), ( )( ), ( )( )( ) ( )( ) ( ). (3). ()u xv xu x v x dxu x v x dxu x v x dxu x v xu x v x dx若與可導(dǎo)不定積分存在 則也定理85 分部積分存法 在 并有（分部積分公式） ( ) ( )( ) ( )( )( ),

22、( )( ) ( ) ( )( ) ( )(4, 3 3 .) u x v xu x v xu xudvuvvduv xu x v xu x v xu x v x 由 或?qū)ι鲜絻蛇吳蟛欢ǚe分就得到證明分式公式稱為部積分常作公式簡寫 cos.,cos , 1,sin . 3cossinsin sincos . xxdxux vxuvxxxdxxxxdxxxxC例1求令則有式1公求得解由 222arctan.1arctan ,1,1, 3arctanarctan11 arctanln(1) .2 xdxux vuxvxxxdxxxdxxxxxC求令則由公式求得例12解 3343434ln.ln ,

23、 4lnln()41(ln)4(4ln1).16xxdxux vxxxxdxxdxxx dxxxC 求令由解公式有例132222222.() 2 2() 22(22).xxxxxxxxxxxx e dxx e dxx dex exe dxx exdex exee dxexxC 例1解 求4; , . 有時需要接連使用幾次分部積分才能求得結(jié)果 有時還會出現(xiàn)與原不定積分同類的項 需經(jīng)移項合并后方能完成求解 現(xiàn)分別示例如下121221cos, sin.1cos()1 (cossin)1(cos),11sin()(sin).axaxaxaxaxaxaxaxIebxdx IebxdxIbxd eaebx

24、b ebxdxaebxbIaIbxd eebxbIaa例求15 解1212cos,sin., axaxaIbIebxbIaIebx由此得到解此方程組 求得122222cossincos ,sinsincos .axaxaxaxIebxdxbbxabxeCabIebxdxabxbbxeCab22122222(1).1,111 a (sin ,(,)rcsin1,221 2 2nnxIdx nxxIdxxCxxIdxxxCxtxxt 例16解只需 導(dǎo)出不定積分為正整數(shù) 的遞推公式令112212222212221222122122(1)11(1)1(1)1(1)11(1)(1)111(1)(1),1

25、1 1.nnnnnnnnnnnnnnnnxIxdxxdxxxxnxx dxxxxxndxxxdxx dxxxnnxxxxnInInIxxInn 于是得到遞推公式1901(12)(15)(23)(24)(26)2(4)(8),(29)(30)(32)(36),1913(2),6(3) P- 作業(yè): P- 3 3 有理函數(shù)和可化為有理有理函數(shù)和可化為有理 函數(shù)的不定積分函數(shù)的不定積分., , , 至此我們已經(jīng)學(xué)得了一些最基本的積分方法 在此基礎(chǔ)上 本節(jié)將討論某些特殊類型的不定積分 這些不定積分無論怎樣復(fù)雜 原則上都可按一定的步驟把它求出來 有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分1. 有理函數(shù)定義有理

26、函數(shù)定義 100101001101( ) (, , , 0,0. ,; ,., (1),( )nnnmmmnmxxP xR xQ xxn mmnxmn 有理函數(shù)是指由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù) 其一般形式為其中為非負整數(shù)與,都是常數(shù) 且若則稱它為真分式 若則稱它為假分式由多項式的除法可知 假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和L , , 1. , (). .由于多項式的不定積分是容易求得的 因此只需研究真分式的不定積分 故設(shè)為一有理真分式 根據(jù)代數(shù)知識 有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和 稱為部分分式分解因而問題歸結(jié)為求那些部分分式的不定積分2. 真分式的積分方法真分式的積分方法

27、 1121011112( ) 1,(1,2, ;1,2,.( )()() () (), ), 2 (, 2)stijstijijsttnmQ xx ax axp xqxQ xispjxqt 對分母在實系數(shù)內(nèi)作標準分解.令其中設(shè)有理均式為真分式，即第為非負整數(shù) 且一步 LL2,40,1,2,.jjmpqjt,211222221222. (), (;)().(, )kkkkkkkxaxpxqB xCBAAAxaxCB xCxpxqxpxqxpxxaxaq 根據(jù)分母的各個因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式 對于每個形如的因式 它所對應(yīng)的部分分式是:對每個形如的因式 它所對應(yīng)的部分分式是:+（）二 （第+

28、步L( ) (,. : , ( ),( )., , , iiiR xA B CQ xP x把所有部分分式加起來使之等于至此部分分式中的常數(shù)系數(shù)尚未待定的)確定待定系數(shù) 一般方法是將所有部分分式通分相加 所得第三步分式的分母即為原分母而其分子亦應(yīng)與原分子恒等于是 按同冪項系數(shù)必定相等 得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程 這組方程的解就是需要確定的系數(shù)432543224910( )5248:xxxxR xxxxxx對 作部分分式分解按上述步驟依次執(zhí)例 解 行如下13. 舉例舉例 54322201222 ( )5248 (2)(2) (1).: ( ). 22(2)1(3)( ):Q xxxxxxxxx

29、xAAABxCR xxxxxxQ x 部分分式分解的待定形式為用乘上式兩邊得一恒等式4322220122240101201224910(2) (1)(2)(2)(1) (2)(1) ()(2)(2) . :2,321,33(4)424,4xxxxA xxxA xxxxA xxxBx C xxAABxAAAB CxAAABCx 32然后使等式兩邊同冪項系數(shù)相等得到線性方程組的系數(shù)的系數(shù)的系數(shù)120123849,442810.AABCxAAAC 的系數(shù)常數(shù)項01222: 1,2,1,1,1,(3), ( ):1211( ).22(2)1( )0(4), , .AAABCR xxR xxxxxxxQ

30、 x 求出(4)的解并代入式 這便完成了對的部分分式分解 上述待定系數(shù)法有時可用較簡便的方法去替代例如可將 的某些特定值(如的根)代入式 以便得到一組較簡單的方程 或直接求得某幾個待定系數(shù)的值02432121111 , 22(4),11.(4)31216(2)(2)(1)()(2)(2) ., , , 0,1, 1,24, 332,38.xxAAxxxA xxxxBx C xxA B CxxACABCAB C 對于上例 若分別用和代入式立即求得和于是式簡化成為:為繼續(xù)求得還可用 的三個簡單值代入上式 如令相應(yīng)得到12,1,1., . ,:ABC 一旦完成了部分分式分解 最后求各個部分分式不定積

31、分 由以上討論知道任何有理真分式的不定積分由此易得這就同樣確定了所有待定系都將歸為求以下兩種形式的數(shù) 不定積分212( ), ( ln|,1,1,1.()() ;() 1)( ( ) (40).(kkkkdxIxIx aCkdxCkx ak xaLx MIIdx pqxxapq對于已知222222222(), ,2 ()() ,()() ,5) .421(5):kkkkpIItxLxMLtNdxdtxpxqtrtdtLdtNtrtrpprqNMLk對于只要作適當(dāng)換元(令)便化為其中當(dāng)時式右邊兩個不定積分分別為22222222221221ln(),21arctan.2,(5)1.()2(1)()

32、, ,)(6)(kkkktdttrCtrdttdtCtrrrktdtCtrk trdtItr當(dāng)時式右邊第一個不定積分為對于第二個不定積分記2222222122221222211122221:1()()11()111()2(1)()11,2(1) ()kkkkkkkkktrtIdtrtrtIdtrrtrItdrrktrtIIrrktr可用分部積分法導(dǎo)出遞推公式如下122212123. 2(1)()2(1)(7), ,(6). (5), ,(27.)kkktkIIrktrrkIptx經(jīng)整理得到重復(fù)使用遞推公式最終歸為計算這已由式給出 把所有這些局部結(jié)果代回式 并令就完成了對不定積分()的計算222

33、2222222221.(22), , , 1(22)(21)(22)(22)121.21(22)xdxxxxxxxxxxxxxxxx求 在本題中 由于被積函數(shù)的分母只有單一因式 因此 部分分式分解能被簡化為解:例2 2122222222222222(22)(22):1(1)arctan(1).22(1)121(22)(22)1(1)(22)(1)11.22(1)xxd xxCxxxxdxdxxxxxddxxxdtxxxxxt現(xiàn)分別計算部分分式的不定積分如下2222222222(7), 1 (1)2(1)2111 arctan(1).2(22)21 (22)33 arctan(1).2(22)2

34、dttdttttxxCxxxdxxxxxCxx由遞推公式求得其中于是得到(tan ,(,)2 2tu u 或令二二. 可化為有理函數(shù)的不定積分可化為有理函數(shù)的不定積分1. 有理式的定義有理式的定義 下面再介紹幾類被積函數(shù)能變換為有理函數(shù)的不定積分( ), ( )( ), ( ), ( ( ), ( )tan22. ( ( ), ( )R u x vu x v xu x v xR u x v xdxxtx 由及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為關(guān)于的有理式 用表三角有理式的不定積示 一般可通過變換把它化為有理函數(shù)分的不定積分222222222222222222sincos2tan2222si

35、n,1sincos1 tan222cossin1 tan1222cos,1sincos1 tan2222 ,1212 (sin ,cos )(,(8)(9)(10).111xxxtxxxxtxxxtxxxxtd xdttttRxx dxRdtttt所以 22222221sin.sin (1cos )tan, 8 - 10:2211sin21sin(1cos )211(1)11111(2)(2ln | |)22211tantanln | tan|.42222xdxxxxttxtdxdtxxtttttttdtttCtxxxC 求 令將代入被積表達解式有例3tan2, .xt 上面所用的變換對三角函

36、數(shù)有理式的不定積分雖然總是有效的 但并不意味著在任何場合注都是簡便的：2222222222222222222 (0).sincos1cossincostansec(tan ) ,tantantandxabax bxdxxdxax bxax bxdxdxax bax btx 求 由于令例4解有22, , sin,cossinoan,c stxxxxtx 通常當(dāng)被積函數(shù)是的有理式時 采用變換往往較為簡便 其它特殊情注 形可因題而異選及擇合適的變換.2222, 12 (.222(1)8, ,21(1)1),(0)nnaxbtcxdxdxxxxtttxdxaxbR xdxadbccdtxttxd 對此

37、只需令就可化為有理函數(shù)的不定積分 求 令 則型不定積分例 5解3. 某些含有無理根式的不定積分某些含有無理根式的不定積分(0, )axbadbccxd若則為常數(shù)22222122422(1)(1)111ln2arctan11(2)/(2)2ln2arctan.21(2)/(2)xdxx xtdtdttttttt CtxxxCxxx222222 2 .(1) 2111 ,(1)2(1) 21, 2216 ,1(1)dxxx xxxxxx xxtxttxdxdttt 求 由于故令則有例6 解222 242 2211(1)2(1) 2(1)62 9(1)322 2 .33 1dxxxxxx xtttdtdttttxCCtx 22222222222222224 (),244, ,24(2) ( ,)(0, 40,0| |(), | |(), | |().)bac baxbx caxaabR xaxbx c dxaac buxkaaa uka ukabacaxbxkuc 由于若記 則此二次三項式必屬于以下三種情形型不定積分 之一:2222(