Hermite型插值的混淆誤差的估計

1、Hermite 型插值的混淆誤差的估計李躍武 1 蘇艷華 2 王建華 3(1. 呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)系 內(nèi)蒙古 0210082 2. 沈陽大學(xué)理學(xué)院 3. 呼倫貝爾學(xué)院 )摘 要：我們證明了如果 f L1p(R),f(x) O(1 |x|) 1p ), 0且 f 在R上 任何有限區(qū)間上 Riemann 可積，則 | f H (f )|C 1 f ,1 .| f H (f ) |p (R) C p k f ,其中 H ( f) 是 f 通過由其樣本 f(k ) 和 f (k ) 在 L p(R) 中的指數(shù)kZ k Z2 型 整 函 數(shù) 空 間 B2 ,p 中 的 Hermite 型 的 插 值 算2

2、 ,p子, k(f,t): suph t| kh f(x)|p(R)為函數(shù) f 的 k階光滑模 .關(guān)鍵詞： 有限帶函數(shù) ; 樣本序列 ; 插值算子 ; 混淆誤差1、引言 在實踐過程中，我們經(jīng)常要研究一些 連續(xù)信息，然而連續(xù)信息是不能整體記錄 的，它是通過離散的信息記錄(解碼)表 示的，但單純的離散信息記錄不能準(zhǔn)確表 示原始信息全貌，因此我們需要對離散的 信息記錄處理(編碼)后將其還原為連續(xù) 信息。而樣本定理的作用恰好在離散信息 和連續(xù)信息之間架起了一座橋梁，它表 明：在一定條件下，抽樣序列完全可以表 示一個連續(xù)信息。設(shè) L p ( R),1 p 表示經(jīng)典可測的 P 次 冪 Lebesgue 可

3、積函數(shù)空間， 賦以通常的 范數(shù)|f|p(R)|f(x)|p dx 1p,1 p .R以Lrp(R),1 p , r N 表示 Lp(R)中 在R 上r 1階導(dǎo)數(shù)局部絕對連續(xù) ,并且使 得|f(r)|p(R)有限的函數(shù) f 全體。設(shè)f Lp (R),1 p ,h f(x) j 0 ( 1) Ck f (x jh) 表 示 函 數(shù) f(x)的 k階差分，我們用 k階光滑模 k(f,t): suph t| kh f (x) |p(R)來刻畫 函數(shù)的光滑程度 .定義 1 1 設(shè) g 為整函數(shù) ,0 ,如果對任何0, 存在常數(shù) A( ) 使得g(z) Aexp() z, z C 則稱 g 為指數(shù) 型的整

4、函數(shù)， 記指數(shù) 型的整函數(shù)的作者簡介 ：李躍武 (1965-) 男，畢業(yè)于內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)系 , 副教授 , 碩士 , 從事函數(shù)逼近論研究。- 41 -全體為 E ,將 E 中在 R 上有界函數(shù)的 全體記為 B .令 B ,p : B Lp (R), 1 p , B , : B ,0 . 如果一個 R 上局部可積函數(shù) f 的 Fourier 變換 有有限支集，我們則稱 f 是有限帶函數(shù)。自從 Shannon(1948) 首次把有限帶函數(shù)引進通信工程，經(jīng)典的Whittaker-Shannon-Kolenikov 樣本定理就在純數(shù)學(xué)和應(yīng)由于樣本定理在通訊理論中的重要作 用，在過去的幾十年里，人們

5、一直致力于 在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和電子工程等不同領(lǐng)域及各方 向拓廣 Whittaker 樣本定理。 例如， 考 慮非有限帶函數(shù) f 用有限帶函數(shù)插值逼近 的收斂性及誤差估計。這種誤差在電子工 程術(shù)語中通常稱為函數(shù) f (x) 的混淆誤差。用領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用， 它是插值和樣本理論中的基本定理。該定理表明每個帶有限信號函數(shù) f 可由其可列個等距分Jagerman 和 Forgel(1956) 首先考慮了 用 二 重 樣 本 序 列 f(k ) k Z 和f (k ) k Z替代樣本序列構(gòu)造布的結(jié)點 k 上的樣本值了 Hermite 型插值算子對有限帶函數(shù)重恢復(fù) , 即如果 f B ,2 ，則構(gòu)，特別他們

6、證明了， 如果 f (x) B2 ,2 ，f (x)f (k )sinc (x k )xR(1)f (x) 2f (k / ) k Z (x k / )2f (k / ) xk/sinc2 x, x R其中 sincxf(x)x 112skinZx(,xfx(kk 0/; )21, fx(kk / )sinc2 x, x R(2)x 0 . 級 數(shù) f(x)f (k )sinc (x k ) 通kZf Lrp (R) ,1 p ,k N,r N,42常稱為 Whittaker cardinal 級數(shù)，該級數(shù) 在 R 的緊子集上絕對且一致收斂。最近，房艮孫和李冱岸 5證明了如果f B2 ,p ,

7、1 p ,(2) 仍成立 , 還給出了混淆誤差的估計。設(shè)f Lrp(R),1 p ,k N,r N且 r 2 , 則 存 在 僅 與r,k,p 有關(guān)的正常數(shù) Cr,k,p使得1|f H (f)|p(R) Cr,k,p r k( f(r),1)p(R)其中 f H (f )稱為函數(shù)的混淆誤差 , H (f): 12k Z (xf (kk / )2 xf(kk / ) sinc2 x, x R以上結(jié)果在 f 具有較好的光滑性條 件下 (r 2) 給出了函數(shù) f 用 Hermite 型 插值算子逼近時 , 函數(shù) f 在階的意義下混 淆誤差的精確估計，定理 1 啟發(fā)我們考慮 以下問題， 當(dāng) r 1 時

8、，Hermite 型插值級 數(shù)在 R 上表示某些非有限帶函數(shù)的混淆 誤差的階是多少 ? 本文將研究這個問題， 我們的結(jié)果在某種意義上填補了以上結(jié) 果的一個空白。2 、主要結(jié)果定義 23 記 f (x) p( ),如果可測函數(shù) f : R C 滿足條件： f (x) O (1 | x |) 1/ p ,1 p , 0, x R.(3)令 p 0 p ( ), 則有 p Lp(R),1 p 。 我們以 表示在 R 上每個有限區(qū)間 Riemann 可積函數(shù) f : R C 的全體。設(shè)M p(R): f :f L1p(R), f p ,1 pp我們的主要結(jié)果如下定理 1 設(shè) f M p( R),1 p

9、 ，則 pf H (f) p(R) Cp,k 1wk(f,1).( 以下須注意特別是公式 )為證明定 理我們需引入如下相關(guān)引理，在下面的引 理、定理及證明中， Cp,Ck,p等分別表示 只與 p; p,k 等有關(guān)的正常數(shù)， 在不同的地 方它們可能是彼此不同的。設(shè) Kr(t) Ar (sinc( t 2r)2r ,r N,Ar R ， 其中 Ar 由 Kr (t)dt 1定義，則 Kr(t) B1,1.R令 Kr, Ar (sin c( t2r)2r ，則 Kr, (t) B ,1 ， 且 Kr, (t)dt 1.R下述引理在定理 1 的證明中起著關(guān)鍵 作用。引理 18 設(shè)q(x) p,1 p

10、,g(x) Rq(x t)kr, dt ， 則 g(x) p, x R.根據(jù) 8 ，對一切 f M p ( R),1 p ，存 在 Hermite 型插值算子 H :M p(R) B2 ,p ,滿足插值條件H ( f;k ) f(k );H ( f;k ) f(k )設(shè)lpy: y l ,1 p是定義在 Z 上賦以通常范數(shù)構(gòu)成的 Banach 空間，其中定理 1 的證明 ：由 Mp(R) 的定義知 f / p ，再由引理 1 g/(x) f /(x t)K2, (t)dt pR根據(jù)引理 5，有ylp (k Z yk p) p,1 p ; ylp supk Z yk ,p .引理 25lim (

11、 k設(shè)Z f/(k ) g/(k ) ) p (R f/(x) g/(x)pdx)pf /(k ) g/(k ) ) 1pf / g/p (R)f L1p(R), f(k )k X, f(k )k Z lp,1 p ，因此，存在常數(shù)0使( f/(x) g/(x)pdx) p f/ g/ p(R) RCp ，對充分大的則對一切 g B2 ,p，有f H (f) p(R) Cp(f(k ) g(k )p) pp(R) p k ZCp 1(f(k ) g(k ) p) p f g p(R).p k Z p(R)引理 34 設(shè) f Lrp(R),1 p ,r N ，則 p 1則( k Z f(k )

12、p)1p f p(R) fp(R)引理 47 設(shè) f Lp(R),1 p ，則對g(x) f (x t)K2, (t)dt B ,p， 1,k Z 有R1f g p(R) Ck,pwk(f , )p(R),且如果 fLrp(R) ，則f(j) g(j) p(R) Ck,j,pwk(f(j),1)p(R),j 1,2,.,r.( k Z f/(k ) g/(k ) )1p Cp f / g/ p(R)利用引理 2，3，4 有f H (f) p(R) Cp( k Z f(k ) g(k ) )1p/ k / k ( ) g (p1) p f g p(R)ff/ f g/gpp(R)f gCp( f

13、 g p f/ g/ ) Cp 1 f/ g/ p f g p1Cp( f g p 1 f/ g/ p)1 1 1Cp,kwk(f,1)p Cp,k 1wk(f /,1)p11Cp,k 1(wk(f/,1)p wk(f /,1)p)1 / 1Cp,k wk (f , ) p(R)定理得證。引理 53 設(shè) p 1 ，若 fp ，參考文獻：( f (x) pdx) pR1 S.M.Nikolskii, Approximation of Function of several variables and Imbedding TheoremsM.Berlin/Heidberg, NewYork:Spr

14、inger-Verlag, 1975.2 J.R.Higgings,Five short stories about the cardinal seriesJ.Bull.Amer. Math.Soc.1985,(12):49-893 Q.I.Rahman and P.Vertesi,On the L p convergence of Lagrange interpolation of entire functions of exponential typeJ.J.Approx.Theory,1992,(69):302-317.4 G.Fang, Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling theorem and aliasing error J.J.Approx.theory,1996,(85): 115-131.5 李冱岸 , 房艮孫 , Hermite 型導(dǎo)數(shù)樣本定理 和 Sobolev 類上混淆誤差 J. 北京師范大 學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ), 2004 ,(3):123-130.6 Shannon.C.E. A Mathematical Thr