小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)數(shù)論之同余問題

1、一、帶余除法的定義及性質(zhì)：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型:如圖，這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法

2、定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，故23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.2.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316除以5的余數(shù)等于31=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如

3、：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù)，即2.3.同余定理若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m|(ab)三、棄九法原理：在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于

4、害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的

5、時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的但是反過來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。

6、四、中國(guó)剩余定理：1.中國(guó)古代趣題：中國(guó)數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。 我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？ 首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)

7、，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。 孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來(lái)說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（chinese remainder theorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法：對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經(jīng)中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3

8、，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：，其中k是從1開始的自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然

9、數(shù)”，那么我們可以計(jì)算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對(duì)最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。例題精講：【模塊一：帶余除法的定義和性質(zhì)】【例 1】 (第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)競(jìng)賽決賽)用某自然數(shù)去除，得到商是46，余數(shù)是，求和【解析】 因?yàn)槭堑谋哆€多,得到，得，所以，【鞏固】 (清華附中小升初分班考試)甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù)【解析】 (法1)因?yàn)?甲乙，所以 甲乙乙乙乙；則乙，甲乙(法2)將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來(lái)做：從中減掉以后，就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的倍，所以得到乙數(shù)，甲數(shù)【鞏固】 一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求

10、這樣的兩位數(shù)?！窘馕觥?本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問題-即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273，說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3713，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39，91.【例 1】 (年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？【解析】 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是除數(shù)

11、的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)=（2083-13）（17+1）=115，所以被除數(shù)=2083-115=1968【鞏固】 用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這2個(gè)自然數(shù)各是多少？【解析】 本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為x,y，可以得到,解方程組得，即這兩個(gè)自然數(shù)分別是856，21.【例 2】 (2000年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)三個(gè)不同的自然數(shù)的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是_，_，_?！窘馕觥?設(shè)所得的商為，除數(shù)為，由，可求得，所以，這

12、三個(gè)數(shù)分別是，?！眷柟獭?(2004年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍，這個(gè)自然數(shù)是_【解析】 設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以11余，除以9余，則有，即，只有，所以這個(gè)自然數(shù)為?！纠?3】 (1997年我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人? 【解析】 由，知，一組是10或11人同理可知，知，二組是13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二組只能

13、是15人，一組10人【鞏固】 一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是6，求這個(gè)兩位數(shù)【解析】 因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于，并且小于；又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6，而78除以11余1，這個(gè)兩位數(shù)為【模塊二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】【例 4】 有一個(gè)大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).【解析】 這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，的約數(shù)有，所以這個(gè)數(shù)可能為。【鞏固】 有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3

14、，求這個(gè)數(shù).【解析】 (法1) ，12的約數(shù)是，因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是；(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是【鞏固】 在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0) 【解析】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為18，33=198，所以每198個(gè)數(shù)一次 1198之間只有1，2，3，17，198(余o)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999198=59，所以共有518+9=99個(gè)這樣的數(shù)【鞏固】 (2008年仁華考題)一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以

15、17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【解析】 設(shè)這個(gè)三位數(shù)為，它除以17和19的商分別為和，余數(shù)分別為和，則根據(jù)題意可知，所以，即，得所以是9的倍數(shù)，是8的倍數(shù)此時(shí)，由知由于為三位數(shù)，最小為100，最大為999，所以，而，所以，得到，而是9的倍數(shù)，所以最小為9，最大為54當(dāng)時(shí)，而，所以，故此時(shí)最大為；當(dāng)時(shí)，由于，所以此時(shí)最小為所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154【例 5】 兩位自然數(shù)與除以7都余1，并且，求【解析】 能被7整除，即能被7整除所以只能有，那么可能為92和81，驗(yàn)算可得當(dāng)時(shí)，滿足題目要求，【鞏固】 學(xué)

16、校新買來(lái)118個(gè)乒乓球，67個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個(gè)班級(jí)，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請(qǐng)問學(xué)校共有多少個(gè)班？【解析】 所求班級(jí)數(shù)是除以余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為和的公約數(shù)，所求答案為17【鞏固】 (2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)在除13511，13903及14589時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是_【解析】 因?yàn)? ，由于13511，13903，14589要被同一個(gè)數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整除，所以所求的最大整數(shù)是98【例 6】 (2003年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題) 與的和除以7的余數(shù)是_【解析】 找規(guī)律用7除2，的余數(shù)分別是

17、2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4因?yàn)?，所以除?余4又兩個(gè)數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數(shù)是【鞏固】 (2004年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被9除余7，則將這幾個(gè)數(shù)歸為一組這樣的數(shù)組共有_組【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余數(shù)依次是6，0，2，3，5因?yàn)?，所以這樣的數(shù)組共有下面4個(gè)

18、：， ， ，【例 7】 (2005年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有一個(gè)整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是50，那么這個(gè)整數(shù)是_【解析】 ，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290的大于17小于70的約數(shù)，只可能是29和58，所以除數(shù)不是58，所以除數(shù)是【鞏固】 (2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個(gè)余數(shù)之和為25，那么n=_【解析】 n能整除因?yàn)?，所以n是258大于8的約數(shù)顯然，n不能大于63符合條件的只有43【鞏固】 號(hào)碼分別為101,126,173,193的4個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽,規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P數(shù)是他們號(hào)碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的

19、運(yùn)動(dòng)員打了多少盤? 【解析】 本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計(jì)算101，126，173，193除以3的余數(shù)分別為2，0，2，1。那么任意兩名運(yùn)動(dòng)員的比賽盤數(shù)只需要用2，0，2，1兩兩相加除以3即可。顯然126運(yùn)動(dòng)員打5盤是最多的。【例 8】 (2002年小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)六名小學(xué)生分別帶著14元、17元、18元、21元、26元、37元錢，一起到新華書店購(gòu)買成語(yǔ)大詞典一看定價(jià)才發(fā)現(xiàn)有5個(gè)人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙3人的錢湊在一起恰好可買2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可買1本這種成語(yǔ)大詞典的定價(jià)是_元【解析】 六名小學(xué)生共帶錢133元133除以3余1，因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊?/p>

20、錢恰好能買3本，所以他們五人帶的錢數(shù)是3的倍數(shù)，另一人帶的錢除以3余1易知，這個(gè)錢數(shù)只能是37元，所以每本成語(yǔ)大詞典的定價(jià)是 (元) 【鞏固】 (2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個(gè)顧客買走了其中的五箱已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克【解析】 兩個(gè)顧客買的貨物重量是的倍數(shù)，剩下的一箱貨物重量除以3應(yīng)當(dāng)余2，只能是20千克【例 9】 求的余數(shù)【解析】 因?yàn)椋鶕?jù)同余定理(三)， 的余數(shù)等于的余數(shù)，而，所以的余數(shù)為5【鞏固】 (華羅庚金杯賽模擬試題)求除以17的余數(shù)【解析】 先求出乘積

21、再求余數(shù)，計(jì)算量較大可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)除以17的余數(shù)分別為2，7和11，【鞏固】 求的最后兩位數(shù)【解析】 即考慮除以100的余數(shù)由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因?yàn)槌?余1，則除以4余1；即能被4 和25整除，而4與25互質(zhì)，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余數(shù)即等于除以100的余數(shù)，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余數(shù)等于除以100的余數(shù)，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后兩位數(shù)為63【鞏固】 除以13所得余數(shù)是_.【解析】 我們發(fā)現(xiàn)2

22、22222整除13，20006余2，所以答案為2213余9?！眷柟獭?求除以7的余數(shù)【解析】 法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余數(shù)與被7除所得余數(shù)相等)而，（729除以7的余數(shù)為1）， 所以故除以7的余數(shù)為5. 法二： 計(jì)算被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表： 于是余數(shù)以6為周期變化所以【鞏固】 （2007年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題）除以7的余數(shù)是多少？【解析】 由于，而1001是7的倍數(shù)，所以這個(gè)乘積也是7的倍數(shù)，故除以7的余數(shù)是0；【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【解析】 31被13除所得的余數(shù)為5，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，

23、8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，則除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是【鞏固】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯)已知，問：除以13所得的余數(shù)是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到； 根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即2008200820

24、08是13的倍數(shù)而除以3余1，所以除以13的余數(shù)與除以13的余數(shù)相同，為6.【鞏固】 除以41的余數(shù)是多少？【解析】 找規(guī)律：，所以77777是41的倍數(shù)，而，所以可以分成399段77777和1個(gè)7組成，那么它除以41的余數(shù)為7【鞏固】 除以10所得的余數(shù)為多少？【解析】 求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個(gè)位數(shù)字從1到2005這2005個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是10個(gè)一循環(huán)的，而對(duì)一個(gè)數(shù)的冪方的個(gè)位數(shù)，我們知道它總是4個(gè)一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個(gè)位數(shù)按每20個(gè)(20是4和10的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對(duì)應(yīng)的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是一樣的首先計(jì)算的個(gè)位數(shù)字，為的個(gè)位數(shù)字，為4，由于2005個(gè)加數(shù)共可分成100組另5

25、個(gè)數(shù)，100組的個(gè)位數(shù)字和是的個(gè)位數(shù)即0，另外5個(gè)數(shù)為、，它們和的個(gè)位數(shù)字是的個(gè)位數(shù) 3，所以原式的個(gè)位數(shù)字是3，即除以10的余數(shù)是3【例 10】 求所有的質(zhì)數(shù)p，使得與也是質(zhì)數(shù)【解析】 如果，則，都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意如果p不等于5，那么p除以5的余數(shù)為1、2、3或者4，除以5的余數(shù)即等于、或者除以5的余數(shù)，即1、4、9或者16除以5的余數(shù)，只有1和4兩種情況如果除以5的余數(shù)為1，那么除以5的余數(shù)等于除以5的余數(shù)，為0，即此時(shí)被5整除，而大于5，所以此時(shí)不是質(zhì)數(shù)；如果除以5的余數(shù)為4，同理可知不是質(zhì)數(shù)，所以p不等于5，與至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)，所以只有滿足條件因數(shù)899091929394959

26、69798因數(shù)【鞏固】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個(gè)數(shù)，使得每一豎列上下兩個(gè)因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3【解析】 因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的乘積除以11的余數(shù)，等于兩個(gè)數(shù)分別除以11的余數(shù)之積因此原題中的可以改換為，這樣上下兩數(shù)的乘積除以11余3就容易計(jì)算了我們得到下面的結(jié)果：因數(shù)89909192939495969798因數(shù)37195621048進(jìn)而得到本題的答案是：因數(shù)89909192939495969798因數(shù)91958997939490989296【鞏固】 (2000年“華杯賽”試題)3個(gè)三位數(shù)乘積的算式 (其中)， 在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是正確的，問原

27、式中的是多少？【解析】 由于， 于是，從而(用代入上式檢驗(yàn))(1)，對(duì)進(jìn)行討論：如果，那么(2)，又的個(gè)位數(shù)字是6，所以的個(gè)位數(shù)字為4，可能為、，其中只有符合(2)，經(jīng)檢驗(yàn)只有 符合題意如果，那么(3)，又的個(gè)位數(shù)字為2或7，則可能為、，其中只有符合(3)，經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意如果，那么(4)，則可能為、，其中沒有符合(4)的如果，那么，因此這時(shí)不可能符合題意綜上所述，是本題唯一的解【例 11】 一個(gè)大于1的數(shù)去除290，235，200時(shí)，得余數(shù)分別為，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】 根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290，233，195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為）既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知

28、其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0那么這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又是的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因?yàn)?7和38的公約數(shù)只有19和1，而這個(gè)數(shù)大于1，所以這個(gè)自然數(shù)是19【鞏固】 一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】 這個(gè)自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又大于10，這個(gè)自然數(shù)只能是17或者是34如果這個(gè)數(shù)是34，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是22、28、16，不符合題目條件；如

29、果這個(gè)數(shù)是17，那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是17【例 12】 甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求等于多少？【解析】 根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來(lái)： 由于，要消去余數(shù), , ,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4于是我們可以得到下面的式子： 這樣余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被整除，51的約數(shù)有1、3、1

30、7、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn)17和51可知17滿足，所以等于17【鞏固】 一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是、，求這個(gè)自然數(shù)和的值. 【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為的數(shù)：，、，這樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是，故同余.將這三個(gè)數(shù)相減，得到、，所求的自然數(shù)一定是和的公約數(shù)，而，所以這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過驗(yàn)證，當(dāng)這個(gè)自然數(shù)是時(shí)，除、所得的余數(shù)分別為、，時(shí)成立,所以這個(gè)自然數(shù)是，.【模塊三：余數(shù)綜合應(yīng)用】【例 13】 著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個(gè)數(shù)除以3所得的

31、余數(shù)為多少？【解析】 斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)則是從第三個(gè)數(shù)起每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項(xiàng)和第十項(xiàng)連續(xù)兩個(gè)是1，與第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個(gè)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由于2008除以8的余數(shù)為0，所以第2008項(xiàng)被3除所得的余數(shù)為第8項(xiàng)被3除所得的余數(shù)，為0.【鞏固】 （2009年走美初賽六年級(jí)）有一串?dāng)?shù)：1，1，2，3，5，8，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前2009個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？【解析】 由于兩個(gè)數(shù)的和除以5的余數(shù)

32、等于這兩個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以5的余數(shù)所以這串?dāng)?shù)除以5的余數(shù)分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)中，每5個(gè)數(shù)中第五個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)由于，所以前2009個(gè)數(shù)中，有401個(gè)是5的倍數(shù)【例 14】 (圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克試題)托瑪想了一個(gè)正整數(shù)，并且求出了它分別除以3、6和9的余數(shù)現(xiàn)知這三余數(shù)的和是15試求該數(shù)除以18的余數(shù)【解析】 除以3、6和9的余數(shù)分別不超過2，5，8，所以這三個(gè)余數(shù)的和永遠(yuǎn)不超過，既然它們的和等于15，所以這三個(gè)余數(shù)分別就是2，5，8所以該數(shù)加1后能被

33、3，6，9整除，而，設(shè)該數(shù)為，則，即（為非零自然數(shù)），所以它除以18的余數(shù)只能為17【鞏固】 (2005年香港圣公會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)一個(gè)家庭，有父、母、兄、妹四人，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)，四人歲數(shù)之和是100，父親歲數(shù)最大，問：母親是多少歲? 【解析】 從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù)，100除以3余1，就知四個(gè)歲數(shù)都是型的數(shù)，又是質(zhì)數(shù)只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43歲，母37歲，兄13歲，妹7歲【例 15】 (華杯賽試題)如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(不到100個(gè))，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾孔跳一步，希望

34、一圈以后能跳回到a孔他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到b孔他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到a孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎? 【解析】 設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號(hào)：a孔編號(hào)為1，然后沿逆時(shí)針方向順次編號(hào) 為2，3，4，b孔的編號(hào)就是圓圈上的孔數(shù)我們先看每隔2孔跳一步時(shí)，小明跳在哪些孔上?很容易看出應(yīng)在1，4，7，10，上，也就是說，小明跳到的孔上的編號(hào)是3的倍數(shù)加1按題意，小明最后跳到b孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到b孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到a孔，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)如果將孔

35、數(shù)減1，那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)這個(gè)15的倍數(shù)加上1 就等于孔數(shù)，設(shè)孔數(shù)為，則（為非零自然數(shù)）而且能被7整除注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除我們還可以看出，15的其他(小于的7)倍數(shù)加1都不能被7整除，而已經(jīng)大于1007以上的倍數(shù)都不必考慮，因此，總孔數(shù)只能是【鞏固】 (1997年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)將依次寫到第1997個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 _【解析】 本題第一步是要求出第1997個(gè)數(shù)字是什么，再對(duì)數(shù)字求和共有9個(gè)數(shù)字，共有90個(gè)兩位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)), 共900個(gè)三位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)),所以

36、數(shù)連續(xù)寫，不會(huì)寫到999,從100開始是3位數(shù)，每三個(gè)數(shù)字表示一個(gè)數(shù)，即有602個(gè)三位數(shù)，第603個(gè)三位數(shù)只寫了它的百位和十位從100開始的第602個(gè)三位數(shù)是701，第603個(gè)三位數(shù)是9，其中2未寫出來(lái)因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來(lái)的9個(gè)自然數(shù)也能被9整除，702個(gè)數(shù)能分成的組數(shù)是： (組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來(lái)，所以余數(shù)為【例 16】 設(shè)是質(zhì)數(shù)，證明：，被除所得的余數(shù)各不相同【解析】 假設(shè)有兩個(gè)數(shù)、，()，它們的平方，被除余數(shù)相同那么，由同余定理得，即，由于是質(zhì)數(shù)，所以或，由于，均小于且大于0，可知，與互質(zhì)，也與互質(zhì)，即，都不能被整除，產(chǎn)生矛盾，

37、所以假設(shè)不成立，原題得證【鞏固】 試求不大于100，且使能被11整除的所有自然數(shù)n的和【解析】 通過逐次計(jì)算，可以求出被11除的余數(shù)，依次為：為3，為9，為5，為4，為1，因而被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；類似地，可以求出被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第3、4、6個(gè)這三個(gè)數(shù)滿足題意，即時(shí)能被11整除，所以，所有滿足條件的自然數(shù)n的和為：【鞏固】 若為自然數(shù)，證明【解析】 ，由于與的奇偶性相同，

38、所以，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余數(shù)為1、2、3或者4，被5除的余數(shù)為、被5除的余數(shù)，即為1、16、81、256被5除的余數(shù)，而這四個(gè)數(shù)除以5均余1，所以不管為多少，被5除的余數(shù)為1，而，即14個(gè)相乘，所以除以5均余1，則能被5整除，有所以由于2與5互質(zhì)，所以【例 17】 設(shè)n為正整數(shù)，k被7除余數(shù)為2，k被11除余數(shù)為3，求n的最小值【解析】 2004被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)也為2，所以被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)為3由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余數(shù)為1；由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余數(shù)為8可見是3和10的公倍數(shù)，最小為，所以

39、n的最小值為28【鞏固】 有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，請(qǐng)寫出一組這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)【解析】 設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)為n，則其余兩個(gè)自然數(shù)分別為，依題意可知：，根據(jù)整除的性質(zhì)對(duì)這三個(gè)算式進(jìn)行變換：從上面可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)為15、17、19的公倍數(shù)由于，所以 (因?yàn)槭瞧鏀?shù))，可得當(dāng)時(shí)，所以其中的一組自然數(shù)為2430、2431、2432【例 18】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)從1，2，3，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為多少？【解析】 被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，

40、其中只要取到兩個(gè)相鄰的，這兩個(gè)數(shù)的差為13；如果沒有兩個(gè)相鄰的數(shù)，則沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個(gè)數(shù)的差為13，對(duì)于任意一條長(zhǎng)度為x的序列，都最多能取個(gè)數(shù)，使得取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè)基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長(zhǎng)度為或，兩個(gè)長(zhǎng)度差為1的序列，要使取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)之差也不會(huì)超過1，所以為使57個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于13，則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過1，那么13個(gè)序列有8個(gè)序列分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)序列分配了5個(gè)數(shù)，則這13個(gè)序列中8個(gè)長(zhǎng)度為8，5

41、個(gè)長(zhǎng)度為9，那么當(dāng)n最小為時(shí)，可以取出57個(gè)數(shù)，其中任兩個(gè)數(shù)的差不為13，所以要使任取57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，那么n的最大值為108【鞏固】 從1，2，3，4，2007中取n個(gè)不同的數(shù)，取出的數(shù)中任意三個(gè)的和能被15整除n最大為多少？【解析】 取出的n個(gè)不同的數(shù)中，任意三個(gè)的和能被15整除，則其中任意兩個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)相同，且這個(gè)余數(shù)的3倍能被15整除，所以這個(gè)余數(shù)只能是0，5或者10在中，除以15的余數(shù)為0的有，共有個(gè)；除以15的余數(shù)為5的有，共有134個(gè)；除以15的余數(shù)為10的有，共有134個(gè)所以n最大為134【例 19】 將自然數(shù)1，2，3，4依次寫下去，若最終寫到2000，成為

42、，那么這個(gè)自然數(shù)除以99余幾？【解析】 由于，可以分別求這個(gè)數(shù)除以9和11的余數(shù)，進(jìn)而求出它除以99的余數(shù)實(shí)際上求得這個(gè)數(shù)除以9和11的余數(shù)均為3，所以這個(gè)數(shù)減去3后是9和11的倍數(shù)，那么也是99的倍數(shù)，所以這個(gè)數(shù)除以99的余數(shù)為3下面介紹另一種解法由于，所以除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)同樣，等數(shù)除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)可知，一個(gè)自然數(shù)，如果在它后面加上偶數(shù)個(gè)0，那么這個(gè)數(shù)除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)根據(jù)這一點(diǎn)，可以把分成若干個(gè)后面帶有偶數(shù)個(gè)0的數(shù)之和由于的位數(shù)是奇數(shù)，那么對(duì)于組成的一位數(shù)1，2，3，9，可以分成，；對(duì)于其中的兩位數(shù)10，11，12，98，99，可以分成，；對(duì)于

43、其中的三位數(shù)100，101，102，103，998，999，兩兩一組，可以分成，；對(duì)于其中的四位數(shù)1000，1001，1999，2000，可以分成，2000那么上面分成的所有數(shù)中，雖然每個(gè)數(shù)后面的0的個(gè)數(shù)互不相同，但都是偶數(shù)個(gè)，且它們的和恰好為，那么除以99的余數(shù)就等于分成的這些數(shù)除以99的余數(shù)的和由于這些數(shù)除以99的余數(shù)分別為1，23，45，67，89；10，11，12，98，99；100101，102103，104105，998999；1000，1001，1999，2000，而其中100101，102103，104105，998999是公差為2002的等差數(shù)列，共450項(xiàng)，可知所有這些余數(shù)

44、的和為：，而248804130除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)，為3所以除以99的余數(shù)為3【鞏固】 將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位數(shù)：1234567891011121320072008，試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù)【解析】 以19992000這個(gè)八位數(shù)為例，它被9除的余數(shù)等于被9除的余數(shù)，但是由于1999與被9除的余數(shù)相同，2000與被9除的余數(shù)相同，所以19992000就與被9除的余數(shù)相同由此可得，從1開始的自然數(shù)1234567891011121320072008被9除的余數(shù)與前2008個(gè)自然數(shù)之和除以9的余數(shù)相同根據(jù)等差數(shù)列求和公式，這個(gè)和為：，它被9

45、除的余數(shù)為1另外還可以利用連續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和必能被9整除這個(gè)性質(zhì)，將原多位數(shù)分成123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008等數(shù)，可見它被9除的余數(shù)與2008被9除的余數(shù)相同因此，此數(shù)被9除的余數(shù)為1【例 20】 (2008年清華附中考題)已知n是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少？【解析】2008能夠整除，所以的余數(shù)是2007【鞏固】 的末三位數(shù)是多少？【解析】 首先，僅考慮后三位數(shù)字，所求的數(shù)目相當(dāng)于的平方再乘以的末三位而，其末三位為；然后來(lái)看前者它是一個(gè)奇數(shù)的平方，設(shè)其為 (k

46、為奇數(shù))，由于，而奇數(shù)的平方除以8余1，所以是8的倍數(shù)，則是200的倍數(shù)，設(shè)，則，所以它與105的乘積，所以不論m的值是多少，所求的末三位都是625【例 21】 有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10，第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8，求兩個(gè)三位數(shù)的和?！窘馕觥?本題條件僅給出了兩個(gè)乘數(shù)的數(shù)字之和，同時(shí)發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分?jǐn)?shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來(lái)構(gòu)造出原三位數(shù)。因?yàn)檫@是一個(gè)一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個(gè)三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么1031除以9的余數(shù)

47、也必須為8，只能是3.將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個(gè)三位數(shù)的乘積，即所以兩個(gè)三位數(shù)是143和217，那么兩個(gè)三位數(shù)的和是360【例 22】 設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？【解析】 由于一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為

48、5或14，的各位數(shù)字之和為5，即課后練習(xí)：練習(xí)1. (2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_【解析】 因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為，所以，被除數(shù)為。練習(xí)2. 已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個(gè)？【解析】 本題為一道余數(shù)與約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式的小綜合性題目。由題意所求的自然數(shù)一定是2008-10即1998的約數(shù)，同時(shí)還要滿足大于10這個(gè)條件。這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個(gè)大于10的約數(shù)，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16個(gè)約數(shù)，其中1，2，3，6，9是比10小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11