(全國通用)中考數(shù)學(xué)難點攻克：數(shù)學(xué)文化題型分類解析及18道針對練習(xí)題

1、中考數(shù)學(xué)重難考點突破數(shù)學(xué)文化題型分類解析數(shù)學(xué)文 化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來越多，只要我們平時 注意積累和了解這方面的常識，解題時注意審題，實現(xiàn)載體與考點的有效轉(zhuǎn)化，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，問題便 可迎刃而解考點 1 以數(shù)學(xué)名著為題材例 1 九章算術(shù)中，將兩底面是直角三角形的棱柱稱之為“塹堵” ，已知某“塹堵”的 三視圖如圖所示，主視圖中的虛線平分矩形的面積，則該“塹堵 ”的側(cè)面積為 ()A2B42 2C44 2D64 2例題分層分析(1)通過閱讀，你知道 “塹堵 ”是什么樣的圖形嗎

2、？(2)根據(jù)“塹堵”的定義，你能推斷出該幾何體的底面是什么圖形？側(cè)面又是什么圖形？ 【解答】 C解析 依題意得，該幾何體為三棱柱，且底面為等腰直角三角形，兩直角邊長均為2，高為 2，所以其側(cè)面積為 S222 2244 2，故選 C.賞析 該題以我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中所描述的特殊幾何體“塹堵 ”為背景，是一道新概念信息的信息遷移題試題以三視圖為依托，在考查空間想象能力的同時傳播數(shù)學(xué) 文化| 針對訓(xùn)練 |1九章算術(shù) 是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰， 在研究比率方面的應(yīng)用十分豐富， 其中有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧， 糧農(nóng)送來 1534石，驗其米內(nèi)雜谷，隨機取米一把， 數(shù)得 254 粒內(nèi)夾

3、谷 28粒，則這批米內(nèi)夾谷約 （ ）A134 石 B169 石 C268 石 D338 石2九章算術(shù)中的 “折竹抵地 ”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者 幾何？意思是：一根竹子，原高一丈 （一丈 10 尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地， 抵地處離竹子底部 6 尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？ 設(shè)折斷處離地面的高度為 x 尺，則可列方程為 （ ）A x2 6 （10 x）2 Bx262（10x）2Cx26（10 x）2 Dx262（10x）23 “今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的 “井深幾何 ”問

4、題，它的題意可以由圖，則井深為（）A1.25 尺 B57.5 尺C6.25 尺 D56.5 尺4算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國目前已知最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求 “囷蓋 ”的術(shù)：置如其周，令相乘也又以高乘之，三1 十六成一該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長 L與高 h，計算其體積 V的近似公式 V316L2h， 它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為 3.那么，近似公式 V725L2h 相當(dāng)于將圓錐 體積公式中的近似取為 ( )22 25 157 355A. 7 B.8 C.50 D.1135 我國明代數(shù)學(xué)家程大位的名著直指算法統(tǒng)宗里有一道著名算題：一

5、百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”意思是：有 100個和尚分 100個饅頭，正好分完；如果大和尚一人分 3 個，小和尚 3人分一個，試問大、小和尚各幾人？設(shè)大、小和尚各有 x、y 人，則可以列方程組為6 明代數(shù)學(xué)家程大位的算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題 （如圖 Z1111），其大意為：分的銀子共有有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩請問：所兩（注：明代時 1 斤16 兩，故有“半斤八兩 ”這個成語 ）7 數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的 “從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等 （如圖所示

6、 ） ”這一推論，他從這一推論 出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了海島算經(jīng)九題古證（以上材料來源于古證復(fù)原的原理 、吳文俊與中國數(shù)學(xué)和古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽）請根據(jù)上圖完成這個推論的證明過程證明： S矩形 NFGDSADC（SANFSFGC，） S矩形 EBMFSABC（）易知， SADC SABC，可得 S 矩形 NFGDS 矩形 EBMF. 8中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344 年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示 （單位：寸 ），若取 3，其體積為 12.6（立方寸），則圖中 的 x 的值為 9 閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界

7、上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù) ，其勾股數(shù)組公式為：1 a2（m2n2）， bmn，1 c2（m2n2）.其中 mn0，m ，n 是互質(zhì)的奇數(shù)應(yīng)用：當(dāng) n1 時，求有一邊長為 5 的直角三角形的另外兩條邊長10我國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有 “雞兔同籠 ”問題： “今有雞兔同籠，上有三十五 頭，下有九十四足問雞兔各幾何 ”其大意是： “有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一 共有 35 個頭，94 條腿問籠中的雞和兔各有多少只？ ”試用列方程 （組）解應(yīng)用題的方法求出問題的解考點 2 以科技或數(shù)學(xué)時事為題材例 2 “牟合方蓋 ”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造

8、的一個和諧優(yōu)美的 幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個 扣合（牟合）在一起的方形傘 （方蓋）其直觀圖如圖 1，圖 Z2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的 輔助線其實際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時，它的主視圖和俯 視圖分別可能是 （ ）圖1圖2A a，b Ba，c C c，b Db，d例題分層分析(1)根據(jù)題目所給的直觀圖，你發(fā)現(xiàn) “牟合方蓋 ”有哪些特征？(2) “牟合方蓋 ”的主視圖和俯視圖分別是什么？【解答】 A解析 當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時， “牟合方蓋 ”相對的兩個曲面正對前方，主視圖為 一個圓，俯視圖為一個正方形，且對角線

9、為兩條實線故選 A.賞析 “牟合方蓋 ”是我國古代利用立體幾何模型和數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的代表之 一本題取材于 “牟合方蓋 ”，通過添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度試 題從識“圖”到想“圖”，再到構(gòu)“圖”，要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過程另外，我國古代數(shù)學(xué)中的 其他著名幾何體， 如“陽馬”、“鱉臑”和“塹堵 ”等的三視圖問題都有可能在中考中考查， 值得我 們注意| 針對訓(xùn)練 |11 七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造 下列四幅圖中有三幅是小明用如圖 3 所示的七 巧板拼成的，則不是小明拼成的那幅圖是 ( )圖4122002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為

10、基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖 5）如果小正方形的面積為 1，大正方形的面積為 25，直角三角形中較小的銳角為 ，那么 cos的值等于圖613中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具 ）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)如圖 Z116，根據(jù)劉徽的這種表示法，觀察圖 ，可推算圖 中所得的數(shù)值為 14 閱讀理解：如圖 7 ，O 與直線 a，b 都相切不論 O如何轉(zhuǎn)動，直線 a，b之間的距離始終保持不變 （等于 O的直徑）我們把具有這一特性的圖形稱為 “等寬曲線 ”圖 是利用圓的這一特性的例子將等直徑的圓棍放

11、在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力就可以推動物體前進(jìn)據(jù)說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)耐卣箲?yīng)用：如圖 8 所示的弧三角形 （也稱為萊洛三角形 ）也是“等寬曲線”，如圖 ，夾在平 行線 c， d 間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變?nèi)糁本€c，d 之間的距離等于 2 cm，則萊洛三角形的周長為cm.圖8考點 3 以數(shù)學(xué)名人為題材例3 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù) 如三角形數(shù) 1，3，6，10， n （ n 1） 1 1第n個三角形數(shù)為 （ 2 ）2n22n.記第 n個k邊形數(shù)為 N（n，k）（k ，3） 以下列出了部分 k 邊形數(shù)中第 n 個數(shù)的

12、表達(dá)式11三角形數(shù) N（n，3）2n2 2n，正方形數(shù) N（n， 4）n2，31五邊形數(shù) N（n，5）2n2 2n，六邊形數(shù) N（n，6）2n2 n，可以推測， N（n，k）的表達(dá)式，由此計算 N（10，24）【解答】 1000 解析 由 N（n，4） n2，N（n，6）2n2n，可以推測：kk當(dāng) k 為偶數(shù)時， N（n， k） 21 n2 22 n，于是 N（n，24）11n210n，故 N（10，24）111021010 1000.| 針對訓(xùn)練 |15 我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約 13 世紀(jì) ）所著的詳解九章算術(shù)一書中，用圖中的三角形解釋二項和（ab）

13、n 的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為 “楊輝三角 ”（ab）0 （ab）1 （ab）2 （ab）3 （ab）4 （ab）5 根據(jù)“楊輝三角 ”請計算（ab）20的展開式中第三項的系數(shù)為 （ ）A2017 B2016 C191 D 190116 正如我們小學(xué)學(xué)過的圓錐體積公式 V 3 r2h（表示圓周率， r 表示圓錐的底面半徑，h表示圓錐的高 )一樣，許多幾何量的計算都要用到 .祖沖之是世界上第一個把計算到 小數(shù)點后 7 位的中國古代科學(xué)家， 創(chuàng)造了當(dāng)時世界上的最高水平， 差不多過了 1000年，才有 人把計算得更精確 在輝煌成就的背后， 我們來看看祖沖之付出了多少 現(xiàn)在的研究表明， 僅僅就計

14、算來講，他至少要對 9 位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行 130次以上的各種運算，包括開方在內(nèi)即 使今天我們用紙筆來算，也絕不是一件輕松的事情，何況那時候沒有現(xiàn)在的紙筆，數(shù)學(xué)計算 不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字， 而是用算籌 (小竹棍或小竹片 )進(jìn)行的，這需要怎樣的細(xì)心和毅力??！ 他這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，不怕復(fù)雜計算的毅力，值得我們學(xué)習(xí)下面我們就來通過計算解決問題：已知圓錐的側(cè)面展開圖是個半圓，若該圓錐的體積等于 9 3，則這個圓錐的高等于 ( )A5 3 B5 3 C3 3 D3 317 如圖，若ABC內(nèi)一點 P滿足 PAC PBA PCB，則點 P為ABC的布洛卡點三 角形的布洛卡點 (Brocard point)由

15、法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾 (A.L.Crelle 17801855)于 1816 年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意 .1875 年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡 (Brocard 18451922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名問題：已知在等腰直角三角形 DEF中， EDF 90則 EQFQ的值為 (A5 B4 C3 2 D2 218 莊子說： “一尺之椎，日取其半，萬世不竭 ”這句話 (文字語言 )表達(dá)了古人將 事物無限分割的思想， 用圖形語言表示為圖 ，按此圖分割的方法， 可得到一個等式 (符號語 言)：1 1 1 11 .1222232n.圖 也是一種無限分割：在

16、ABC中， ACB90，B30，過點 C作 CC1AB 于點 C1，再過點 C1作 C1C2BC于點 C2，又過點 C2作 C2C3AB 于點 C3，如此無限繼續(xù)下去，則可將 ABC分成 ACC1、CC1C2、C1C2C3、C2C3C4、Cn2Cn1Cn、.假設(shè) AC2，這些三角形的面積和可以得到一個等式是 針對訓(xùn)練答案解析1. 【答案】 Bx 28 解析 設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為 x 石，根據(jù)隨機抽樣事件的概率得 1534254，解得 x169. 故選 B.2. 【答案】 D解析 如圖，折斷處離地面的高度為 x尺，則 AB10x，BC6, 在 RtABC中，AC2 BC2AB2，即 x262 （1

17、0x）2.3. 【答案】 BBF AB 0.4 5解析 如圖，由題意，得 BCDE，從而 ABFADE，因此DBFEAABD，即05.455BD， 解得 BD57.5，所以井深為 57.5 尺4. 【答案】 B21解析 由題意知 75L2h3r2h，2 2 1 2 L2 r2， 75L 3 ，25而 L2 r，代入得 8 .xy100，5.【答案】y3x 3 100解析 根據(jù)“大、小和尚共有 100 人”可得 xy100；由“大和尚一人分 3 個”可知 x 個大和 尚共分得 3x個饅頭，由“小和尚 3人分一個”可知y個小和尚共分得 y3個饅頭，根據(jù)“大、小和 xy100，尚分 100個饅頭”可

18、得 3x6.【答案】 4601 y故可列方程組為y3x解析 設(shè)這群人人數(shù)為 x，根據(jù)題意得 7x49x8，解得 x6，銀子的數(shù)量為 46 兩7. 【答案】 SAEF；S CFM；SANF；S AEF；SFGC；SCFM8. 【答案】 1.6解析 由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成，由題意得： （5.4x） 3112 2 x 12.6.解得 x1.6.9. 解：當(dāng) n1時，a12（m21），bm ，c12（m21）， 因為直角三角形有一邊長為 5，分情況如下：情況 1：當(dāng) a5時，即21（m21）5，解得 m 11（舍去）；11情況 2：當(dāng) b5 時，即 m5，再將它分別代入 得

19、a2 （251） 12，c2 （251）13；1情況 3：當(dāng) c5 時，即 2（m2 1）5，m3，因 m0，所以 m3，把 m3 分別代入1 得 a 2（231）4，b3.綜上所述，直角三角形的另兩邊長為 12，13或 3，4.10. 解： 設(shè)雞有 x 只，兔有 y 只依題意，得xy35，2x4y 94，解得x23，y12.答：雞有 23只，兔有 12 只11. 【答案】 C412. 【答案】 5 解析 如圖，大正方形的面積為25，小正方形的面積為 1，大正方形邊長 AD5，小正方形的邊長 EF1.設(shè) DEAFx，在 Rt ADE中，由勾股定理， 得 AE2DE2AD2，（x 1）2 x252，解得 x14（舍去 ），x23，即 DE3，AE314，coscos DAEAEAD13. 【答案】 3解析 根據(jù)題意可知正放表示正數(shù)， 斜放表示負(fù)數(shù)， 組合在一起表示相加， 由正放 2 根， 斜放 5 根組合在一起表示 （2）（ 5）3.14. 【答案】 2解析 由題意知， 萊洛三角形周長是半徑為2，圓心角是 60的三段弧長的和，60