整式的乘法與因式分解VIP

1、整式的乘法與因式分解知識點(diǎn)的回顧1、單項(xiàng)式：都是數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式（單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式）。2、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。3、整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。4、一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)；一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。（單獨(dú)一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0）5、整式的加減運(yùn)算法則：整式的加減練一練：1、下列代數(shù)式中，單項(xiàng)式共有 個(gè)，多項(xiàng)式共有 個(gè)。, 5, 2， ab， , , a , , 2、（1）單項(xiàng)式的系數(shù)是 ，次數(shù)是 ；（2）的次數(shù)是 。（3）是單項(xiàng)式 的和，次數(shù)最高的項(xiàng)是 ，它是 次 項(xiàng)式，二次項(xiàng)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 3

2、、一個(gè)多項(xiàng)式加上-2x3+4x2y+5y3后，得x3-x2y+3y3，求這個(gè)多項(xiàng)式，并求當(dāng)x=-，y=時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式的值。第一講. 整式的乘法1、 同底數(shù)冪的乘法 同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：，（,都是正整數(shù)）。例1 （1） （2）提示：三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，法則也適用，即，（都是正整數(shù)）；不要忽視指數(shù)為一的因數(shù)；底數(shù)不一定是一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；注意法則的逆用，即2、冪的乘方冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即：， （,都是正整數(shù)）。例2 （1） （2） （3） （4）(x3xm)3=3、 積的乘方 積的乘方等于每一個(gè)因數(shù)乘方的積。即：， （是正整數(shù)）

3、積的乘方法則可以進(jìn)行逆運(yùn)算即： anbn=（ab）n（n為正整數(shù)）anbn= = =（ab）n 同指數(shù)冪相乘，底數(shù)相乘，指數(shù)不變例3 （1） （2）（3） （4） （5）2m4m()m=4、整式的乘法：（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。例4 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式注意幾點(diǎn)各單項(xiàng)式的系數(shù)相乘；相同字母的冪按同底數(shù)的冪相乘;單獨(dú)字母連同它的指數(shù)照抄。注意：單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘公式：例5 （3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)

4、乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn 例6 練習(xí)1.下面的計(jì)算對不對？如果不對，怎樣改正？（1）b5 b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ）（3）x5 x5 = x25 ( ) （4）y5 y5 = 2y10 ( )（5）c c3 = c3 ( )2.若（x2）m=x8，則m=_若（x3）m2=x12，則m=_ 若xmx2m=2，求x9m= 若a2n=3，求（a3n）4= 3.已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.4.計(jì)算 2(x3)2x3-(3x3)3+(5x)2x7 (-2x3)

5、3(x2)2 (3xy2)2+(-4xy3)(-xy) (-x2y)3+7(x2)2(-x)2(-y)3 (0.125)788 (0.25)8410 (-n)3p(-n)p55 已知10m=5,10n=6,求102m+3n的值6 已知,xm= 1/2 ,xn=3.求下列各式的值:（1）xmn; (2) x2mx2n; (3) x 3m2n7.直接寫出答案(1) 3x25x3 = (2) 4y (-2xy2) =(3) (-3x2y)(-4x) = (4)(1.2103) (5102)= (5)3y(-2x2y2) = (6)3a3b(-ab3c2) =(7)-5a3b2c3a2b= (8)a3

6、b(-4a3b)=(9)(-4x2y)(-xy)= (10)2a3b4(-3ab3c2)=8.(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，則m-n的值為_ (2)(a3b)2(a2b)3 (3)(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b) （4）(x+y)m-1(x+y)m1(x+y)m-3 （5）(x-y)3+(y-x)2.9. 10.先化簡，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-611.化簡求值： ，其中x= （y2）（y26y9）y（y22y15），其中y=2。12.一塊長m米，寬n米的玻璃，長寬各裁掉a米后恰好能

7、鋪蓋一張辦公桌臺(tái)面(玻璃與臺(tái)面一樣大小)，問臺(tái)面面積是多少?第二講.（一）乘法公式1. 平方差公式兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差 符號語言：（a+b）（a-b）=a2-b2例1 （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y） （4）10298 （5）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）2. 兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍 即：，。 例2（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）23.添括號法則：如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不改變符號；如果括號前面是負(fù)號

8、，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號。例3 ； 練習(xí)1.下列哪些多項(xiàng)式相乘可以用平方差公式？ 2.計(jì)算 （4m+n）2 （y-）2 （-a-b）2 （b-a）2 ）2= =3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）1022 （2）992（3）50.012 （4）49.92 4.在下列多項(xiàng)式中，哪些是由完全平方公式得來的？ 3.（1）證明：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上1一定是一個(gè)偶數(shù)的平方 （2）求證：一定是24的倍數(shù)4.計(jì)算陰影的面積：大正方形的邊長是a+b. 小正方形的邊長是a-b,空白長方形的寬是ab,求陰影的面積 （二）整式的除法1. 同底數(shù)冪的除法 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即：（），提示：同底數(shù)冪的除

9、法與同底數(shù)冪的乘法互為逆運(yùn)算； 當(dāng)三項(xiàng)或者三項(xiàng)以上的同底數(shù)冪相除時(shí)，法則同樣適用。例4 （1） （2） （3）2. 零指數(shù)冪的性質(zhì)零次冪：任何一個(gè)不為零的數(shù)的零次冪等于1。即：3、整式的除法：（1）單項(xiàng)式相除，把系數(shù)同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。例5 （1） （2）（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相例6練習(xí)1計(jì)算： （1） （2） （3） （4） （5） （6）（3x2n+2yn）3（x3y）2 n(7)(6ab+8b)(2b) (8)(27a315a2+6a)(3a)；(9)(9x2

10、y6xy2)(3xy)； (10)(3x2yxy2+xy)(xy).2比較2100與375的大小。3光的速度約為每秒3105千米，若地球與太陽的距離為1.5108千米，那么太陽光射到地球上需要多少時(shí)間？）第三講. 因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式的變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式因式分解是整式乘法的相反方向的變形因式分解與整式乘法的關(guān)系表示為： 因式分解 a2-b2=（a+b）（a-b） 整式乘法說明：從左到右是因式分解其特點(diǎn)是：由和差形式（多項(xiàng)式）轉(zhuǎn)化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點(diǎn)是：由整式積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式（多項(xiàng)式）。 因式分解與整式乘法互為

11、逆運(yùn)算，兩者的區(qū)別和聯(lián)系是:(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘?；鹧劢鹁匆豢矗?下列代數(shù)式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(mn)(ab)(mn)(xy)(mn)(abxy)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a2+6a=3a（a+2）；(6) x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；一、提取公因式法1. 定義：一般地，如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么可把該公因式提取出來進(jìn)行分解的方法叫做提取公因式法。表示：ma +

12、 mb = m（a+b）方法步驟：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式2. 提示:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法分配律的逆運(yùn)用,即: 3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評:(1)注意項(xiàng)的符號與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.例1.因式分解：（1）3pq3+15p3q （2）ab2a課堂練習(xí)1把下列各式分解因式 （1） （2）（3） （4）（5） （6） 二、公式法1. 定義：如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)

13、用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: (2)完全平方公式: 3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評:因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.例2 填一填： (1)若a=101,b=99,則a2-b2=_；(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=_；例3 求值：（1）（1）（1）（1）（1）三、十字相乘法1.對于二次三項(xiàng)式,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積, , , 且滿足,往往寫成 的形式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解. 如: 2. 二次三項(xiàng)式的分解: 3. 小提示:(1)理解:把分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號因數(shù),它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同.(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把

14、它分解成兩個(gè)異號因數(shù),其中絕對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同,對于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p.4. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評:(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò);(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確.例題講解例1 如果二次三項(xiàng)式可分解為，則的值為（ ）a1 b1 c2 d2例2 把下列各式分解因式：(1)； (2)例3 把下列各式分解因式：(1)； (2)練習(xí)1利用分解因式計(jì)算 （1） （2）2. 如何配成完全平方x24(x2)2 . m24m(m2)2 4mnn2(n)2 . x2xy(xy)23已知，求代數(shù)式的值。4利用因式分解說明：能被140整除。5、若是完全平方式，則m的值是_.6、用簡便方法計(jì)算： 40022000+20002=_.7、利用因式分解計(jì)算：363.14473.14173.14=_.8.把下列各式分解因式（1)x26xyz9y2z2 （2）m2n2+4p2（3） （4） （5） （6）4x3y9xy3 （7）0.01x22x100 （8） (xy)26(xy)9 （9）9(ab)212(ab)4 （10