二面角的求法精華版

1、1、掌握二面角的定義法；、掌握二面角的定義法；2、掌握二面角的三垂線法；、掌握二面角的三垂線法；3、掌握二面角的垂面法、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面積法、掌握二面角的射影面積法;5、掌握二面角的向量法。、掌握二面角的向量法。 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角這條直線叫做二面角的棱的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面這兩個半平面叫做二面角的面.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí):l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法ab 二面角二面角 ab l二面角二面角 l 二面角二面角cab dabcdabcefd二面角二面角cab

2、 e1、定義、定義 abp l二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足： 3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱角的兩邊都要垂直于二面角的棱 1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上 2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的兩邊分別在兩個面內(nèi) 二面角的平面角的范圍二面角的平面角的范圍: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小來度量二面角的大小用它的平面角的大小來度量 以二面角的棱上任意一點為端以二面角的棱上任意一點為端點點, 在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線兩條射線, 這兩條射線所成的角叫這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。做二面角的平面角。a1b1 p1 注意注意: :(與頂點位

3、置無關(guān)與頂點位置無關(guān)) apb= a1p1b1一、幾何法：一、幾何法：1、定義法、定義法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一點上任意一點o o為端點，在兩個面內(nèi)為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于分別作垂直于a a 的兩條射線的兩條射線oa,oboa,ob，則，則aobaob就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aoab在一個平面在一個平面 內(nèi)選一點內(nèi)選一點a a向另一平面向另一平面 作垂線作垂線abab，垂足為垂足為b b，再過點，再過點b b向棱向棱a a作垂線作垂線bobo，垂足，垂足 為為o o，連結(jié)連結(jié)aoao，則，則aobaob就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3、垂面法、

4、垂面法:過二面角內(nèi)一點過二面角內(nèi)一點a作作ab 于于b，作，作ac 于于c，面，面abc交棱交棱a于點于點o，則，則boc就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aabco2、三垂線法、三垂線法:aboa pabcd過過e作作edpc于于d， 則則bde就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。連結(jié)連結(jié)bd， 過過b作作beac于于e， e abc為正為正， be=a23在在rtpac中，中，e為為ac中點，中點，則則de=在在rtdeb中中a42tan bde=debe6 bde=arctan 6例例1:已知正三角形已知正三角形abc，pa面面abc，且，且pa=ab=a， 求二面角求二面角

5、a-pc-b的大小。的大小。三垂線法三垂線法: :幾點說明幾點說明：定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點（一般為這個面的一個定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點（一般為這個面的一個頂點）向棱作垂線，再由垂足在另一個面內(nèi)作棱的垂線。頂點）向棱作垂線，再由垂足在另一個面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計算，不是此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計算，不是我們首選的方法我們首選的方法。三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點（一般為這個面的一個三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點（一般為這個面的一個頂點）向另一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這頂點）向另一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個點和棱上

6、垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計個點和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計算簡便，所以我們常用此法。算簡便，所以我們常用此法。垂面法需在二面角之間找一點向兩面作垂線，因為這垂面法需在二面角之間找一點向兩面作垂線，因為這一點不好選擇，所以此法一般不用一點不好選擇，所以此法一般不用。以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角。射影法是在不易作出平面角時用。在解答題中要先證明射射影法是在不易作出平面角時用。在解答題中要先證明射影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式,

7、 ,這種方法雖然避免了找平面角，但計算較繁，所以不常用這種方法雖然避免了找平面角，但計算較繁，所以不常用。練習(xí)練習(xí)1:正方體正方體abcd-a1b1c1d1中，中， e為棱為棱aa1的中點，求平面的中點，求平面eb1c和平面和平面abcd所成的二面角。所成的二面角。abcda1b1c1d1e1 111cosa b ceb cssefgabdca1b1d1c1hfgbcdah練習(xí)練習(xí)2：在正方體：在正方體ac1中，中，e,f分別是中分別是中點點,求截面求截面a1ecf和底面和底面abcd所成的銳所成的銳二面角的大小。二面角的大小。efgabdca1b1d1c1fgbcdafea1c練習(xí)練習(xí)2：在

8、正方體：在正方體ac1中，中，e,f分別是中分別是中點點,求截面求截面a1ecf和底面和底面abcd所成的銳所成的銳二面角的大小。二面角的大小。1cosafcga fcess練習(xí)練習(xí)3：三棱錐：三棱錐p-abc中，中，pa 平面平面abc，pa=3，ac=4，pb=pc=bc（1）求二面角）求二面角p-bc-a的大小；的大小； （2）求二面角）求二面角a-pc-b的大小。的大小。pabcdecosabcpbcss1、方向向量法、方向向量法:二、向量法：二、向量法：labcd,arccoslbcl abcdabl cdlba cdba cdba cdba cd 二面角中、且，二面角的大小等于將二

9、面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面面的方向向量（在二面角的面內(nèi)的方向向量（在二面角的面內(nèi)垂直于二面角的棱且指向該面垂直于二面角的棱且指向該面方向的向量）所成的角。方向的向量）所成的角。1113acabdc例 ：在正方體中，求二面角的大小。1111ocdbdabacxyz解解：建立如圖所示的空間直角坐標系建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz，不妨設(shè)正方體的棱長為不妨設(shè)正方體的棱長為2，bd的中點為的中點為o，則，則b(2，2，0)，a1(2，0，2)，c1(0，2，2)，o（1，1，0）,0 , 2 , 2db ,2 , 1, 10 , 1 , 12 , 0 , 21oa2 ,

10、1 , 11oc12 121020db oa （）12 ( 1)2 1020db oc a1obd，c1obd 即為二面角即為二面角a1-bdc1的平面角。的平面角。11oa ,co 31coacoac,oacos111111 ooo二面角二面角a a1 1bdbdc c1 1的大小為的大小為31arccos求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補求出二面角的大小?；パa求出二面角的大小。 mn如圖：二面角的大小等于如圖：二面角的大小等于 -2、平面法向量法、平面法向量法:2、平面

11、法向量法、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補求出二面角的大小?；パa求出二面角的大小。mn如圖：二面角的大小等于如圖：二面角的大小等于例例4:在底面是直角梯形的四棱錐在底面是直角梯形的四棱錐sabcd中，中，abc=90，sa面面abcd， ad= sa=ab=bc=1，求面求面scd與面與面sba所成的二面角的大小所成的二面角的大小.12xyz解：以解：以a為原點，如圖為原點，如圖 建立空間直角坐標系。建立空間直角坐標系。0,0,1 ,1,1,0 ,10,0

12、,1,0,02scdb則：, ,scdnx y z設(shè)平面的法向量為,0,011,1, 1 ,0, 12nsc nsdn scn sdscsd 01,2,1202xyzxznyyzz 10,02sabad平面的法向量為0 1 06cos,1362nadn adnad 6,cos3n adarc 因為二面角為銳角因為二面角為銳角 。 6cos3arc二面角的大小為 11111111111 .2 .abcdabc debcfcdfdfab fd eab fcefa練習(xí)：在棱長為的正方體中，是棱的中點， 是棱上的動點。確定 的位置，使得平面；當(dāng)平面時，求二面角的大小。c1cb1bea1d1dafxyz

13、aaxyz解：以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 11111 .,0,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0,0,1,0 ,0,0,1 ,11,0,1 ,1,1,10,1,1 ,1,0 ,1,02dfxabcdabcdef x設(shè)則11111111, 1 ,1,0,1 ,1,021 10d eabafxd eabd eab 11110d eab fd eafd eaf 平面11022xx 111102fcdfd eab f是的中點，即， ， 時，平面 11 112 .,0 ,0,12 22efec 111, ,0,0c efnx y znef necn efn ec 設(shè)平面的法向量為1101221,1,1202xynyz10,0,1aefa