2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第六講雙曲線學(xué)案新人教版

1、第六講雙曲線知識(shí)梳理雙基自測知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的_距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|f1f2|)_的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的_焦點(diǎn)_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的_焦距_注：設(shè)集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c為常數(shù)，且a0，c0；(1)當(dāng)ac時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是_雙曲線_；(2)當(dāng)ac時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是_兩條射線_；(3)當(dāng)ac時(shí)，集合p是_空集_知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yrxr，ya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1_(a,0)_，a

2、2_(a,0)_頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1_(0，a)_，a2_(0，a)_漸近線y_x_y_x_離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段a1a2叫做雙曲線的_實(shí)軸_，它的長|a1a2|_2a_；線段b1b2叫做雙曲線的_虛軸_，它的長|b1b2|_2b_；_a_叫做雙曲線的_實(shí)半軸長_，b叫做雙曲線的_虛半軸長_a、b、c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b(2)實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)(3)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為(通徑)過雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線一支相交

3、所得弦長的最小值為；與兩支相交所得弦長的最小值為2a(4)過雙曲線焦點(diǎn)f1的弦ab與雙曲線交在同支上，則ab與另一個(gè)焦點(diǎn)f2構(gòu)成的abf2的周長為4a2|ab|(5)雙曲線的離心率公式可表示為e(6)雙曲線的形狀與e的關(guān)系：|k|，e越大，即漸近線斜率的絕對值就越大，雙曲線開口就越開闊(7)1(a0，b0)與1(a0，b0)互為共軛雙曲線，其離心率倒數(shù)的平方和為1題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,4)，f2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m0，n0，0

4、)的漸近線方程是0，即0()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于()(5)若雙曲線1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)()題組二走進(jìn)教材2(必修2p61t1)若雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為(a)ab5cd2解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線方程為0，即bxay0，2ab又a2b2c2，5a2c2e25，e3(必修2p61a組t3)已知ab0，橢圓c1的方程為1，雙曲線c2的方程為1，c1與c2的離心率之積為，則c2的漸近線方程為(a)axy0bxy0c

5、x2y0d2xy0解析橢圓c1的離心率為，雙曲線c2的離心率為，所以，即a44b4，所以ab，所以雙曲線c2的漸近線方程是yx，即xy0題組三走向高考4(2018全國卷)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為(a)ayxbyxcyxdyx解析由題意e，雙曲線的漸近線方程為yx，故選a5(2020新課標(biāo))設(shè)f1，f2是雙曲線c：x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p在c上且|op|2，則pf1f2的面積是(b)ab3cd2解析由題意可得a1，b，c2，|f1f2|2c4，|op|2，|op|f1f2|，pf1f2為直角三角形，pf1pf2，|pf1|2|pf2|24c216，|pf1|

6、pf2|2a2，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4，|pf1|pf2|6，pf1f2的面積為s|pf1|pf2|3，故選b考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用自主練透例1(1)已知定點(diǎn)f1(2,0)，f2(2,0)，n是圓o：x2y21上任意一點(diǎn)，點(diǎn)f1關(guān)于點(diǎn)n的對稱點(diǎn)為m，線段f1m的中垂線與直線f2m相交于點(diǎn)p，則點(diǎn)p的軌跡是(b)a橢圓b雙曲線c拋物線d圓(2)(2021河南洛陽統(tǒng)考)已知f是雙曲線1的左焦點(diǎn)，a(1,4)，p是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|pf|pa|的最小值為_9_解析(1)如圖，連接on，由題意可得|on|1，且n為mf1的中點(diǎn)，又o為f1f2的中點(diǎn)，|

7、mf2|2點(diǎn)f1關(guān)于點(diǎn)n的對稱點(diǎn)為m，線段f1m的中垂線與直線f2m相交于點(diǎn)p，由垂直平分線的性質(zhì)可得|pm|pf1|，|pf2|pf1|pf2|pm|mf2|2|f1f2|，由雙曲線的定義可得，點(diǎn)p的軌跡是以f1，f2為焦點(diǎn)的雙曲線(2)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為f1，則由雙曲線的定義，可知|pf|4|pf1|，所以當(dāng)|pf1|pa|最小時(shí)滿足|pf|pa|最小由雙曲線的圖形可知，當(dāng)點(diǎn)a，p，f1共線時(shí)，滿足|pf1|pa|最小，|af1|即|pf1|pa|的最小值又|af1|5，故所求的最小值為9名師點(diǎn)撥(1)利用定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，要分清是差的絕對值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的

8、一支(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|pf1|pf2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|pf1|pf2|的聯(lián)系變式訓(xùn)練1(1)在abc中，b(4,0)，c(4,0)，動(dòng)點(diǎn)a滿足條件sin bsin csin a時(shí)，則點(diǎn)a的軌跡方程為_1(x2)_(2)(2021廣東佛山質(zhì)檢)已知p為雙曲線c：1(a0，b0)上一點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f1，f2為雙曲線c左右焦點(diǎn)若|op|of2|，且滿足tanpf2f13，則雙曲線的離心率為(c)abcd解析(1)設(shè)a的坐標(biāo)為(x，y)，在abc中，由正弦定理，得2r(其中r為abc外接圓的半徑)，代入sin bsin csin a，得 又

9、|bc|8，|ac|ab|4，因此a的軌跡為以b，c為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去右頂點(diǎn))，且2a4,2c8，即a2，c4，b2c2a212所以所求a點(diǎn)的軌跡方程為1(x2)(2)點(diǎn)p在雙曲線c的右支上，且滿足|op|of2|，即有o為pf1f2外接圓的圓心，即有f1pf290，由雙曲線的定義可得|pf1|pf2|2a，tanpf2f13，所以|pf1|3|pf2|，則|pf1|3a，|pf2|a，由|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即(3a)2a24c2，即有c2a2，e知，故選c考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程師生共研例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與已知雙曲線x24y24有共同漸近線

10、且經(jīng)過點(diǎn)(2,2)；(2)漸近線方程為yx，焦距為10；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)p(3,2)和q(6，7)；(4)雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，)解析(1)設(shè)所求雙曲線方程為x24y2(0)，將(2,2)的坐標(biāo)代入上述方程，得22422，12所求雙曲線方程為1(2)設(shè)所求雙曲線方程為y2(0)，當(dāng)0時(shí)，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1，c5，5；當(dāng)0時(shí)，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1，c5，5所求雙曲線方程為1或1(3)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)解之得雙曲線方程為1(4)依題意，eab設(shè)方程為1，則1，解得m61名師點(diǎn)撥求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，

11、由雙曲線定義，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2，寫出雙曲線方程(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為ax2by21(ab0)，根據(jù)條件確定a、b即可特別的與雙曲線1(a0，b0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)；與雙曲線1(a0，b0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(b2ka2)；漸近線為yx(或yx)的雙曲線的方程可設(shè)為(0)特別地：離心率為的雙曲線的方程可設(shè)為x2y2(0)變式訓(xùn)練2(1)(2017新課標(biāo))已知雙曲線c：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦

12、點(diǎn)，則c的方程為(b)a1b1c1d1(2)(2019新課標(biāo))雙曲線c：1的右焦點(diǎn)為f點(diǎn)p在c的一條漸近線上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)若|po|pf|，則pfo的面積為(a)abc2d3解析(1)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(3,0)，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，可得c3，雙曲線c：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，可得，即，可得，解得a2，b，所求的雙曲線方程為：1故選b(2)雙曲線c：1的右焦點(diǎn)為f(，0)，漸近線方程為：yx，不妨設(shè)p在第一象限，可得tanpof，p，所以pfo的面積為：，故選a考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)多維探究角度1雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、實(shí)軸、虛軸、頂點(diǎn)、范圍例3(2021武漢武昌區(qū)調(diào)研)

13、雙曲線c：1(a0，b0)的焦距為10，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則c的實(shí)軸長等于_8_解析雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線yx，即axby0的距離為b3，所以a4,2a8角度2雙曲線的漸近線例4(1)(多選題)(2021河北張家口、衡水、邢臺(tái)聯(lián)考)已知雙曲線e：1(m0)的一條漸近線方程為x3y0，則下列說法正確的是(ad)ae的焦點(diǎn)在x軸上bmce的實(shí)軸長為6de的離心率為(2)(2021福建廈門質(zhì)檢)已知雙曲線c：1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f，點(diǎn)a，b是c的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，以ab為直徑的圓過f且交c的左支于m，n兩點(diǎn)，若|mn|2，abf的面積為8，則c的漸近線方程為(b)

14、ayxbyxcy2xdyx解析(1)由m0，可知雙曲線e的焦點(diǎn)一定在x軸上，故a正確；根據(jù)題意得，所以m36，故b錯(cuò)誤；雙曲線e的實(shí)軸長為212，故c錯(cuò)誤；雙曲線e的離心率e，故d正確故選ad(2)設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為f，由雙曲線的對稱性，四邊形afbf是矩形，所以sabfsaff，即bc8，由，得：y，所以|mn|2，所以b2c，所以b2，c4，所以a2，c的漸近線方程為yx故選b角度3雙曲線的離心率例5(1)(2021福建三明期末質(zhì)檢)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與直線xy40垂直，則該雙曲線的離心率為(c)abc2d4(2)(2018新課標(biāo))設(shè)f1，f2是雙曲線c：1(a0，

15、b0)的左，右焦點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，過f2作c的一條漸近線的垂線，垂足為p，若|pf1|op|，則c的離心率為(c)ab2cd(3)(2021河北省衡水中學(xué)調(diào)研)已知點(diǎn)f是雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)e是該雙曲線的左頂點(diǎn)，過f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，若aeb是鈍角，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(c)a(1，)b(1,1)c(2，)d(2,1)解析(1)由題意可知1，e2故選c(2)點(diǎn)f2(c,0)到漸近線yx的距離|pf2|b(b0)，而|of2|c，所以在rtopf2中，由勾股定理可得|op|a，所以|pf1|op|a在rtopf2中，cospf2o，在f1f2p中

16、，cospf2o，所以3b24c26a2，則有3(c2a2) 4c26a2，解得(負(fù)值舍去)即e故選c(3)由題意，得ab為雙曲線的通徑，其長度為|ab|，因?yàn)閍eb，所以aef，則tanaef1，即1，即c2a2a(ac)，即e2e20，解得e2故選c名師點(diǎn)撥1求雙曲線離心率或其范圍的方法(1)直接法：由題設(shè)條件求出a，c，從而得e(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：由e或e等公式將已知條件轉(zhuǎn)化為e的等式，從而得e(3)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解解題時(shí)要特別注意幾何特點(diǎn)，以簡化運(yùn)算2求雙曲線的漸近線方程的方法求雙曲線1(a0，b0

17、)的漸近線的方法是令0，即得兩漸近線方程0或確定焦點(diǎn)位置并求出或的值，從而寫出漸近線方程注：如圖f為雙曲線1的焦點(diǎn)，l為漸近線；fhl，則|fh|b，|oh|a變式訓(xùn)練3(1)(角度1)(2021安徽蚌埠質(zhì)檢)已知雙曲線的漸近線方程為yx，一個(gè)焦點(diǎn)f(2,0)，則該雙曲線的虛軸長為(c)a1bc2d2(2)(角度2)(2021河南鄭州一中期中)設(shè)p是雙曲線1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|pf1|3，則|pf2|的值為_7_(3)(角度3)(2021安徽皖南八校聯(lián)考)已知雙曲線c：1(a0，b0)的一條漸近線與圓(x2)2y21相切，則雙曲線

18、c的離心率為(a)abc2d解析(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為yx，一個(gè)焦點(diǎn)f(2,0)，所以a2b2c24，聯(lián)立、可得：a23，b21，b1，從而2b2，該雙曲線的虛軸長2，故選c(2)雙曲線的漸近線方程yx，得a2，由于|pf1|3,2a4，由雙曲線定義知|pf1|pf2|2a4，得|pf2|7(3)由題意可知圓心(2,0)到漸近線yx的距離為半徑r1，即1，即3b2a2，又a2b2c2，則3(c2a2)a2，解得e故選a考點(diǎn)四直線與雙曲線多維探究角度1直線與雙曲線位置關(guān)系例6(2021唐山一中模擬)過點(diǎn)a(0,1)作直線，與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合條件的直線的條數(shù)為(c)a

19、0b2c4d無數(shù)解析通解：由題意可得直線的斜率一定存在，設(shè)為k，則直線方程為ykx1，代入雙曲線方程整理得(9k2)x22kx100當(dāng)k3時(shí)，方程有一解，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k3時(shí)，由0解得k，此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，故符合條件的直線有4條，選項(xiàng)c正確優(yōu)解：由圖形可知，過點(diǎn)a(0,1)作與雙曲線漸近線平行的直線有2條，作與雙曲線相切的直線也有兩條，則與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條，選項(xiàng)c正確引申1本例中，若過點(diǎn)a的直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為_(3,3)_引申2本例中，若將“a(0,1)”改為“a(1,0)”，則符合條件的直線有_3_條引申3本

20、例中，若將“a(0,1)”改為“a(2,0)”，則符合條件的直線有_2_條引申4本例中，過點(diǎn)a與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)的直線斜率的取值范圍為_(3，)_解析設(shè)直線方程為ykx1，由得(9k2)x22kx100由4k240(9k2)0，得k，即k切結(jié)合圖形可知3k注：或由求解引申5本例中，過雙曲線左焦點(diǎn)且與左支有兩個(gè)不同交點(diǎn)的直線斜率的取值范圍為_(，3)(3，)_名師點(diǎn)撥1解決此類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，注意整體代入2有時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)直線的斜率k與漸近線的

21、斜率或某切線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會(huì)比較快捷角度2弦的問題例7(1)(2021山東師大附中模擬)過雙曲線x21的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線a，b兩點(diǎn)，則滿足|ab|6的直線l有(b)a4條b3條c2條d1條(2)以a(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線c：2x2y22的弦所在直線的方程為_4xy70_解析(1)當(dāng)直線l的傾斜角為90時(shí)，|ab|6；當(dāng)直線l的傾斜角為0時(shí)，|ab|26故當(dāng)直線l適當(dāng)傾斜時(shí)，還可作出兩條直線使得|ab|6故選b(2)設(shè)弦的端點(diǎn)分別為m(x1，y1)，n(x2，y2)，則，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，又mn的中點(diǎn)為a(2,1)，即x1x2

22、4，y1y22，4(x1x2)y1y2，即kmn4，所求直線方程為y14(x2)，即4xy70名師點(diǎn)撥(1)“中點(diǎn)弦”問題常用“點(diǎn)差法”求解，但求弦所在直線方程后應(yīng)代回檢驗(yàn)(2)弦長問題用弦長公式求解，注意“焦點(diǎn)弦”的弦長與通徑、實(shí)軸長間關(guān)系的應(yīng)用如本例(1)中雙曲線實(shí)軸長為2，通徑長為6，則滿足|ab|m的直線當(dāng)2m6時(shí)有2條；當(dāng)m6時(shí)有4條；當(dāng)m2時(shí)有1條；當(dāng)0m2有0條變式訓(xùn)練4(1)如果直線ykx1與雙曲線x2y24的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_(2)已知雙曲線x21，過p(2,1)點(diǎn)作一直線交雙曲線于a，b兩點(diǎn)，并使p為ab的中點(diǎn)，則直線ab的方程為_6xy110_解析(1)

23、由得(1k2)x22kx50，由4k220(1k2)0得k，結(jié)合圖形可知1k(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入雙曲線方程3x2y23，相減得直線ab的斜率kab6故所求直線的方程為y16(x2)，即6xy110名師講壇素養(yǎng)提升高考中的離心率問題例8(1)(2021廣東六校聯(lián)考)已知雙曲線：1(a0，b0)的左焦點(diǎn)為f(，0)，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)p為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，且apf周長的最小值為8，則雙曲線的離心率為(d)abc2d(2)(2019全國)已知雙曲線c：1(a0，b0)，過c的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交c于m，n兩點(diǎn)，若以mn為直徑的圓經(jīng)過c的右焦點(diǎn)，則c的離心率

24、為(a)a1b2cd(3)(2021江西吉安五校聯(lián)考)已知f1，f2是雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)p與點(diǎn)f2關(guān)于直線y對稱，則該雙曲線的離心率為(b)abcd2(4)(2021天津南開區(qū)期末)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)m在雙曲線的左支上，且|mf2|7|mf1|，則此雙曲線離心率的最大值為(a)abc2d(5)(2021安徽省安慶一中模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為f，若過點(diǎn)f且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(d)a(1,2)b(1,2c(2，)d2，)解析(1)由題易知雙曲線的右焦點(diǎn)f1(，0)，即c，|af|3，點(diǎn)p為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可知|pf|pf1|2a，|pf|pf1|2a，所以apf周長為：|af|ap|pf|af|ap|pf1|2a，當(dāng)點(diǎn)a，p，f1共線時(shí)，周長最小，即|af|af1|2a8，解得a1，故離心率e，故選d(2)設(shè)雙曲線c：1(a0，b0)的左焦點(diǎn)為f1，右焦點(diǎn)為f2，以mn為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)，|f1m|f1f2|，2c，c2a22ac，e22e10，e1，e1，e1，