2022高考數(shù)學(xué)一輪備考復(fù)習(xí)選修4_5不等式選講第2節(jié)不等式的證明課時跟蹤檢測文含解析新人教B版

1、選修選修 4 45 5不等式選講不等式選講第二節(jié)第二節(jié)不等式的證明不等式的證明a 級基礎(chǔ)過關(guān)|固根基|1.已知函數(shù) f(x)|x|x3|.(1)解關(guān)于 x 的不等式 f(x)5x；(2)設(shè) m，ny|yf(x)，試比較 mn4 與 2(mn)的大小解：(1)f(x)|x|x3|32x，x0，3，0 x3，2x3，x3.f(x)5x，即x0，32xx5或0 x3，3x5或x3，2x3x5，解得 x23或 x或 x8，所以不等式的解集為，23 8，)(2)由(1)易知 f(x)3，所以 m3，n3.由于 2(mn)(mn4)2mmn2n4(m2)(2n)，且 m3，n3，所以 m20，2n0.即(

2、m2)(2n)0，所以 2(mn)mn4.2設(shè) a，b，c 均為正數(shù)，且 abc1，證明：(1)abbcca13；(2)a2bb2cc2a1.證明：(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca，當(dāng)且僅當(dāng) abc 時取“”由題設(shè)得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因?yàn)閍2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，當(dāng)且僅當(dāng) abc 時取“”，故a2bb2cc2a(abc)2(abc)，則a2bb2cc2aabc.所以a2bb2cc2a1.3求證：1121221321n22.證明：因?yàn)?

3、n21n（n1）1n11n，所以1121221321n211121231341（n1）n1112 1213 1n11n 21n2.4(2019 屆長春市質(zhì)量檢測(二)已知函數(shù) f(x)|2x3|3x6|.(1)求 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)的最小值為 t，正數(shù) a，b 滿足 ab12，求證： a bt.解：(1)f(x)|2x3|3x6|32x63xx32 ，2x363x32x2，2x33x6（x2）5x9x32 ，x332x2，5x9（x2）.其圖象如圖，由圖象可知：f(x)2 的解集為75，115 .(2)證明：由圖象可知 f(x)的最小值為 1，由基本不等式可知a b2ab2

4、1412，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時“”成立，即 a b1t.b 級素養(yǎng)提升|練能力|5.已知 a，b，c 為正數(shù)，函數(shù) f(x)|x1|x5|.(1)求不等式 f(x)10 的解集；(2)若 f(x)的最小值為 m，且 abcm，求證：a2b2c212.解：(1)f(x)10，|x1|x5|10，則x1，（x1）（x5）10或1x5，（x1）（x5）10或x5，（x1）（x5）10，解得3x1 或1x5 或 5x7，不等式 f(x)10 的解集為x|3x7(2)證明：f(x)|x1|x5|(x1)(x5)|6，m6，即 abc6.證法一：a2b22ab，a2c22ac，c2b22cb，2(a2b2c

5、2)2(abacbc)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2ac2bc(abc)2，a2b2c212，當(dāng)且僅當(dāng) abc2 時等號成立證法二：由柯西不等式得(121212)(a2b2c2)(abc)2，3(a2b2c2)36，a2b2c212，當(dāng)且僅當(dāng) abc2 時等號成立6已知函數(shù) f(x)|2x3|2x1|的最小值為 m.(1)若 m，nm，m，求證：2|mn|4mn|；(2)若 a，b(0，)，a2bm，求2a1b的最小值解：(1)證明：f(x)|2x3|2x1|2x3(2x1)|2，m2.要證明 2|mn|4mn|，只需證明 4(mn)2(4mn)2，4(mn)2(4mn)24(m22

6、mnn2)(168mnm2n2)(m24)(4n2)，又 m，n2，2，m2，n20，4，(m24)(4n2)0，4(mn)2(4mn)20，4(mn)2(4mn)2，原不等式 2|mn|4mn|成立(2)由(1)得，a2b2，因?yàn)?a，b(0，)，所以2a1b122a1b(a2b)1222ab4ba1242ab4ba4，當(dāng)且僅當(dāng) a1，b12時，等號成立所以2a1b的最小值為 4.7已知函數(shù) f(x)x1|3x|(x1)(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)若 f(x)的最小值為 n，正數(shù) a，b 滿足 2naba2b，求證：2ab98.解：(1)根據(jù)題意，若 f(x)6，則有x13x6

7、，1x3或x1（x3）6，x3，解得1x4，故原不等式的解集為x|1x4(2)證明：函數(shù) f(x)x1|3x|4，1x3，2x2，x3，分析可得 f(x)的最小值為 4，即 n4，則正數(shù) a，b 滿足 8aba2b，則1b2a8，2ab181b2a (2ab)182ab2ba518522ab2ba98，原不等式得證8(2019 年全國卷)設(shè) x，y，zr，且 xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)213成立，證明：a3 或 a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)243，當(dāng)且僅當(dāng) x53，y13，z13時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為43.(2)證明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(