答案 數(shù)列通項(xiàng)公式和求和的基本方法與技巧

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一 求數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法數(shù)列滿足的遞推公式方法由求（如）累加法（如）累乘法（如）構(gòu)造數(shù)列為公比q的等比數(shù)列（如）取倒數(shù)，構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列（如）在原遞推等式兩邊同除，構(gòu)造數(shù)列，再進(jìn)一步解決。注意：選擇用哪一種方法求通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是看已知條件數(shù)列滿足的遞推公式。有時要用上兩種以上方法才可以求解。二.觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3） （4）三.公式法例2. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 三.由求： 例3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求（1） ; （2）例4.

2、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例8、已知等差數(shù)列的公差d=1，且，成等比數(shù)列。（1）求的通項(xiàng)公式； （2）求例5.已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)例6 定義運(yùn)算符號：“”，這個符號表示若干個數(shù)相乘，例如,可將123n記作，記，其中為數(shù)列中的第項(xiàng)若，則 設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)；例7.數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知證明：（）數(shù)列是等比數(shù)列；（） 四.形如型（累加法）（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.例7.已知數(shù)列an滿足,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 練習(xí)：1、已知數(shù)列的首項(xiàng)

3、為1，且，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.2、已知數(shù)列滿足寫出該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式例8數(shù)列中，若,且滿足,證明（）數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列an的通項(xiàng)公式。19. 已知數(shù)列滿足，為常數(shù)，且，成等差數(shù)列.（1）求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：.19. (1)，成等差數(shù)列，（1） ，那么（2） （3） 將（2），（3）代入（1），得將代入，得，即 以上列等式的左邊疊加得以上列等式的右邊疊加得即，又，檢驗(yàn)知也成立，故通項(xiàng)公式為（2） 在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，可知數(shù)列中為最大項(xiàng)，而，五.形如型（累乘法）（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比且=.（

4、2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法.例8.在數(shù)列中 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)：1、已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式。2、求數(shù)列的通項(xiàng)公式。六.形如型（取倒數(shù)法）例9.已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式 2、若數(shù)列中，求通項(xiàng)公式. 七形如,其中)型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),利用待定系數(shù)法求出。例10已知數(shù)列中，求通項(xiàng).2、若數(shù)列中，,求通項(xiàng)公式。八.形如型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）方法1：可構(gòu)造等比數(shù)列，可以用待定系數(shù)法確定常數(shù)。方法2：兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型七來解，例。已知數(shù)列滿足，（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的

5、通項(xiàng)公式；練習(xí)：已知數(shù)列滿足，求；九.形如(其中p,q為常數(shù))型，可構(gòu)造等比數(shù)列例13.數(shù)列中，若,且滿足,求.數(shù)列求和的基本方法與技巧一、利用常用求和公式求和（定義法） 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式： 例1 等比數(shù)列中，（1）若（2）求及前項(xiàng)的和。（用兩種方法求公比）例 求和：練習(xí) 1.有窮數(shù)列，為其前項(xiàng)和，定義為數(shù)列的“凱森和”，如果有99項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列1，的“凱森和” .二、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合

6、，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）=_（5）;（6）例2、求和：（1）。例3等差數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列中，且是公比為64的等比數(shù)列。（1）求與；（2）證明：練習(xí).A組題 1.求數(shù)列的前項(xiàng)和。2.已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.B組題3數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為為其前項(xiàng)和，對于任意,總有成等差數(shù)列。（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求證：對任意的正整數(shù)，總有。4.若的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)y的圖像上（1）求

7、數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有 都成立的最小正整數(shù)mC組題5已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足，令 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：（）3、 絕對值求和例4設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）求; (2)求四、分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可?！纠纾簲?shù)列，其中數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列（如：）】例5 .已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為， ，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和（3）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和練習(xí)1. 求之和 2.；五錯位相減求和法數(shù)列，其中數(shù)列的等比數(shù)

8、列，數(shù)列是等差數(shù)列，（如：）正確實(shí)施錯位相減法的步驟與注意事項(xiàng) 先寫通項(xiàng)公式型如是等差數(shù)列，是等比數(shù)列,公比為q） 再列方程組，共寫四項(xiàng)，錯位排列！ 實(shí)施相減，合并同類項(xiàng)，注意最后一項(xiàng)為負(fù)數(shù)! 部分等比數(shù)列求和，注意項(xiàng)數(shù)!整理求出Sn。例6設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.例7設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，對任意，已知，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使得成立的最大正整數(shù)n的值。解（2）。-: ，所以?！具@是錯位相減法】練習(xí)A組題 1已知等差數(shù)列的公差為，且，成等比數(shù)列.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為

9、，求證：.解：（1）為等差數(shù)列，成等比數(shù)列，故有，解得，.（2） 得. ，.B組題 已知首項(xiàng)為，公比不等于的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.（1）解：由題意得， 1分即， 即. 2分 . 3分 公比. 4分 . 5分另解：由題意得， 1分 . 2分化簡得，解得， 4分. 5分 （2）解：， 6分 ， 7分 ， 8分 得，10分 . 12分 . C組題.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（為常數(shù)，），且成等差數(shù)列（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記，證明：解： （1），-2分成等差數(shù)列，即，-5分解得，或（舍去）-6分（2），-8分，-9分又，數(shù)列的通項(xiàng)公式是-10分（3）證明：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，-11分， ， 式兩邊乘以得 由得 將代入上式，得-14分另證: 先用錯位相減法求,再驗(yàn)證.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， -11分又，所以 將乘以2得: 得: ,整理得: -12分將乘以得: 整理得: -13分 -