(完整word版)華中科技大學(xué)北京大學(xué)2016-2017學(xué)年第2學(xué)期高等數(shù)學(xué)A期末考試試卷

1、華中科技大學(xué)高等數(shù)學(xué) A 期末考試試卷320162017 學(xué)年第 2 學(xué)期 考試類型：(閉卷)考試 學(xué)號(hào) 姓名考試科目：高等數(shù)學(xué) A 考試時(shí)間： 120 分鐘 年級(jí)專業(yè)題號(hào)一二三四總分得分評(píng)閱人得分、填空題(本大題共 5小題，每小題 3分，共15分)1二元函數(shù) z ln(y2 2x 1) 的定義域?yàn)椤?. 設(shè)向量 a (2,1,2) ，b (4, 1,10) ， c b a，且 a c，則3經(jīng)過(guò) (4,0, 2)和 (5,1,7) 且平行于 x軸的平面方程為4設(shè) u x ，則 du 。1得分5級(jí)數(shù) ( 1)n 1p ，當(dāng) p 滿足 條件時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂。 n 1 n二、單項(xiàng)選擇題 (本大題共 5

2、小題，每小題 3分，共 15分)1微分方程 2(xy x)y y的通解是( )A y Ce2x2 2x B yCeC y2e2y CxD e2y Cxy2求極限lim2 xy 4()(x,y) (0,0)xy1111ABCD42423直線 L: x yz 和平面:3x 2y 7z 8 0 的位置關(guān)系是()327A直線 L 平行于平面B直線 L在平面 上得分C直線 L 垂直于平面D直線 L 與平面 斜交4D 是閉區(qū)域 ( x, y)|a2x2y2b2 ，則x2y2dD3 3233433A (b a )B (b a )C (b a )2 3 3 5下列級(jí)數(shù)收斂的是1 1 n 1 A 1B 12 n

3、C1n 1 (n 1)(n 4) n 1 n 1 n 1 2n 1D3 (b3 a3)2Dn113 n(n 1)三、計(jì)算題(本大題共 7小題，每小題 7分，共49分)1. 求微分方程 y y ex滿足初始條件 x 0， y 2的特解。xy2. 計(jì)算二重積分 2 2 dxdy ，其中 D ( x, y) x2 y2 1,x y 1 D x y3設(shè) z z(x,y)為方程 2sin( x 2y 3z) x 4y 3z確定的隱函數(shù)，求 xy7將函數(shù)4.求曲線積分 (x y)dx (x y)dy ，其中 L沿x2 y2 a2(x 0, y 0) ，逆時(shí)針?lè)絃向。5. 計(jì)算 y5 1 x2 y6 dxd

4、y ，其中 D 是由 y 3 x，x 1及 y 1所圍成的區(qū)域 Dn6判斷級(jí)數(shù) ( 1) n 1 的斂散性，并指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂 n 1 n 1 n(1 x)(2 x) 展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù)，并求其成立的區(qū)間得分四、解答題 (本大題共 3 小題，每小題 7 分，共 21 分)1拋物面 z x2 y2 被平面 x y z 1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與 最短距離。nn2. 求冪級(jí)數(shù) ( 1) nx 的和函數(shù) n 1 (n 1)!3. 設(shè)函數(shù) f(x)和 g (x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (0) 1， g(0) 0， L 為平面上任意簡(jiǎn)單光滑閉曲線， 取逆時(shí)針?lè)较颍?L 圍成的平面區(qū)域?yàn)?

5、D ，已知L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ，D求 f (x)和 g(x) 。訂1.5CM解：設(shè) x r cos , y r sin1分sin cos3分所以x2 y2D x2 y21dxdy 2 dsin cosr cos r sinrdr5分2 (sin cos 1)d46分7分參考答案一、填空題(本大題共 5小題，每小題 3分，共15分)1( x,y)|y計(jì)算二重積分x2 y2 dxdy ，其中 D ( x,y):x2 y2 1,x y 1 2x 1 0 2339y z 2 0 4 yzxyz 1dx zxyz ln xdy yxyz ln xdz 50 p 1二、單

6、項(xiàng)選擇題 (本大題共 5小題，每小題 3分，共 15分)1C 2C 3C 4B 5 A三、計(jì)算題(本大題共 7小題，每小題 7分，共49分)1. 求微分方程 y y ex滿足初始條件 x 0， y 2的特解。 解：先求 y y 0的通解，得 y C1e x 2 分 采用常數(shù)變易法，設(shè) y h(x)e x，得 y h(x)e x h(x)e x3 分 代入原方程得 h(x)e x h(x)e x h(x)e x ex 4分得h(x) 1e2x C 5 分2故通解為 y 1ex Ce x 6 分2將初始條件 x 0， y 2帶入得 C D x y2，故特解為 y 12ex 32e x 7 分3.

7、設(shè) z z(x, y)為方程 2sin( x 2y 3z) x 4y 3z 確定的隱函數(shù)，求 xy解：設(shè) F ( x, y, z) x 4y 3z 2sin( x 2y 3z) 1 分Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy 4 4cos( x 2y 3z), Fz 3 6cos( x 2y 3z) 4 分zFx2cos(x 2y 3z) 1xFz 31 2cos( x 2y 3z)zFy4cos(x 2y 3z) 4yFz 31 2cos(x 2y 3z)6分#所以zz7分xy4. 求曲線積分 (x y)dx (x y) dy，其中 L沿 x2 y2 a2(x 0,y 0) ，逆時(shí)針

8、L方向。解：圓的參數(shù)方程為： x acost , y a sint (0 t ) 1分2(x y)dx (x y)dy 02 (a cost a sin t )da cost 02 (a cost a sin t)da sint 3 分 La2 2 (cos 2t sin 2t )dt 4 分a2sin 2t cos2t02 6 分2a2 7 分(本題也可以利用“曲線積分與路徑無(wú)關(guān)”來(lái)解)5. 計(jì)算 y5 1 x2 y6dxdy ，其中 D是由 y 3 x，x 1及 y 1所圍成的區(qū)域。 D解：D (x,y)|3x y 1, 1 x 1 1分y5 1 x2y 6 dxdyD11dxy6dy2分

9、4分1 1 39 1(|x|3 1)dx2 (x3 1)dx905分6分7分6. 判斷級(jí)數(shù)n1( 1)nnn1的斂散性，并指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂解：( 1)n n 1 n 1 n1n (n )n 1 n 1 n1分3分所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 4 分 又( 1)n n( 1)n ( 1)n 1 n (n 1) n1 ( 1)n(1n5分6分顯然，交錯(cuò)級(jí)數(shù)n1( 1)n(n 1) n收斂。 7 分7.將函數(shù)都收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂。因此是條件(1 x)(2 x) 展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù)，并求其成立的區(qū)間解： (1 x)(2 x) 1 x 2 x2分1n而xn, |x| 11 x n 021x 121 2x

10、(x2)2 (|x| 2)所以(1 x)(2 x)3分4分1 x x2121 2x (2x)25分11(1 n11)xn 6 分 n 0 2成立范圍 |x| 1 7 分四、解答題 (本大題共 3 小題，每小題 7 分，共 21 分)1. 拋物面 z x2 y2 被平面 x y z 1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最 短距離。解：設(shè)橢圓上任一點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P(x, y,z) ， P 點(diǎn)滿足拋物面和平面方程。原點(diǎn) 到這橢圓上任一點(diǎn)的距離的平方為 x2 y2 z2 ， 1 分 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F x2 y2 z2 (x2 y2 z) (x y z 1) 2 分Fx 2x 2x0Fy 2y 2

11、y0Fz 2z 0 4 分F x2 y2 z 0F x y z 1 0解得 x 1( 1 3) 5 分2得兩個(gè)駐點(diǎn)為 P1 ( 13, 13,23), P2 ( 13, 13,23)22 22 22 22 6 分所以最短距離為 9 5 3 ，最短距離為 9 5 3 7 分nn2. 求冪級(jí)數(shù) ( 1) nx 的和函數(shù) n 1 (n 1)!n解：因?yàn)?exx ，所以 e xn 0 n! n 0nn( 1) xn!1分S(x)n0nn ( 1) nx (n 1)!n0( 1)n(n 1 1)xn(n 1)!2分3分n n n n( 1)n xn( 1)n xn n 0 n! n 0 (n 1)!4分

12、nn( 1)n xnxen 0 n!( 1)n xn 1 ( 1)n xn 1 n 0 (n 1)! x n 0 (n 1)!1 ( 1)n xn x n 1 n!1 1 ( 1)n xnx x n 0 n!1 ( 1)n 1xn 1 x n 0 (n 1)!1 ( 1)n xn 1 x n 0 n!111 1e xxx(x 0 )5分所以1S(x) e x (1 e x)(x 0)x 1x故 S(x) e x(1 e x)(x 0) 6 分x當(dāng) x 0 時(shí)，S(x) 0 。7分另解：當(dāng) x 0 時(shí)，( 1)n nxn n 1 (n 1)!1 ( 1)nnxn 1 x n 1 (n 1)!1 ( 1)n x n 1 (n 1)!xndx01xx 0 n 1 (n 1)! dx( 1)n 1xn 10x0 n 1 (n 1)!dxxx0 xe xdx當(dāng) x 0 時(shí)，S(x) 0 。nnx x ( 1)nxndxn 0 n!1x1 x x xde x0g(0) 0，L 為平面上任意簡(jiǎn)單3. 設(shè)函數(shù) f (x)和 g(x) 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (0) 1光滑閉曲線，取逆時(shí)針?lè)较颍?L 圍成的平面區(qū)域?yàn)?D，已知L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ，D求 f (x)和 g(x) 。解：由格林公式得yf (x) g(x) xdxdyyg(x