線性代數(shù)習(xí)題解答第二章矩陣及其運(yùn)算西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系第二

1、線性代數(shù)習(xí)題解答 第二章 矩陣及其運(yùn)算 西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系第二章 矩陣及其運(yùn)算2.1矩陣的定義2.2矩陣的基本運(yùn)算一、 填空題1、矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)。2、設(shè)矩陣，則矩陣可作加法的條件是，可作乘法的條件是。3、設(shè)，則是矩陣，且=。4、矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣中，第行第列的元素是。5、對(duì)于矩陣，當(dāng)= 1 ， 0 ， 0 時(shí)，是對(duì)稱矩陣。6、若，則矩陣的次方冪=。7、的充要條件是。8、若是3階方陣，且，則 -24 ， 9 。9、若是3階方陣，是4階方陣，且，則 -8 。10、設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，則。二、判斷題1、若兩個(gè)行列式，則他們對(duì)應(yīng)的矩陣有。 （）2、若矩陣的行列式，則必有。 （）3、若矩陣的乘積和

2、都有意義，則必是方陣。 （）4、均是階方陣，則。 （）5、對(duì)任意的階方陣，有。 （）6、若，則或。 （）7、若，則或。 （）8、對(duì)任意的方陣，有。 （）三、單項(xiàng)選擇題1、 若是矩陣，是矩陣，是矩陣，則下列運(yùn)算不可行的是（d）(a) (b) (c) (d) 2、 已知是矩陣，是矩陣，則下列運(yùn)算結(jié)果是階方陣的是（b）(a) (b) (c) (d) 3、 設(shè)是階方陣，是矩陣，在下列運(yùn)算，正確的是（d）(a) (b) (c) (d) 4、 若，則矩陣的行列式有（b）(a) (b) 或 (c) (d) 5、 設(shè)為階方陣，則下列結(jié)論成立的是（c）() ()()()6、 設(shè)為階方陣，且，則下列結(jié)論成立的是（

3、b）() ()或()()7、設(shè)行矩陣，且，則（b）(a) -2 (b) 2 (c )-1 (d) 18、設(shè)均為階方陣，則必有（a）(a) (b) (c) (d) 四、計(jì)算題1、已知兩個(gè)線性變換（1） （2）求從到的線性變換。解：線性變換（1）對(duì)應(yīng)的矩陣是，線性變換（）對(duì)應(yīng)的矩陣是，則從到的線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣是從到的線性變換為。2、若，滿足方程，求解：由，解得所以。3、按下列給定矩陣，求及。（1），（2），解：（），（2），4、設(shè)，求。解： 因?yàn)椋O(shè)，則由數(shù)學(xué)歸納法知五、證明題1、 設(shè)為階方陣，且為對(duì)稱陣，證明：也是對(duì)稱陣。證明：由為對(duì)稱陣有，又由知也是對(duì)稱陣。2、 都是階對(duì)稱矩陣，證明是對(duì)稱

4、矩陣的充要條件是。證明：因?yàn)槎际菍?duì)稱矩陣，所以有，故有。因?yàn)闉閷?duì)稱陣，即有，又，還因?yàn)椋?，即是?duì)稱矩陣。2.3 逆矩陣一、 填空題1、已知，則 e ，= e ，所以 b ，a 。2、設(shè)為階方陣，則是可逆的充分必要條件。 3、若、均為階可逆方陣，數(shù)，則，。4、設(shè)，則，。5、設(shè)為3階矩陣，且，則 -16 。6、已知，則。二 、判斷題1、 設(shè)、均為階方陣，若，則，且。 （）2、 可逆矩陣就是奇異矩陣。 （）3、 若，則。 （）4、 設(shè)，則是非奇異矩陣的充要條件是。 （）5、 若、為同階方陣，則。 （）6、 設(shè)常數(shù)，為非奇異矩陣，則。 （）三、選擇題1、設(shè)為階方陣，且可逆，則必成立（c）(a) 若

5、則 (b) 若則(c) 若則 (d)若則2、設(shè)為同階可逆陣，則矩陣方程的解（a）(a) (b) (c) (d) 3、設(shè)，均為階方陣，下面結(jié)論正確的是（b）(a) 若，均可逆，則可逆 (b)若，均可逆，則可逆(c) 若，均可逆，則可逆 (d)若可逆，則，均可逆4、設(shè)為階可逆方陣， 則（d）(a) (b) (c) (d) 四、計(jì)算題1、 試用逆矩陣的方法求下列線性方程組的解。 解：所給方程的矩陣表達(dá)式為，其中，由，方程組的解為。2、解矩陣方程，其中，。解：由移項(xiàng)并整理得因?yàn)椋钥赡?，等式兩邊左乘得到，由伴隨矩陣法求得故。3、設(shè)，求矩陣使其滿足解：由，知存在，且，。故得到，經(jīng)計(jì)算得到。4、 已知，

6、求矩陣。解：且，所以有五、證明題1、設(shè)方陣滿足，證明及都可逆，并求及。解：由得到，即，所以可逆，且。同理，由得到，即，故可逆，且。或者由得到，則2、設(shè)（為正整數(shù)），證明證明 因?yàn)樗浴?.4 分塊矩陣一、設(shè)，用矩陣分塊法計(jì)算（1），（2） （3） （4）解：設(shè)，其中，(1) (2) 同理，所以（3）(4) 二、設(shè)階矩陣及階矩陣都可逆，求（1） （2）解：（1） （2）三、取，驗(yàn)證。解：，而，所以，故有。四、設(shè)，求及解：，其中，而，所以，同理，所以， 2.5矩陣的秩 2.6 矩陣的初等變換一、 填空題1、矩陣的秩為 2 ，化為標(biāo)準(zhǔn)形為。2、若矩陣與等價(jià)，則與的秩 相等 。3、設(shè)，則=。4、設(shè)矩陣，且，則=-3。二、 判斷題1、設(shè)與均為矩陣，若存在階可逆陣和階可逆陣，使得，則 （）2、若是滿秩矩陣，則 （）3、由矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。 （）4、設(shè)為矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣。 （）5、矩陣是奇異矩陣。 （）6、在秩為的矩陣中，所有的階子式都為零。 （）7、在秩為的矩陣中，一定沒有等于0的階子式。 （）三、 計(jì)算下列矩陣的秩1、解：由知。2、解：所以。四、 用初等變換法求下列矩陣的逆矩陣。1、解：由，所以。2、解：所以 五、 設(shè)，用初等變換法求