全微分的定義課件

1、全微分的定義一、全微分的定義一、全微分的定義二、可微的必要和充分條件二、可微的必要和充分條件三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、小結(jié)四、小結(jié)全微分的定義xyxy如圖，如圖， 一邊長(zhǎng)分別為一邊長(zhǎng)分別為x、y的長(zhǎng)方形金屬薄片，的長(zhǎng)方形金屬薄片， 受熱后受熱后在長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向上都發(fā)生在長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向上都發(fā)生變化，分別為變化，分別為x、y，那么，那么該金屬薄片的面積該金屬薄片的面積A改變了多少？改變了多少？xy)yy)(xx(AyxyxxyA稱(chēng)為面積函數(shù)稱(chēng)為面積函數(shù)A=xy的全增量，的全增量，由兩部分組成：由兩部分組成：yxxyx，y的線(xiàn)性部分的線(xiàn)性部分yx當(dāng)當(dāng)(x,y) (x

2、,y) (0,0)時(shí)，是一個(gè)比時(shí)，是一個(gè)比22)y()x(高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小。全微分的定義 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x，y)的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，點(diǎn)（有定義，點(diǎn)（x+x，y+y）在該鄰域內(nèi)，）在該鄰域內(nèi)， 如果函如果函數(shù)數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（x，y）的全增量）的全增量 )y, x( fz )y, x( fz )y,x(f)yy,xx(fz可以表示為可以表示為)(yBxAz其中其中A，B與與x,y無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，)(是當(dāng)是當(dāng)22)y()x(0時(shí)比時(shí)比高階的無(wú)窮小。高階的無(wú)窮小。則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn))y, x(fz （x，y）處）處可微可微，yBxA 稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x,y

3、)處的處的全微分全微分，記作，記作dz或或df(x,y)，即，即yBxAdz顯然，顯然，dzz一、全微分一、全微分全微分的定義二二 可微的必要和充分條件可微的必要和充分條件定理（可微的必要條件）定理（可微的必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（x，y）處可微，則它在）處可微，則它在該點(diǎn)處必連續(xù)，且它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且該點(diǎn)處必連續(xù)，且它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且)y, x(fz yyzxxzdz證明：證明：)y, x(fz 由函數(shù)由函數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（x，y）處可微有）處可微有)(yBxAz所以所以0)y,x(f)yy,xx(flimzlim0y0 x0y0 x即即)y,x(f)yy,xx

4、(flim0y0 x全微分的定義因此，函數(shù)因此，函數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（x，y）連續(xù)。）連續(xù)。)y, x(fz 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?中的中的A，B與與)(yBxAzx，y無(wú)關(guān)，也就是該式對(duì)任意的無(wú)關(guān)，也就是該式對(duì)任意的x，y都成立。都成立。不妨取不妨取y=0，則有，則有|)x(|xAz上式兩邊同除以上式兩邊同除以x，再令，再令x0， 則有則有Ax|)x(|limAx)y, x(f)y, xx(flim0 x0 x即說(shuō)明即說(shuō)明 存在，且存在，且xzAxz同理可證同理可證 存在，且存在，且yzByz故有故有yyzxxzdz全微分的定義 注意：注意：此命題不可逆。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都存在，此命題不可逆。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都

5、存在，也不能保證函數(shù)也不能保證函數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（x，y）可微。）可微。)y, x(fz 討論函數(shù)：討論函數(shù)：0yx00yxyxxy222222由以前的討論可知，在點(diǎn)（由以前的討論可知，在點(diǎn)（0，0）處它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)）處它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，可該函數(shù)在此點(diǎn)卻不連續(xù)，不連續(xù)肯定不可都存在，可該函數(shù)在此點(diǎn)卻不連續(xù)，不連續(xù)肯定不可微。微。定理（可微的充分條件）定理（可微的充分條件） 如果函數(shù) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn)（x，y）都存在且連續(xù)，則該函數(shù)再給點(diǎn)可微。)y , x( fzyz,xz全微分的定義 以上有關(guān)概念和定理均可以退到三元及三元以以上有關(guān)概念和定理均可以退到三元及三元以上的函數(shù)中去。上的函數(shù)中去

6、。 由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元函數(shù)函數(shù) 的全微分習(xí)慣上可寫(xiě)為的全微分習(xí)慣上可寫(xiě)為)y, x( fz dyyzdxxzdz類(lèi)似地，三元函數(shù)類(lèi)似地，三元函數(shù) 的全微分為的全微分為)z , y, x(uu dzzudyyudxxudu例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的全微分。的全微分。62354yxxyz解：先求函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：解：先求函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：全微分的定義522633012104yxxyyzxyyxz所以所以dyyxxydxxyydz)3012()104(5263例例2 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（2，-1）處的全微分。）處的全微分。32),(y

7、xyxf解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?2)1,2(,4)1,2(3),(,2),(223yxyxffyxyxfxyyxf所以所以dydxdz124|)1,2(全微分的定義 例例3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（0，0）有增量有增量x=0.2，y=0.3，求全微分，求全微分dz。)y4x3sin(ezyx2解：解：3)y4x3cos(e3)y4x3sin(e2xz0y0 xyx2yx20y0 x4)y4x3cos(e4)y4x3sin(eyz0y0 xyx2yx20y0 x所以所以8 . 13 . 042 . 03yyzxxzdz此題可理解為：此題可理解為：在點(diǎn)（在點(diǎn)（0，0）處）處x，y分別有增量分別有增量x

8、=0.2，y=0.3時(shí)，函數(shù)也產(chǎn)生增量時(shí)，函數(shù)也產(chǎn)生增量z，并且，并且zdz=1.8。全微分的定義三三 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用的公式：應(yīng)用的公式：y)y,x(fx)y,x(fdzz)1(00y00 x 例例4 設(shè)一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來(lái)的設(shè)一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來(lái)的20cm變到變到20.1cm，高由原來(lái)的，高由原來(lái)的40cm減少到減少到39.5cm，求該金屬體體積變化的近似值。求該金屬體體積變化的近似值。解：解： 設(shè)圓柱體的底面半徑為設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為，高為h，體積為，體積為V則有則有hrV2所以所以hrrrh2hhVrrVdV2

9、其中其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5全微分的定義由公式（由公式（1）得）得)cm(6 .125)5 . 0(2014. 31 . 0402014. 32dVV32即金屬體受壓后體積減少了即金屬體受壓后體積減少了125.6cm3。由公式（由公式（1）還可得）還可得y)y ,x(fx)y ,x(f)y ,x( f)yy , xx( f)2(00y00 x0000例例5 計(jì)算計(jì)算 的近似值。的近似值。3398.103.1解：解：構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) ，則，則33yx)y,x(f332xyx2x3)y,x(f332yyx2y3)y,x(f全微分的定義取取02. 0y,01. 0 x, 2y

10、, 1x00則則3321)2 ,1(f2)2 , 1(f, 5 . 0)2 , 1(fyx所以所以965. 2)02. 0(201. 05 . 0398. 101. 133 例例5 設(shè)一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來(lái)設(shè)一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來(lái)的的20厘米變到厘米變到20.1厘米，高由原來(lái)的厘米，高由原來(lái)的40厘米減少到厘米減少到39.5厘米，求該金屬體體積變化的近似值。厘米，求該金屬體體積變化的近似值。解：如下圖所示。解：如下圖所示。全微分的定義20cm40cm20.1cm39.5cm 設(shè)圓柱體的底面半設(shè)圓柱體的底面半徑為徑為r，高為，高為h，體積為，體積為V，則有，則有hrV2=此時(shí)此時(shí)hrrrh2hhVrrVdV2+=+=其中其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5故有故有)c