有限數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理(總體參數(shù)估計(jì))第三章

1、化學(xué)化工與生命科學(xué)系化學(xué)化工與生命科學(xué)系任課老師 王麗華實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理第三章 有限數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理3.13.2總體的參數(shù)估計(jì)總體的參數(shù)估計(jì)期望值和方差、參數(shù)估計(jì)期望值和方差、參數(shù)估計(jì)一般統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一般統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)平均值檢驗(yàn)、平均值檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、離群值檢驗(yàn)檢驗(yàn)、離群值檢驗(yàn)內(nèi)容內(nèi)容總體、個(gè)體和樣本總體、個(gè)體和樣本:v總體總體(Population)：調(diào)查研究的事物或現(xiàn)象的全體v個(gè)體個(gè)體(Item unit)：組成總體的每個(gè)元素v樣本樣本(Sample)：從總體中所抽取的部分個(gè)體v樣本容量樣本容量(Sample size)：樣本中所含個(gè)體的數(shù)量示例：示例：有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理總體總體樣本樣

2、本甲甲樣本容量樣本容量平均值平均值500g500g乙乙平行測(cè)定平行測(cè)定 3 3 次次1x平行測(cè)定平行測(cè)定 4 4 次次2x丙丙平行測(cè)定平行測(cè)定 4 4 次次3x有限數(shù)據(jù)的處理：有限數(shù)據(jù)的處理：.,.,321321xxxxxx計(jì)算計(jì)算x估計(jì)估計(jì) 顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)沒有系統(tǒng)誤差，沒有系統(tǒng)誤差， = T有系統(tǒng)誤差，有系統(tǒng)誤差， T3.1.1 期望值和方差期望值和方差數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的表示：對(duì)一數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的表示：對(duì)一B物質(zhì)客觀存在量為物質(zhì)客觀存在量為T 的分析對(duì)象進(jìn)行的分析對(duì)象進(jìn)行分析，得到分析，得到n 個(gè)個(gè)別測(cè)定值個(gè)個(gè)別測(cè)定值 x1、x2、x3、 xn，平均值平均值 Average niixnx11

3、有限次測(cè)量：測(cè)量值向有限次測(cè)量：測(cè)量值向平均值平均值 集中集中無限次測(cè)量：測(cè)量值向無限次測(cè)量：測(cè)量值向總體平均值總體平均值 集中集中xn,數(shù)據(jù)分散程度的表示：數(shù)據(jù)分散程度的表示：極差極差R R RangeminmaxxxR%100 xRxxdiinxxdnii1%100%xdRMD1)(12nxxsnii100%xsRSD總體標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的比較：總體標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的比較：總體標(biāo)準(zhǔn)偏差nxi2)（標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差1)(2nxxsi無限次測(cè)量，無限次測(cè)量，對(duì)總體平均值的離散對(duì)總體平均值的離散有限次測(cè)量有限次測(cè)量對(duì)平均值的離散對(duì)平均值的離散自由度自由度1 nf計(jì)算一組數(shù)據(jù)分散計(jì)算一組數(shù)據(jù)分

4、散度的獨(dú)立偏差數(shù)度的獨(dú)立偏差數(shù)自由度的理解：例如，有三個(gè)測(cè)量值，求得平均值，也知道自由度的理解：例如，有三個(gè)測(cè)量值，求得平均值，也知道x1和和x2與與平均值的差值，那么，平均值的差值，那么，x3與平均值的差值就是確定的了，不是一個(gè)獨(dú)與平均值的差值就是確定的了，不是一個(gè)獨(dú)立的變數(shù)。立的變數(shù)。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：nxnssxS(x)的物理意義：的物理意義：在有限次測(cè)量中，每個(gè)測(cè)量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差。在有限次測(cè)量中，每個(gè)測(cè)量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差。對(duì)有限次測(cè)量：對(duì)有限次測(cè)量：nssx1、增加測(cè)量次數(shù)、增加測(cè)量次數(shù)可以提高精密度。可以提高精密度。2、增加（過多）、增加（過多）測(cè)量次

5、數(shù)的代價(jià)不測(cè)量次數(shù)的代價(jià)不一定能從減小誤差一定能從減小誤差得到補(bǔ)償。得到補(bǔ)償。結(jié)論：結(jié)論：ssx測(cè)量次數(shù)測(cè)量次數(shù)0.00.20.40.60.81.00510152025期望值和方差期望值和方差 在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，期望值（或數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望、或均值均值，亦簡(jiǎn)稱期望期望，物理學(xué)中稱為期待值期待值）是指在一個(gè)離散性隨機(jī)變量試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。 換句話說，期望值是隨機(jī)試驗(yàn)在同樣的機(jī)會(huì)下重復(fù)多次的結(jié)果計(jì)算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常識(shí)中的“期望”“期望值”也許與每一個(gè)結(jié)果都不相等。（換句話說，期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量

6、的輸出值集合里。） 方差（variance)是在概率論和統(tǒng)計(jì)方差衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)是離散程度的度量。統(tǒng)計(jì)中的方差（樣本方差）是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)。在許多實(shí)際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。3.1.2 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)估估 計(jì)計(jì) 方方 法法點(diǎn)點(diǎn) 估估 計(jì)計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 在實(shí)際生活中，我們不能通過去測(cè)定無限多次去獲得在實(shí)際生活中，我們不能通過去測(cè)定無限多次去獲得 和和 2但可但可以利用樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體平均值（以利用樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體平均值（ ）和方差（）和方差（ 2）進(jìn)行估算）進(jìn)行估算一、點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)v從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體的

7、未知參數(shù)作出一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì)例如: 用樣本均值作為總體未知均值的估計(jì)值就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)2. 點(diǎn)估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息v點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等概念要點(diǎn)：概念要點(diǎn)：被估計(jì)的總體參數(shù)被估計(jì)的總體參數(shù)總體參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示符號(hào)表示用于估計(jì)的樣用于估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量本統(tǒng)計(jì)量一個(gè)總體一個(gè)總體均值方差兩個(gè)總體兩個(gè)總體均值之差方差比2122212x2s21xx 2221ss估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則v無偏性：無偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)有效性：有效性：一個(gè)方差較小的無偏估計(jì)量稱為一個(gè)更有效的估計(jì)量。如，與其他估計(jì)量樣本相比均

8、值是一個(gè)更有效的估計(jì)量。v充分性：充分性：作為估計(jì)參數(shù)用的統(tǒng)計(jì)量已經(jīng)提取了樣本中所有可利用的信息（隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù) ）。 問題：?jiǎn)栴}：.)(.x在在 的的 內(nèi)包含內(nèi)包含 的的有多大？有多大？x對(duì)有限次測(cè)量對(duì)有限次測(cè)量1 1、概率、概率2 2、區(qū)間界限，多大區(qū)間、區(qū)間界限，多大區(qū)間置信水平置信水平 Confidence level置信度置信度 Degree of confidence Probability level置信區(qū)間置信區(qū)間 Confidence interval 置信界限置信界限 Confidence limit 必然的聯(lián)系必然的聯(lián)系這個(gè)問題涉及兩

9、個(gè)方面：這個(gè)問題涉及兩個(gè)方面：二、區(qū)間估計(jì)二、區(qū)間估計(jì)總體平均值的置信區(qū)間總體平均值的置信區(qū)間概率概率區(qū)間大小區(qū)間大小00.80 x例：例： 包含在包含在 區(qū)間區(qū)間 15. 000.8005. 000.80幾率相對(duì)大幾率相對(duì)大幾率幾率 相對(duì)小相對(duì)小00.80幾率為幾率為100%無意義無意義平均值的置信區(qū)間的問題平均值的置信區(qū)間的問題二、區(qū)間估計(jì)二、區(qū)間估計(jì) 在實(shí)際測(cè)定分析中，為了評(píng)價(jià)測(cè)定結(jié)果的可靠性，人們總希望能夠估計(jì)出實(shí)際有限次測(cè)定的平均值與真實(shí)值的接近程度，即在測(cè)量值附近估計(jì)出真實(shí)值可能存在的范圍以及試樣含量落在此范圍內(nèi)的概率，從而說明分析結(jié)果的可靠程度。由此引出置信區(qū)間與置信概率的問題。

10、置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間與置信概率1. 根據(jù)一個(gè)樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計(jì)范圍v給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率2.例如: 總體均值落在5070之間，置信度為 95%概念要點(diǎn)：概念要點(diǎn)：置信區(qū)間置信區(qū)間v無限多次測(cè)定中才有總體平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，而實(shí)際測(cè)定為有限次測(cè)定，與未知，只能用有限次測(cè)定的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差S來估計(jì)。用S代替引起的誤差可用校正系數(shù)t來補(bǔ)償。置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間和置信概率v總體平均值將包括在區(qū)間內(nèi)，即包括在X平均值附近的某區(qū)間內(nèi)。因此稱在 的區(qū)間為置信區(qū)間。置信區(qū)間：在一定置信度下，以測(cè)定結(jié)果x 為中心的，包括總體平均值在內(nèi)的可

11、靠性范圍。把測(cè)定值在置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率稱為把測(cè)定值在置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率稱為置信概率置信概率（P），也稱為置信度），也稱為置信度。置信水平：置信水平： v總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率v表示為P= (1-)%l為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率v常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%l 相應(yīng)的為為0.01,0.05.0.10置信區(qū)間與置信水平：置信區(qū)間與置信水平：xxX置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間與置信概率t 分布表置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間和置信概率v結(jié)論：v（1）根據(jù)平均值x，查t可求出 可能存在的范圍即置信區(qū)間。v（2）測(cè)定次數(shù)越多、精密度

12、越高、S越小，置信區(qū)間就越小，算術(shù)平均值和總體平均值 越接近，算術(shù)平均值的可靠性就越大，因此用置信區(qū)間表示分析結(jié)果更合理。v（3）t越小，置信區(qū)間越小，校正系數(shù)t與自由度有關(guān)，f=n-1，測(cè)定次數(shù)越多，t越小，當(dāng)n，t分布曲線為正態(tài)分布曲線。置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間和置信概率v結(jié)論：v（4）t值隨測(cè)定次數(shù)的增加而減小，隨置信概率的提高而增大。當(dāng)測(cè)定次數(shù)較少時(shí)，可適當(dāng)增加測(cè)定次數(shù)，縮小置信區(qū)間，從而使測(cè)定值的平均值與總體平均值 更接近。v（5）比較兩個(gè)或多個(gè)測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確程度，應(yīng)在同一置信概率下進(jìn)行。v（三）（三）總體平均數(shù)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)v1、大樣本大樣本條件下的區(qū)間估計(jì)條件下

13、的區(qū)間估計(jì)v（1）、總體標(biāo)準(zhǔn)差）、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知已知條件下，對(duì)總條件下，對(duì)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)v案例案例2：某茶葉進(jìn)出口公司，準(zhǔn)備處理一：某茶葉進(jìn)出口公司，準(zhǔn)備處理一批庫(kù)存批庫(kù)存2年的茶葉，出庫(kù)之前要進(jìn)行一次檢年的茶葉，出庫(kù)之前要進(jìn)行一次檢驗(yàn)。檢驗(yàn)數(shù)據(jù)如下；樣本容量為驗(yàn)。檢驗(yàn)數(shù)據(jù)如下；樣本容量為64包，樣包，樣本平均數(shù)為每包本平均數(shù)為每包2公斤，入庫(kù)記錄表明總體公斤，入庫(kù)記錄表明總體標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.2公斤。經(jīng)理要求在公斤。經(jīng)理要求在95%的可信的可信度下，估計(jì)一下這批茶葉的平均重量在多度下，估計(jì)一下這批茶葉的平均重量在多大范圍內(nèi)？大范圍內(nèi)？解：解： 答：這批茶葉平均重量在

14、答：這批茶葉平均重量在1.9512.049公斤，公斤，其可信程度為其可信程度為95%。（公斤）（公斤）049.2025.096.12951.1025.096.12 ,025.0642.096.1 ,475.02/95.0,95.01 ,2.0,30,6421cctxntnnxxv（2）、總體標(biāo)準(zhǔn)差）、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知未知條件下的區(qū)間估計(jì)條件下的區(qū)間估計(jì)v總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差未知條件下，一般用樣本標(biāo)準(zhǔn)未知條件下，一般用樣本標(biāo)準(zhǔn)差差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差。v案例：某項(xiàng)抽樣調(diào)查中獲得如下資料：案例：某項(xiàng)抽樣調(diào)查中獲得如下資料： N可以視可以視為無限總體，為無限總體，n=81，樣本平均數(shù)為，樣本

15、平均數(shù)為500，樣本標(biāo)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為90，求：總體平均數(shù)可信度為，求：總體平均數(shù)可信度為90%的置信的置信區(qū)間。區(qū)間。v解：解：v答：此項(xiàng)調(diào)查中，總體平均數(shù)的可信度為答：此項(xiàng)調(diào)查中，總體平均數(shù)的可信度為90%的的置信區(qū)間是在置信區(qū)間是在483.55516.45之間。之間。45.51610645.150055.48310645.1500,108190645.1,500,90,308121cctxnstxsnxxv2、小樣本小樣本條件下的區(qū)間估計(jì)條件下的區(qū)間估計(jì)v（1）、總體標(biāo)準(zhǔn)差）、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知已知條件下，對(duì)總體條件下，對(duì)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)v使用使用t分布的條件分布的條

16、件：當(dāng)樣本容量：當(dāng)樣本容量n30，且總體標(biāo)準(zhǔn)差，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未未知知時(shí)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差。樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本標(biāo)準(zhǔn)差S v計(jì)算公式：計(jì)算公式： 1)x-(xs s 2xnnssxtxxv例例1：從大學(xué)一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽?。簭拇髮W(xué)一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取12名學(xué)名學(xué)生，其閱讀能力得分為生，其閱讀能力得分為28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試評(píng)。試評(píng)估一下大學(xué)一年級(jí)學(xué)生閱讀能力的總體平估一下大學(xué)一年級(jí)學(xué)生閱讀能力的總體平均分?jǐn)?shù)。要求置信度分別是均分?jǐn)?shù)。要求置信度分別是95%和和99%。v解：步驟：解：步驟：v（1）計(jì)算樣本平均

17、數(shù)：）計(jì)算樣本平均數(shù)： v（2）計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差：）計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差： v（3）計(jì)算平均誤差：）計(jì)算平均誤差： v（4）確認(rèn)自由度：）確認(rèn)自由度：df=12-1=11，誤差概率：，誤差概率：v=1-0.95=0.05，查表，查表，t=2.201917.29/nxx1 . 41)(2nxxs184. 1121 . 4nssxv（5）估計(jì)總體平均數(shù)置信區(qū)間：）估計(jì)總體平均數(shù)置信區(qū)間： v解釋：有解釋：有95%的把握程度說大學(xué)一年級(jí)學(xué)的把握程度說大學(xué)一年級(jí)學(xué)生閱讀能力平均分?jǐn)?shù)在生閱讀能力平均分?jǐn)?shù)在27.31132.523分之分之間。間。v當(dāng)當(dāng)=1-0.99=0.01，查表，查表，t=3.106v29.917-3.1061.184=26.24；29.917+3.1061.184=33.59。523.32311.27 2.606 184. 1201. 2917.29；上限下限xtsx置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間和置信概率v例：某銨鹽含氮量的測(cè)定結(jié)果x=21.30%，S=0.06%，n=4。求置信概率為95%和99%時(shí)平均值的置信區(qū)間?若n=10（假定其它數(shù)據(jù)不變），置信概率為99%時(shí)平均值的置信區(qū)間為多少？ v 置信區(qū)間和置信概率置信區(qū)間和置信概率v注意：例題結(jié)果說明v（1）置信概