必修四平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理

1、 必修四必修四 平面向量平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)梳理知知識(shí)識(shí)網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)平面向量加法、減法加法、減法 數(shù)乘向量數(shù)乘向量坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示兩向量數(shù)量積兩向量數(shù)量積零向量、單位向量、零向量、單位向量、共線向量、相等向量共線向量、相等向量向量平行的充要條件向量平行的充要條件平面向量基本定理平面向量基本定理兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式向量垂直的充要條件向量垂直的充要條件兩點(diǎn)的距離公式兩點(diǎn)的距離公式向量的概念向量的概念解決解決圖形圖形的平的平行和行和比例比例問題問題解決解決圖形圖形的垂的垂直和直和角度角度,長(zhǎng)度長(zhǎng)度問題問題向量的初步應(yīng)用向量定義：向量定義：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫

2、向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量： 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為0的向量，記作的向量，記作0.（2）單位向量：）單位向量：長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念一、平面向量概念幾何表示幾何表示 : 有向線段有向線段向量的表示向量的表示字母表示字母表示 : aab 、等坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示 : (x，y)若若 a(x

3、1,y1), b(x2,y2)則則 ab = (x2 x1 , y2 y1)一、平面向量概念一、平面向量概念a向量的模（長(zhǎng)度）向量的模（長(zhǎng)度）1. 設(shè)設(shè) = ( x , y ),則則2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、b (x2,y2) ，則，則 aba22yx 221221yyxx一、平面向量概念一、平面向量概念1.向量的加法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算abc ab+bc=三角形法則三角形法則oabc oa+ob=平行四邊形法則平行四邊形法則坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算:則則a + b =重要結(jié)論：重要結(jié)論：ab+bc+ca= 0設(shè)設(shè) a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2

4、 , y1 + y2 )ac oc一、平面向量概念一、平面向量概念2.向量的減法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算1）減法法則：）減法法則：oab2）坐標(biāo)運(yùn)算）坐標(biāo)運(yùn)算:若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )則則a b= 3 3.加加法減法運(yùn)算律法減法運(yùn)算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：）交換律：2）結(jié)合律：）結(jié)合律：ba(x1 x2 , y1 y2)oaob =一、平面向量概念一、平面向量概念練習(xí)_;_;_;_;_.abbdbabcbccaodoaoaob 填空：ad ba adba ca ,120| | 3|oaba adbdabababab 練習(xí)、如圖已知向

5、量，且，求和120oabadbco|ba|db|ba|ac|badbbaac3|ab|ad|abcdadab，故，由向量的加減法知，故此四邊形為菱形由于，為鄰邊作平行四邊形、解：以120oabadbco33 3| |sin60322oaododad 由于菱形對(duì)角線互相垂直平分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|ac|adc60dac120daboo是正三角形，則所以，所以因?yàn)閞eturn4.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 與向量與向量 的積的積定義定義：坐標(biāo)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算：其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！若若 = (x , y), 則則(x , y)= ( x , y)一、平

6、面向量概念一、平面向量概念則則|aaa. ba存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù) ，使得，使得結(jié)論結(jié)論: 設(shè)表示與非零向量同向的單位向量設(shè)表示與非零向量同向的單位向量.aaba與定理定理1:兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量平行平行(方向相同或相反方向相同或相反)一、平面向量概念一、平面向量概念向量垂直充要條件的兩種形式向量垂直充要條件的兩種形式:0)2(0)1 (2121yyxxbabababa二、平面向量之間關(guān)系向量平行向量平行(共線共線)充要條件的兩種形式充要條件的兩種形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba（3）兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向

7、量的）兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的坐標(biāo)相等坐標(biāo)相等. 即即: 那么那么 ),(11yxa ),(22yxb 2121yyxxba且三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量量 ，有且只有有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)一對(duì)實(shí)數(shù) 使使21, ee,21a2211eea1、平面向量數(shù)量積的定義：、平面向量數(shù)量積的定義：bacos|ba 2、數(shù)量積的幾何意義：、數(shù)量積的幾何意義：|cos.aabab等于 的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積oabb1(四四) 數(shù)量積數(shù)量積abba）（1）（）（）（

8、bababa2cbcacba ）（34、運(yùn)算律、運(yùn)算律:2121yyxxba3、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算5、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標(biāo)表示：、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標(biāo)表示： 0012121yyxxbaba 反向時(shí)，當(dāng)同向時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)babababababa/.221212,) 3(yxaaaaaa 222221212121cos4yxyxyyxxbaba),(是兩個(gè)非零向量ba baba5babababa有：、證明對(duì)任意例 . 1結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立。有有一一個(gè)個(gè)為為，若若證證明明, 0)1(:ba,bab, aoa, 0ba)2( 作作都都不不為為，若若baob 則則他他兩兩邊邊

9、之之差差，其其他他兩兩邊邊之之和和，大大于于其其邊邊小小于于不不共共線線時(shí)時(shí)，由由三三角角形形一一，當(dāng)當(dāng) baaboaobaboa bababa aboaobba 同同向向，則則，若若aboaobba 反反向向，則則，若若abobabababababa 或或共線時(shí)，共線時(shí)，、綜上所述：原命題成立綜上所述：原命題成立. |31|31|.,mnonombacdcnbcbmcodabbobaoaoadb，表示、，用，且交于與，中，已知平行四邊形cndbmoa解解: baoboababababcbm61616131babbmobom6161ba6561. |31|31|.,mnonombacdcnbc

10、bmcodabbobaoaoadb，表示表示、，用，用，且且交于交于與與，中，中，已知平行四邊形已知平行四邊形 cndbmoacdodcnocon3121)(baododod32326121ba3232baomonmn6121例例3、 已知已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b4.,oa ob 例例 如如圖圖不不共共線線(),aptab tr ,.oa obop 用用表表示示:,aptab 解解 opo

11、aap oatab ()(1).oat oboat oatob o a b p (1).opt oatob ()opoat oboa aptab 另解另解:可以試著將可以試著將,oa obop 用用， 表表示示出出來來. .aptab 說明：說明：(1) 本題是個(gè)重要題型：設(shè)本題是個(gè)重要題型：設(shè)o為為平面上任一點(diǎn)，則：平面上任一點(diǎn)，則：a、p、b三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 (1).opt oatob 或令或令 = 1 t， = t，則，則 a、p、b三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 (其中其中 + = 1).opoaob (2) 當(dāng)當(dāng)t = 時(shí)，時(shí)， 常稱常稱為為oab的中線公式的中線公式(向量式向量式)121()2o

12、poaob 例例5.設(shè)設(shè)ab=2(a+5b)，bc= 2a + 8b，cd=3(a b)，求證：求證：a、b、d 三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。 分析分析要證要證a、b、d三點(diǎn)共線，可證三點(diǎn)共線，可證 ab=bd關(guān)鍵是找到解：解：bd=bc+cd= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bab=2 bd a、b、d 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ab bd且且ab與與bd有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)b例例6.設(shè)非零向量設(shè)非零向量 不共線，不共線， 若若 試求試求 k. ba, bakc),(rkbkad,/dc解：解： ,/dc由向量共線的充要條件得：由向量共線的充要條件得： ,dc即即 ),(bkabak又又 不共線不共線 b

13、a,由平面向量的基本定理由平面向量的基本定理 11kkk.1,2 ,1 ,22.abxababx例7 已知向量分別求出當(dāng)與平行和垂直時(shí)實(shí)數(shù) 的值222,3)1(2 )/ /(2);27(2 )(2)22ababxababababx解：=（1+2x，4）,（時(shí)，3(1+2x)-4(2-x)=0,x=時(shí)，（1+2x)(2-x)+4 3=0.x=- 或解：設(shè)頂點(diǎn)解：設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x，y），（），（211321( ab)4 ,3(yxdc ，得得由由dcab )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為（頂頂點(diǎn)點(diǎn)22d 例例8 已知已知 abcd的三個(gè)頂點(diǎn)的

14、三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c的坐的坐標(biāo)分別為（標(biāo)分別為（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求頂點(diǎn)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)的坐標(biāo)例例9. 已知已知a(2，1)，b(1，3)，求線段，求線段ab中中點(diǎn)點(diǎn)m和三等分點(diǎn)坐標(biāo)和三等分點(diǎn)坐標(biāo)p，q的坐標(biāo)的坐標(biāo) .解：解：(1) 求中點(diǎn)求中點(diǎn)m的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式可知的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式可知 m( ，2)21(2) 因?yàn)橐驗(yàn)?=(1，3)(2，1) =(3，2)aboboa 131 ( 2,1)(3,2)35 ( 1, )3opoaab 232 ( 2,1)(3,2)37 (0, )3oqoaab 例例10.設(shè)設(shè)a(2, 3)，b(5, 4)，c(7, 10) 滿

15、足滿足(1) 為何值時(shí)為何值時(shí),點(diǎn)點(diǎn)p在直線在直線y=x上上?(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)p在第三象限在第三象限, 求求的范圍的范圍.apabac 解解: (1) 設(shè)設(shè)p(x, y)，則，則 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 21解得解得 =(2) 由已知由已知5+50,7+40 ,所以所以1. 例例1111（1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），向量），向量 是是垂直于垂直于 的單位向量，求的單位向量，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐標(biāo)，求，且）已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夾角為與，且）已知（kbak

16、ba. 532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（解解：設(shè)點(diǎn) b 的坐標(biāo)為（x,y） ， 則)2, 5(),(yxabyxob abob x（x-5）+y（y-2）=0 即 x2+y2 5x 2y=0 又 abob x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10 x+4y=29 由、解得：272323272211yxyx或 點(diǎn)b的坐標(biāo)為)23,27(或)27,23( )27,23(ab或)23,27(ab 例例13、已知已知abc中，中，a(2,4),b(-1,-2),c(4,3),bc邊上的高為邊上的高為ad。（1）求證：）求證：abac；（2

17、）求點(diǎn)）求點(diǎn)d和向量和向量ad的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（3）求證：）求證：ad2=bddc解：（解：（1）a(2,4) b(-1,-2) c(4,3) ab=(-3,-6) ac=(2,-1) abac=(-3)2+(-6)(-1)=0 abac（2）d(x,y) ad=(x-2,y-4) bc=(5,5) bd=(x+1,y+2) adbc adbc=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又b、d、c共線共線 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= d( , ) x-y-1=0 y= ad=( ,- )272527252323（3）ad=( ,- ) bd=( , ) dc=( , )

18、 |ad| = + = bddc= + = ad =bddc21294923232921492949492922例例13、已知已知abc中，中，a(2,4),b(-1,-2),c(4,3),bc邊上的高為邊上的高為ad。（1）求證：）求證：abac；（2）求點(diǎn)）求點(diǎn)d和向量和向量ad的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（3）求證：）求證：ad2=bddc例例14.14.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),則則a a在在b b上的投影為（上的投影為（ ） a. a. b. b. c. c. d.d. 解析解析 設(shè)設(shè)a a和和b b的夾角為的夾角為，| |a a|cos|c

19、os= c1351356565|b|ba.56565137)4(73)4(22221121 )54,53(222）即（babbaabababa 120 180,0 21cosbaba3 32222babbaaba解：解：212121,60 ?2,32?.oe eaeebeeab 例16、設(shè)為兩個(gè)單位向量?且夾角為若求 與 的夾角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =120. 0,(cos ,

20、sin ),aabcabc例17 若向量則 與 一定滿足( )以上都不對(duì)以上都不對(duì) d. )()( c.0 b. a.cbcbcbab ).()(0)(1sincos, 12222cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案 cabacabacabacbcabcabacabac 例18(06陜西)已知非零向量與滿足1(+)=0且=則為( )2a,三邊均不相等的三角形, b直角三角形,c,等腰非等邊三角形, d等邊三角形,60 ,abacaabacaabacabacaabaca 解析:+在的平分線上,由題意得的平分線垂直于邊bc,1故又=1 1cos=2故選d.abc,(),abcpa pbpb p

21、cpc paabcabcd 例19(05湖南)已知p是所在平面上一點(diǎn),若則p是的 外心, 內(nèi)心, 重心, 垂心.()0,:,pa pb pb pcpb pa pcpb capb capa bcpc abp 解 析 :由得同 理 可 得故為 垂 心 ,選 d.abcp減區(qū)間；的單調(diào)遞試求若記設(shè)例)(, 0. 1)( ),r( )2sin3,(cos ),1 ,cos2(20. xfxbaxfxxxbxa.32,6)( 32623622613626,0)62sin(2)2cos212sin23(22cos2sin31)(,2sin3cos2(1) 2的單調(diào)遞減區(qū)間為故即由xfxxxxxxxxxba

22、xfxxba 解析解析 【例例2323】已知向量已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. .23232x2x43，,2cos2sin23sin2cos23cos) 1 (xxxxxba解解 xxxxxxxxxxxxcos,4,3|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba0 0|a a+ +b b|=2cos |=2cos x x. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos -2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos -2cos x x-1-1=2(cos =2(cos x x- )- )2 2- .- .x x ， cos cos x x11，當(dāng)當(dāng)cos cos x x= = 時(shí)，時(shí)，f