高階常系數(shù)線性O(shè)DE

1、reviewode可降階的1):x方程不顯含未知函數(shù)( )(1)( )( ,)0kknf t xxx( ).kyx令2): t方程不顯含自變量( )( ,)0nf x xx,yxyx令視 為新未知函數(shù),視 為新自變量.3):mm次齊次方程( 為正整數(shù))( )( , ,)0nf t x xx1( )uu txx令4)已知齊次線性方程( ).xt的非零解1( )(1)( )( )0nnnxa t xat x( ) ( ).xt y t令5.高階常系數(shù)線性常微分方程 對一般的線性常微分方程,要想得到它們的通解表達式是非常困難的.但對常系數(shù)線性方程,已有成熟的解法. 我們知道,求解非齊次方程的關(guān)鍵是求

2、解對應(yīng)的齊次方程.這樣一來,再求出非齊次方程的一個特解或直接用常數(shù)變易法就可以求出非齊次方程的通解.因此我們先看常系數(shù)齊次線性常微分方程的解法.1.ode常系數(shù)齊次線性的特征法, ,.(cossin).)(cos)(sin) (cossin)( sincos) ()(cossin).: (tttttttttititti etttittititeeeeeeee 例則 .( )( )( ),( ), ( )( )( ) ( )( )( ).qqzu tiv tciu t v tciz tz tu tiv t 通常我們只要求微分方程的實解,但某些情況下,求出方程的復(fù)解對求解方程很有幫助設(shè)復(fù)值函數(shù)即實

3、值函數(shù).定義的導(dǎo)數(shù)為):( )( )z tu tiv t復(fù)函例數(shù)是齊次方程( )(1)110 (1)nnnnxa xaxa x( )( )(1).u tv t的復(fù)解和是的實解: ). (ttee 復(fù)指數(shù)函數(shù)具有很好的性質(zhì)?te是否具有形如的解111()0.nntnnaaae( )0,rettee而于是1110. (2)nnnnaaa,(2),(1).te反之 若 滿足方程則為的解,.的特征方程的解稱征方程為特特征根,(1),(2).綜上 欲求方程的解 應(yīng)先求解其特征方程(1)方程( )(1),tx te設(shè)為的解 則(2)(1)稱為方程1a)(2)(1).b)(2)cos,sin(1)c)(2)

4、(1)(1)d)(2)(12)cos, cos, thm. tttttktttittkknttkikkntteeeeeeete設(shè) 是的單重實根,則是的實解設(shè)是的一對單重復(fù)根,則是方程的兩個線性無關(guān)的實解.設(shè) 是的重實根,則, ,是方程的 個線性無關(guān)的實解.設(shè)是的一對重復(fù)根,則 11 cos,sin, sin, sin(1)2 ktttkttttttttkeeee 是方程的個線性無關(guān)的實解.,定理證明參見常微分方程王高雄等,高等教育出版社.我們僅以二階方程為例驗證定理:121221212a) 0 (3) ., 0 (4) ttaaeexa xa x設(shè)為特征方程的兩個實根則為方程的兩個線性無關(guān)的實

5、解.21212212121b)(3), =0, 20. ( ), (1), (2 ), ()(2)0. (4).,(4)tttttttaaatteteteaaaa taeteete設(shè) 為特征方程的重根 則令則即為方程的解容易驗證與線性無關(guān) 因 而它們是方程的兩個線性無關(guān)的實解.21212 0 (3) 0 ( 4)aaxa xa xc)(3)(cossin) (4)cos, sin (4) ttttitittteeee 設(shè) =為特征方程的一對共軛復(fù)根,則 為方程的復(fù)解,從而其實部和虛部為的兩個線性無關(guān)的實解.21212 0 (3) 0 ( 4)aaxa xa x2221,2121212,0.0.

6、,( )cos,( )sin,( )cossin, ,:.xxix ttx ttx tctctc c 求的通解方程對應(yīng)的特征方程有兩個互異的特征根于是 方程有兩個線性無關(guān)的解 通解為: 例解(5)(4)54323225123434430.344310.(1) (1)0.1(3). ( )coss:in .tttxxxxxxix tc ec tec t ectct 方程對應(yīng)的特征方程為 即于是特征根為重 和方程的通解為例解( )(1)11( )(1)11 0. (1) ( ) 2.ode. (2).,.(2)( ),nnnnnnnnxa xaxa xxa xaxa xf tnf t 我們已經(jīng)可以

7、求解常系數(shù)齊次方程 理論上,利用常數(shù)變易法可以求出非齊次方程的通解 但當(dāng) 較大時 這種方法計算量很大常系數(shù)非齊次線性的待定當(dāng)方程右端的函數(shù)為某些系數(shù)簡單類型時 可法以用待定系(2)數(shù)法求出的一個特解.( )( ), ( ).i.tf tp tp tme其中為 次實類多項式型( )(1)11( )(1)11 0. (1) ( ) (2)nnnnnnnnxa xaxa xxa xaxa xf t ( )( ), ( ).(thm.2)tf tp tp tme設(shè)為 次實多項式則有形如( )( )ktx tq t te.,1,0), ( )kkkq tm的解其中 為 作為特征根的重數(shù)( 為單根時不是特

8、征根時為 階實系數(shù)多項式(系數(shù)待定).1(1)( 1),(1)ktkcte 若 為的重特征根 則有形如的1.(2)( ).ktc t te解而有解形如(常數(shù)變易法)2123121223312303,1.( ), ( ,).( )31,0( ).23331.,1,1/3. :.ttxxxtx tccc cf ttx tatbaatbtabee 求方程有兩個根對應(yīng)的齊次方程的通解為 不是特征根,故取非齊次方程的特解為代入方程例:,得 比較系數(shù) 得于是方程的通解為的通解特征解方程3121 ( ).3ttx tcctee 212122324210( )(), ( ,).( )().(62 )4.,2

9、3,0.( )23, ( )2.:1ttttttxxxtx tcc tc cx ttatbatbtabx ttx tteeeeee 求方程的重根,對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程有特解 代入方程,整理得 比較系數(shù) 得 于是方程有例:一個特解 通解為的通解為特解征方程312123(), ( ,).ttcc tc cee ( )( ), ( )(2) ( )( )rem,( )( ),(2)ark:tktf tp tp tmx tq t tkq tmf tee當(dāng)為 次實多項式時,非齊次方程仍有形如的解.其中 為 作為特征根的重數(shù) 而為 階系數(shù)多項式(系數(shù)待定).這樣一來,對于下面第二種類型的我們也

10、可以求出的復(fù)一個特解.ii. 類型( )(1)1( )cos,nntnxa xa xa tte( )(1)1 ( )sinnntnxa xa xa tte, ( ).a tm 其中為 次實多項式:i先求方程方(類型法)( )(1)1( )( )(cossin)nnttnxa xa xa ta ttitee的一個特解( )( )( )( )ktx tq t tu tiv te( )(cossin) ,ktq t ttite( )q tmki復(fù)其中為不高于 階的多項式,而 為.作為特征根的重數(shù) ( ), ( )u t v t于是都形如 ( )cos( )sin,kttp ttq tte( ),(

11、).p t q tm其中均為次數(shù)不高于 的實系數(shù)多項式故( )(1)1( )cos,nntnxa xa xa tte( )(1)1 ( )sin,nntnxa xa xa tte( )( )u tv t分別有特解和.24cos.101,44(cossin ). ( ),( )( )(),( )2()42,0:( ):.ttititititxxtxxtitix taibaibabeeeeee 求方程的通解首先,特征方程為有根.因此為對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的解. 其次,再求出方程的一個特解.為此,考慮方程 不是特征根 因而有特解代入得解:,即例有12( )2,( )2cos .( )2cos.

12、itttx tx ttx ttcceee 特解故原方程有特解原方程的通解為 ( ) ( ) ( )cos( )sin, ( )( ) ( )cos( ) , ( )( ),( ),(2),si(n ,)tktf tf ta ttb tta tx ttp ttq ttb tta tb tmkp tee 當(dāng)是以上類型的線性組合時,可以利用解的疊加原理求出方程(2)的一個特解.例如,若其中是 的實系數(shù)多項式,的最高次數(shù)為則方程有解形如其中 為 作為特征根的其它類型 而 重數(shù)和 ( )q tm為次數(shù)不高于 階的實系數(shù)多項式(系數(shù)待定). 下面再給出一個例子:222222122222 1.1,( )3,

13、 ( )( 34 9).1( )3( 34 9.:)tttttxxttxxtxxtx ttx ttxxttx ttteeeee 求的一個特解用待定系數(shù)法可以求得以下兩方程 的特解 則方程有特解: 例解3.振動問題11.,( ),( ). ( )( )( ).xxtkxx tf tmx tkxx tf t 取物體靜止?fàn)顟B(tài)時的質(zhì)心位置為原點,豎直向下的方向為 軸的正向使物體偏離平衡位置 它將在平衡位置附近上下振動.求位置 隨時間 如何變化. 受力分析:彈簧的拉力空氣阻力豎直外力故 xxmo2 ( )2( )( ),x tnx txf t考慮,.2nk mm其中2( )2( )( ). (*)x t

14、nx txf ti. ( ( )0)f t 自由振動(1) (0)n無阻尼自由振動: =02( )0.x tx12( )cossinsin()x tctctat(2) (0)n有阻尼自由振動: 02( )2( )0.x tnx tx1,222.nn case1. n小阻尼自由振動: 1,21122,.nin 11211( )cossinsin()ntntx tectctaet-隨時間衰減的振動ntecase2. n臨界阻尼: 1,212, ( )().ntnx tc tc e case3. n大阻尼: 1,21212220, ( ).ttnnx tc ec e ii. ( ( )0) ( )s

15、inf tf thpt受迫振動(1) (0)n無阻尼受迫振動: =02( )sin.x txhptcase1. p22( )sin()sin.hx tatptp:p(固有頻率,外加頻率)-兩個正弦波的疊加case2. p( )sin()sin.2htx tatt-共振現(xiàn)象(*).隨著振幅的增加,到了一定的程度,方程就不能描述物體的運動狀態(tài)了(2) (0)n有阻尼受迫振動: 02( )2( )sin.x tnx txhpt1,222,nn .ip不是特征根0 ( )cossinsin()x tmptnptbpt特解2222 22222 2222(), ()4()4nphphmnpn ppn p2

16、222 222()4hbmnpn pcase1. n小阻尼1( )sin()sin()ntx taetbpt222pn當(dāng)外力頻率時,產(chǎn)生的強迫振幅最大,max22.2hbnncase2. n臨界阻尼12( )()sin()ntx tctc ebptcase3. n大阻尼1212( )sin()ttx tc ec ebpt1,2220,nn -共振現(xiàn)象共振頻率4.euler方程ode 某些特殊的變系數(shù)線性,可以通過變量替euler換轉(zhuǎn)化為常系數(shù)方程,例如下面的方程11111( ),nnnnnnnnd xdxdxta tata xf tdtdtdt12,.0,sna aatte其中是常數(shù) 當(dāng)時 令則1,dxdx dsdxdtds dtt ds222111d xddxdxddxdtt dsdst dtdsdtt 222222111,dxd x dsd xdxdstdtdstdstds 2222222,(1) ,dddddsdsdxd xtdxtd xdxd dxdtdt令可以歸納證明: ,ln ,.0,.,.sseulerssteulertteeulerte 代入方程 便得到一個以 為自變量的常系數(shù)線性常微分方程.求出這個方程的解后,把 換成就得到方程的解 當(dāng)時 令類似地可以求出方程的解一般情況下 可做變量替換(1)(2)() .1