經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D421第一類換元積分

1、11.不定積分定義不定積分定義復(fù)習(xí)復(fù)習(xí))()(xfxf 或或若在若在i內(nèi)，內(nèi)，( )d( )f xxf xc 2.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)0, 021 kk1212( )( ) d( ) d( ) d k f xk g xxkf xx kg xx 3.微分與積分的關(guān)系微分與積分的關(guān)系 d( )d( )df xxf xx ( )d)cf xf x d ( )( )d( )d( )f xf xxf xxf xc 4.直接積分法：直接積分法： 恒等變形恒等變形,線性性線性性把所給積分把所給積分變成變成公式中有的形式，公式中有的形式， 求出積分的方法求出積分的方法.25.基本積分公式基本積分公式;

2、arctancx ;arcsincx kx+ccx 11 );1( 12345dk x dxx xxd112 xxd112 xxdln;xc du?u 3;coscx ;sincx ;tancx ;cotcx ;seccx ;csccx ;cex ;lncaax 6 xxdsin7 xxdcos82secdx x 92cscdx x xxxdtansec xxxdcotcsc xexd xaxd10121113sin d?t t sin2 d?x x costc cos2?x c 4二、第二類換元法二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法一、第一類換元法換元積分法 第四四章 5第一類換元法第一類

3、換元法 ( )( )dfxxx 基本思路基本思路 ：( )( ),( )fuf uux 設(shè)設(shè)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有 ( )( )dfxxx ( )fxc ( )( )duxf uu ( )( )uxf uc ( )fx ( )( )fxx ( )( )duxf uu ( )d( )f uuf uc ( )d ( )fxx 即即( )( )duxf uu 6一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.( ),( ),f uux 設(shè)設(shè)有有原原函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo) 則則有有換換元元公公式式 ( )( )dfxxx ( )df uu ( )ux ( ( )d ( )fxx (也稱也稱湊微分法湊微分法)即即

4、 ( )( )dfxxx 說明：說明：1. ( )fx ( )dxx ( ( )fx d ( )x 說明被積表達(dá)式說明被積表達(dá)式可看成可看成 的微分的微分,x2.公式說明了公式說明了積分形式的不變性，積分形式的不變性，即即( )d( )f uuf uc 若若 ( )d ( )fxx ( ( )fxc ( )df uu ( )ux 這是積分符號的優(yōu)點這是積分符號的優(yōu)點.sin xc cos dx x 如如：sinxc cosd()xx 則則7 ( )fxc 令令( )xu ( )f uc 回代回代( )ux 關(guān)鍵：關(guān)鍵： 將將化為：化為：( )dg x x ( )df uu )(xgdx ( )

5、 fx d)(x ( )d ( )fxx 若若能能若好求若好求例例1.求求 x2cos2dx.解解: x2cos2dx x2cosd(2x)ux 2令令.2sincx c usin xu 2 回代回代 ucosducos dsinu uuc 3.如何用公式？如何用公式？8注意換回原變量注意換回原變量c 解解:令令uax uln axu 回代回代.lncax 例例2. 求求1dxxa ax1dx ax1d(x-a) u1du例例3. 求求1d32xx dln;uucu 令令3 2x u 1ln2u c 回代回代3 2ux 1ln3 2.2x c 解解:121 12 u du 3 2x 1d3 2

6、xx d(3 2 )x 9說明：說明： )(baxf.)d1(f axbx d)(bax a12.對變量代換較熟練后，對變量代換較熟練后，就可以不寫出中間變就可以不寫出中間變量量 ，可直接湊微分，可直接湊微分 ，所以第一類換元，所以第一類換元法又叫法又叫“湊微分法湊微分法”.ud ( )x 2xe .c 解解:例例4.22dxxex 求求22dxxex 2xed)(2x解解: 原式原式=例例5.211cosdxxx 求求.1sincx x1cosd1( )x duueuec cos dsinu uuc 211d()dxxx 101.一般地：一般地：11 d()mmxf x 1d ()mmf x

7、xx 11 m說明：說明：2. 這一部分的題型變化多端這一部分的題型變化多端,最好能把用過的方法記下最好能把用過的方法記下來來,起碼有起碼有“似曾相識似曾相識”的感覺的感覺.這一部分需要靈活的、這一部分需要靈活的、有經(jīng)驗的頭腦有經(jīng)驗的頭腦.經(jīng)驗來自于不斷地積累經(jīng)驗來自于不斷地積累;經(jīng)驗來自于實踐經(jīng)驗來自于實踐.故需要多做題多積累故需要多做題多積累.3.記住幾個重要微分公式：記住幾個重要微分公式：1dd()xaxba21dd()2x xx 211dd()xxx1dd(2)xxx 1dd(ln )xxx 4.記住微分法則記住微分法則:d ( )( )df xfxx d()dduvuvd()d ,c

8、uc u 11解解: 原式原式=.323cex 例例6.xex31 求求dx.3 d(2)xex )3(3123 xex d例例7.求求 21xxdx.解解: 原式原式=.)1 (31232cx 21 d x21-( ) 212)1 (x1d (1)1uuxc 1dd(2)xxx 21dd()2x xx 12例例8. 求求d.(12ln )xxx 12ln x dln x解解: 原式原式 =1212ln x d(12ln )x 1ln 12ln2xc例例9. 求求tan d .x x 解解:sindcosxxx dcoscosxx ln cosxc cot d?x x cosdsinx xx

9、ln sin xc dsinsinxx tan dx x 類似類似tan dln cos,x xxc cxxx sinlndcotdln;uucu 13原式原式=caxa arctan1即即解：解：例例10.221d .(0)x aax 求求221d1 ( )xaxa 2 d( )11 ( )xaxaa 2211darctanxxcaxaa 例如例如. 求求2d23xxx 22d(1)( 2)(1)xx 2d2(1)xx .21arctan22cx 2darctan1uucu 14原式原式=arcsinxca 即即解：解：例例11.221dxax 求求(0)a 21d1 ( )xaxa 2 d

10、( )1( )xaxa 221darcsin.xxcaax 2darcsin1uucu 21d?4xxx 如如：21d4 (2)xx 2arcsin.2xc 152211dln2xaxcxaaxa 解：解：.ln21caxaxa caxaxa lnln21例例12. 求求22d (0).xaxa 原原式式1d()()xxaxa 1121axaxadx111d d 2xxaxaxa 即即例如例如. 2d=23xxx ？22d(1)2xx .31ln41cxx 1 d()d()2axaxaxaxa 16解：解：24sinsin)d(sin )xxx ( (例例13. 求求23sincosd .xx

11、 x 原原式式3511sinsin35xxc 22sincosd(sin )xxx 解：解：1 1dcos2 d 2xx x 例例14. 求求.dcos2xx 11cos2 d(2 )22xxx 11(sin2 )22xxc xx d)2cos1(21 原原式式經(jīng)驗：經(jīng)驗：對于對于sincosdmnxx x 拆開奇次冪湊微分，拆開奇次冪湊微分，若若m,n均為偶數(shù)均為偶數(shù),則用降冪公式則用降冪公式,降為一次降為一次.22(1 sinsind(si)n )xxx 21 cos22cosxx 21cos22sinxx 17解解:),cos()cos(21coscosbababa ),5cos(cos

12、212cos3cosxxxx .5sin101sin21cxx 例例15. 求求.d2cos3cosxxx cos3 cos2 d xx x 1(coscos5 )d2xxx 變形方法：變形方法：積化和差積化和差11cosdcos5 d22x xx x18解法解法1:cx 2tanln.cotcsclncxx 例例16. 求求cscdx x csc dx x 1dsinxx 1d2sincos22xxx )2()2(cos2tan12 xxx d1 d(tan)2tan2xx cscdln csccot.x xxxc 所以所以2secdd(tan )u uu 19sin2o2tans2cxxx

13、1cossinxx xxcotcsc sin1cosxx 2cos22cos2sin22xxx2cos2sin2xx sin (1cos )(1cos )(1cos )xxxx 2sin1c1costan21osc1cosossinxxxxxxx 20解法解法2:xucos cuu 11ln21 cxxcos1cos1ln21類似地類似地1dsinxx 2sindsinxxx 2d(cos ) 1 cosxx 21 d1uu secdln sectan.x xxxc ln csccot.xxc cscdx x sec dcsc()d2x xxx d()2x lncsc() cot()22xxc

14、 ln sectan.xxc 2211dln2xaxcxaaxa cscdln csccot.x xxxc 21例例17. 求求sec d .x x 解解: sec dx x secdxx sectanxx (sectan )xx 2secsectandsectanxxxxxx sectanxx d(sectan )xx ln sectanxxc csc dln csccotx xxxc secdln sectanx xxxc 公式：公式：6secd?x x 222(sec) sdecxxx 22(1 tan) (tadn )xx 24(1 2tantadn) (tan )xxx 3521ta

15、ntantan35xxxc 2secdd(tan )x xx sectan dd(sec )xx xx 22解法解法1：4611tantan46xxc 解法解法2：6411secsec.64xxc 原式原式原式原式=例例18. 求求32 tansencd(ta)xxx 231tatan() (ta)nnxxx d )(tand)tan(tan53xxx )(secdsectan32xxx )(secdsec) 1(sec32xxx )(secd)sec(sec35xxx43sectand .xx x 經(jīng)驗：經(jīng)驗：對于對于tansecd :mnxx x m為為奇奇數(shù)時數(shù)時,化為化為(sec );

16、fxn為為偶偶數(shù)時數(shù)時,化為化為(tan).fx注意：積分方法不同注意：積分方法不同,結(jié)果的形式不同結(jié)果的形式不同.2secdd(tan )x xx 23例例19. 求求d.1xxe 解法解法1:d1xxe (1)d1xxxeexe dx d1xxexe ln(1)xxec d?1sinxx 解法解法2: d1xxe d(1)xxxexee d()(1)xxxeee d(1)ttt 11d1ttt lnln(1)ttc ln(1)xxec 解法解法3: d1xxe d1xxexe d(1)1xxee ln(1)xec dd()xxexe 24基基本本積積分分表表(2)14. tandln co

17、s;x xxc 15. cotdln sin;x xxc 16. secdln sectan;x xxxc 17. cscdln csccot;x xxxc 221118.darctan;(0)xxcaaxaa 22119.darcsin;xxcaax (0)a 221120.dln;(0)2xaxcaxaaxa 小結(jié)小結(jié):第一類換元法第一類換元法(湊微分法湊微分法)p205() ( )( )d( )d uxfxxxf uu 25常用的湊微分公式：常用的湊微分公式：1dd(),0 xaxb aa 21dd()2x xx dd()xxexe 1dd(ln)xxx sin dd( cos )x x

18、x cos dd(sin )x xx 2secdd(tan )x xx 21dd(arctan )1+xxx 211dd()xxx 1dd(2)xxx 26常用簡化技巧常用簡化技巧:(1) 分項積分分項積分:(2) 降低冪次降低冪次:221sincosxx 等等212sin(1cos2 );xx 212cos(1cos2 );xx 萬能湊冪法萬能湊冪法11()d()d()nnnnnf xxxf xx 111()d()d()nnnnnxf xxf xxx 利用積化和差利用積化和差; 分式分項分式分項(通分的逆運算通分的逆運算);利用倍角公式利用倍角公式 , 如如(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 配方等方法配方等方法.(4) 巧妙換元或配元巧妙換元或配元,化分母為單項式等化分母為單項式等.27101d(1)xx x 如：如： 求求10d.(1)xx x 提示提示: 法法1.法法2.法法3.10d(1)xx x 10)x 10d(1)xx x 1010(1)xx 10d(1)xx x 1110d(1)xxx 101x 10d()x11010(x 10d()x 110 上面所舉的例子上面所舉的例子,可以使我們認(rèn)識到第一類換元積分可以使我們認(rèn)識到第