課程指導(dǎo)課3-穩(wěn)恒磁場

1、1課程指導(dǎo)課三課程指導(dǎo)課三第第14章章 穩(wěn)恒電流的磁場穩(wěn)恒電流的磁場1 1 電流密度矢量電流密度矢量 電動(dòng)勢電動(dòng)勢2 磁場磁場3 畢奧畢奧薩伐爾定律薩伐爾定律4 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理5 磁場對載流導(dǎo)線的作用力磁場對載流導(dǎo)線的作用力6 帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)教師：鄭采星教師：鄭采星大學(xué)物理大學(xué)物理2第第14章章 穩(wěn)恒電流的磁場穩(wěn)恒電流的磁場基本要求基本要求教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式理解電流形成的條件，電流密度矢量。掌握磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁通量、磁場中的理解電流形成的條件，電流密度矢量。掌握磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁通量、磁場中的高斯定理。掌握畢奧高斯定理。掌握畢奧沙伐爾

2、定律。安培環(huán)路定律。能利用其計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)沙伐爾定律。安培環(huán)路定律。能利用其計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。度。掌握掌握安培力和洛侖茲力，載流線圈的磁矩，磁場對載流線圈的作用力矩。安培力和洛侖茲力，載流線圈的磁矩，磁場對載流線圈的作用力矩。磁力功。磁力功。掌握掌握帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng), ,霍爾效應(yīng)?；魻栃?yīng)。1. 電流密度電流密度某點(diǎn)的某點(diǎn)的電流密度電流密度方向：該點(diǎn)正電荷定向運(yùn)動(dòng)的方向。方向：該點(diǎn)正電荷定向運(yùn)動(dòng)的方向。大?。和ㄟ^垂直于該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)方向的單位面積上的電流強(qiáng)度。大?。和ㄟ^垂直于該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)方向的單位面積上的電流強(qiáng)度。 SIddSSSIdcosdddSSSIIdd2.

3、 歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式 dIdSdldU電導(dǎo)率：電導(dǎo)率： = 1/ E3用磁場對載流線圈（或?qū)w）或運(yùn)動(dòng)電荷的作用來描述磁場。用磁場對載流線圈（或?qū)w）或運(yùn)動(dòng)電荷的作用來描述磁場。運(yùn)動(dòng)的正點(diǎn)電荷在磁場中所受的磁力來定義。運(yùn)動(dòng)的正點(diǎn)電荷在磁場中所受的磁力來定義。3. 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度qxyzvmFB大?。捍笮。悍较蚍较?磁力為零的方向磁力為零的方向vqFBm4. 磁場的高斯定理磁場的高斯定理 （磁通連續(xù)原理）（磁通連續(xù)原理）0dSBS 穿過任意閉合曲面穿過任意閉合曲面S的總磁通必然為零，這就是磁場的的總磁通必然為零，這就是磁場的高斯定理高斯定理。說明磁場是說明磁場是無源場無源

4、場。5. 畢奧畢奧薩伐爾（薩伐爾（Biot-Savart）定律）定律BdrPldI03dd4Ilrr4畢奧畢奧薩伐爾定律的應(yīng)用薩伐爾定律的應(yīng)用解題步驟：解題步驟：1.1.將電流分成電流元將電流分成電流元lId然后，從畢奧薩伐爾定律解出然后，從畢奧薩伐爾定律解出dB的大小與方向的大小與方向;2.2.按坐標(biāo)軸方向分解，求得按坐標(biāo)軸方向分解，求得 dBx ,dBy ,dBz222zyxBBBB指明指明 的方向的方向。BkBjBiBBzyx或者用矢量式表示或者用矢量式表示;d,d,dzzyyxxBBBBBB3.3.注意：直接對注意：直接對dB 積分是常見的錯(cuò)誤積分是常見的錯(cuò)誤， 一般一般 B dBIr

5、PlId)16.14(30d4LrrlIB56. 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理iiLIlB0d(1)(1)分析磁場的對稱性；分析磁場的對稱性；(3)(3)求出環(huán)路積分；求出環(huán)路積分；(4)(4)用右手螺旋定則確定所選定的回路包圍電流的正負(fù)，最后由用右手螺旋定則確定所選定的回路包圍電流的正負(fù)，最后由磁場的安培環(huán)路定理求出磁感應(yīng)強(qiáng)度磁場的安培環(huán)路定理求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。的大小。應(yīng)用安培環(huán)路定理的解題步驟：應(yīng)用安培環(huán)路定理的解題步驟：(2)(2)過場點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)穆窂剑沟眠^場點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)穆窂?，使得B沿此環(huán)路的積分易于計(jì)算：沿此環(huán)路的積分易于計(jì)算：B的量值恒定，的量值恒定，B與與dl的夾角處處相等；的

6、夾角處處相等；在穩(wěn)恒電流的磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在穩(wěn)恒電流的磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B B 沿任何閉合回路沿任何閉合回路L L的線的線積分，等于穿過這回路的所有電流強(qiáng)度積分，等于穿過這回路的所有電流強(qiáng)度代數(shù)和代數(shù)和的的 0 0倍。倍。LI67. 磁場對載流導(dǎo)線的作用力磁場對載流導(dǎo)線的作用力BlIF dd(1) 安培定律：安培定律：在磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度為在磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B處的電流元處的電流元Idl所受的所受的磁磁力為：力為：LBlIFFdd一段載流導(dǎo)線在磁場中受力為：一段載流導(dǎo)線在磁場中受力為：注意這是一個(gè)矢量積分，注意這是一個(gè)矢量積分，lIdBLI,(2) 磁場對載流線圈的作用磁場對載流線圈的作用BP

7、Mm上式對于均勻磁場中的任意形上式對于均勻磁場中的任意形狀的平面線圈均成立。狀的平面線圈均成立。設(shè)任意形狀的平面載流線圈的設(shè)任意形狀的平面載流線圈的面積面積S，電流強(qiáng)度，電流強(qiáng)度I，定義：，定義：nISPmmPIn 磁矩的方向與電流的方向磁矩的方向與電流的方向成右手螺旋關(guān)系成右手螺旋關(guān)系當(dāng)外磁場存在時(shí)，載流線圈受磁場當(dāng)外磁場存在時(shí)，載流線圈受磁場力矩的作用，線圈平面法線（即力矩的作用，線圈平面法線（即n 的方向）會(huì)轉(zhuǎn)向磁場方向。的方向）會(huì)轉(zhuǎn)向磁場方向。78. 磁力所作的功磁力所作的功 IA當(dāng)載流導(dǎo)線在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)（或者載流線圈在磁場內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)），如當(dāng)載流導(dǎo)線在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)（或者載流線圈在磁場內(nèi)轉(zhuǎn)

8、動(dòng)時(shí)），如果電流保持不變，磁力所作的功等于電流乘以通過回路所環(huán)繞的面果電流保持不變，磁力所作的功等于電流乘以通過回路所環(huán)繞的面積內(nèi)積內(nèi)磁通量的增量磁通量的增量。9. 洛倫茲力洛倫茲力BqF v10. 霍耳霍耳（E.C.Hall ) 效應(yīng)效應(yīng) Udb1U2UBIdIBRUH 12)0(, 0 12qU)0(, 012qUsinBqFv方向：方向： 的方向的方向 Bv大?。捍笮。築+qFv81. 一個(gè)電流元一個(gè)電流元Idl位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，電流沿位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，電流沿z軸方向，點(diǎn)軸方向，點(diǎn)P (x，y，z)的磁感強(qiáng)度沿的磁感強(qiáng)度沿x軸的分量是：軸的分量是： (A) 0 (B) (C) (D)

9、 2/32220)/(d)4/(zyxlIy2/32220)/(d)4/(zyxlIx)/(d)4/(2220zyxlIy答案：答案：(B) 參考解答：參考解答：畢奧畢奧-薩伐爾定律：薩伐爾定律： 304ddrrlIBBdrPldI電流沿電流沿z軸方向，軸方向， ,ddk lIlI0033ddd44IlrBIlkrrr0033d()d (),44IlkxiyjzkIl xjyirr03032222dd4d.4 ()xBIlyrIlyxyz 92. 如圖所示，載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布，電流為如圖所示，載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布，電流為I，它在，它在點(diǎn)點(diǎn)0的磁感強(qiáng)度為多少？的磁感強(qiáng)度為多少？ 解：解：長直電

10、流對點(diǎn)長直電流對點(diǎn)0 0而言，而言，有有0drlIRIRIB8241000因此它在點(diǎn)因此它在點(diǎn)0 0產(chǎn)生的磁場為零，產(chǎn)生的磁場為零，則點(diǎn)則點(diǎn)0 0處總的磁感強(qiáng)度為處總的磁感強(qiáng)度為1/41/4圓圓弧弧電流所激發(fā)，故有電流所激發(fā)，故有方向垂紙面向外。方向垂紙面向外。20od4drlIrB0103. 如圖，勻強(qiáng)磁場中有一矩形通電線圈，它的平面與磁場平行，在磁場作如圖，勻強(qiáng)磁場中有一矩形通電線圈，它的平面與磁場平行，在磁場作用下，線圈發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，其方向是用下，線圈發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，其方向是 (A) ab邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)，邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)，cd邊轉(zhuǎn)出紙外邊轉(zhuǎn)出紙外 (B) ab邊轉(zhuǎn)出紙外，邊轉(zhuǎn)出紙外，cd邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)

11、 (C) ad邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)，邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)，bc邊轉(zhuǎn)出紙外邊轉(zhuǎn)出紙外 (D) ad邊轉(zhuǎn)出紙外，邊轉(zhuǎn)出紙外，bc邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)abcd答案：答案：(A)參考解答：參考解答：平面通電線圈在勻強(qiáng)磁場中所受合力為零，無平動(dòng)。平面通電線圈在勻強(qiáng)磁場中所受合力為零，無平動(dòng)。定義通電線圈磁矩定義通電線圈磁矩 ,SIPm受到的力矩為受到的力矩為 .BPMm其方向如圖所示。其方向如圖所示。平面通電線圈在勻強(qiáng)磁場中所受磁力矩不為零，有轉(zhuǎn)動(dòng)。平面通電線圈在勻強(qiáng)磁場中所受磁力矩不為零，有轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與磁力矩服從右手螺旋關(guān)系，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與磁力矩服從右手螺旋關(guān)系，所以所以ab邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)，邊轉(zhuǎn)入紙內(nèi)，cd邊轉(zhuǎn)出

12、紙外邊轉(zhuǎn)出紙外114. 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈覆蓋住半個(gè)球面，設(shè)線圈的總匝數(shù)為平行，且以單層線圈覆蓋住半個(gè)球面，設(shè)線圈的總匝數(shù)為N，通過，通過線圈的電流為線圈的電流為I，求球心，求球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：設(shè)單位弧長上電流線圈匝數(shù)為解：設(shè)單位弧長上電流線圈匝數(shù)為n，則，則RNRNn24/2沿弧長取沿弧長取dl，lInIddddRl IRRNId2d該圓電流在球心該圓電流在球心O處激發(fā)的磁場為處激發(fā)的磁場為 IyxyBd)(2d2/32220P90 公式公式14.19ldx

13、y作業(yè)作業(yè):14.812球心球心O處總的磁感強(qiáng)度處總的磁感強(qiáng)度B為為 d2)(22/32222/00RRNyxIyB由圖可知：由圖可知： sin;cosRyRx得：得： RNIRNIB4dsin022/00磁感強(qiáng)度磁感強(qiáng)度B的方向由電流的流向根據(jù)右手定則確定。的方向由電流的流向根據(jù)右手定則確定。 IyxyBd)(2d2/32220 xy135.（實(shí)驗(yàn)中常用所謂的亥姆霍茲線圈在局部區(qū)域內(nèi)獲得一近似均勻?qū)嶒?yàn)中常用所謂的亥姆霍茲線圈在局部區(qū)域內(nèi)獲得一近似均勻的磁場，其裝置簡圖如圖所示，一對完全相同、彼此平行的線圈，的磁場，其裝置簡圖如圖所示，一對完全相同、彼此平行的線圈，它們的半徑均為它們的半徑均為

14、R，通過的電流均為，通過的電流均為I，且兩線圈中電流的流向相，且兩線圈中電流的流向相同。同。）兩個(gè)共軸圓線圈，每個(gè)線圈中的電流強(qiáng)度都是）兩個(gè)共軸圓線圈，每個(gè)線圈中的電流強(qiáng)度都是I，半徑為，半徑為R，兩個(gè)圓心間距離兩個(gè)圓心間距離O1O2 = R，試證：，試證：O1、O2中點(diǎn)中點(diǎn)O處附近為均勻磁處附近為均勻磁場場 。xxO2IORO12aIR證明證明 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為R的環(huán)電流在離圓的環(huán)電流在離圓心為心為x的軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大的軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為：小為： 2022 3/22()IRBRx0dd; 0dd22xBxB作業(yè)作業(yè):14.4P90 公式公式14.19提示：如以兩線圈中心

15、提示：如以兩線圈中心 連成的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)連成的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O O，兩線圈中心連線為，兩線圈中心連線為x軸，則軸，則中點(diǎn)附近的磁場可看成是均勻磁場的條件為中點(diǎn)附近的磁場可看成是均勻磁場的條件為 : :14設(shè)兩線圈相距為設(shè)兩線圈相距為2a，以，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，兩線圈在建立坐標(biāo)，兩線圈在x點(diǎn)產(chǎn)生的場點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為強(qiáng)分別為 xxO2IORO12aIR201223/22() IRBRax20222 3/22() IRBRax方向相同方向相同，總場強(qiáng)為，總場強(qiáng)為B = B1 + B2 設(shè)設(shè)k = 0IR2/2，則，則 22 3/222 3/211() () BkRaxRax15一個(gè)線

16、圈產(chǎn)生的磁場的曲線是一個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場的曲線是凸?fàn)钔範(fàn)睿瑑蛇吀饔幸粋€(gè)拐點(diǎn)兩邊各有一個(gè)拐點(diǎn)兩個(gè)線圈的磁場疊加之后，如果兩個(gè)線圈的磁場疊加之后，如果它們相距它們相距太近太近，其曲線就是更高，其曲線就是更高的的凸?fàn)钔範(fàn)?；如果它們相距如果它們相距太遠(yuǎn)太遠(yuǎn)，其曲線的中，其曲線的中間部分就會(huì)間部分就會(huì)下凹下凹，與兩邊的峰之，與兩邊的峰之間各有一個(gè)拐點(diǎn)間各有一個(gè)拐點(diǎn)當(dāng)它們由遠(yuǎn)而近到最適當(dāng)?shù)奈恢卯?dāng)它們由遠(yuǎn)而近到最適當(dāng)?shù)奈恢脮r(shí)，時(shí)，兩個(gè)拐點(diǎn)就會(huì)在中間重合，兩個(gè)拐點(diǎn)就會(huì)在中間重合，這時(shí)的磁場最均勻，而拐點(diǎn)處的這時(shí)的磁場最均勻，而拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零二階導(dǎo)數(shù)為零? ?16B對對x求一階導(dǎo)數(shù)得求一階導(dǎo)數(shù)得 225/2

17、d3 d() BaxkxRax 22 5/2() axRax求二階導(dǎo)數(shù)得求二階導(dǎo)數(shù)得 2222227/2d4()3 d() BRaxkxRax 22227/24()() RaxRax在在x = 0處處d2B/dx2 = 0，得，得R2 = 4a2，所以，所以2 2a= = R x = 0處的場強(qiáng)為處的場強(qiáng)為22 3/22(/ 2) BkRR038165 55 5IkRR176.一磁場的磁感強(qiáng)度為一磁場的磁感強(qiáng)度為 (SI)，則通過一半徑為，則通過一半徑為R，開口，開口向向z軸正方向的半球殼表面的磁通量的大小為軸正方向的半球殼表面的磁通量的大小為_Wb kcj bi aB解：由磁場的高斯定理解：

18、由磁場的高斯定理 SSB0d22222d()SSBSB SBaibjckR kR c 12ddd0SSSBSBSBSz2S1S12ddSSBSBS112dSSBSR c 18下下上上BI 下下上上BI 7. 在霍耳效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)中，通過導(dǎo)電體的電流和在霍耳效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)中，通過導(dǎo)電體的電流和B的方向垂直的方向垂直(如圖如圖)如果如果上表面的電勢較高，則導(dǎo)體中的載流子帶上表面的電勢較高，則導(dǎo)體中的載流子帶_電荷，如果下表面電荷，如果下表面的電勢較高，則導(dǎo)體中的載流子帶的電勢較高，則導(dǎo)體中的載流子帶_電荷電荷 IBvLFvLFUU上上下下導(dǎo)體中的載流子帶正電荷。導(dǎo)體中的載流子帶正電荷。R，通過小線圈的電流

19、為，通過小線圈的電流為I2，若開始，若開始時(shí)線圈是靜止的，它的正法線矢量的方向與紙面法線的方向成時(shí)線圈是靜止的，它的正法線矢量的方向與紙面法線的方向成 0 0角。問角。問線圈平面轉(zhuǎn)至與線圈平面轉(zhuǎn)至與 紙面重疊時(shí)，其角速度的值為多大？紙面重疊時(shí)，其角速度的值為多大？ 解解: :小線圈在任意位置受到的磁力矩小線圈在任意位置受到的磁力矩BPMm則則 sin21022dIRIM 考慮（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）考慮（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）動(dòng)能定理動(dòng)能定理021d200IMI 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1I2IRdOO求小線圈繞求小線圈繞OO軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mrId2OORmdr)sin(Rr m為圓環(huán)的質(zhì)量，為圓

20、環(huán)的質(zhì)量，lRmmd2dd2m)d(dRl 2220221d2sinmRmRI20sin21022dIRIM 212ImR1I2IRdOO由動(dòng)能定理有由動(dòng)能定理有 021d200IM220102241dsin20mRdIRI負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)“”表示磁力矩作正功時(shí)將使表示磁力矩作正功時(shí)將使 減小減小。積分后即可解得積分后即可解得2/10210)cos1 (2mdII219. 如圖所示線框，銅線橫截面積如圖所示線框，銅線橫截面積S = 2.0 mm2，其中，其中OA和和DO兩段保持水平兩段保持水平不動(dòng)，不動(dòng)，ABCD段是邊長為段是邊長為a的正方形的三邊，它可繞的正方形的三邊，它可繞OO軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)整軸無摩

21、擦轉(zhuǎn)動(dòng)整個(gè)導(dǎo)線放在勻強(qiáng)磁場個(gè)導(dǎo)線放在勻強(qiáng)磁場B中，中，B的方向豎直向上已知銅的密度的方向豎直向上已知銅的密度 = 8.9103 kg/m3，當(dāng)銅線中的電流，當(dāng)銅線中的電流I =10 A時(shí)，導(dǎo)線處于平衡狀態(tài)，時(shí)，導(dǎo)線處于平衡狀態(tài)，AB段和段和CD段與豎段與豎直方向的夾角直方向的夾角 =15求磁感強(qiáng)度求磁感強(qiáng)度B的大小的大小 O B A D C O B解：在平衡的情況下，必須滿足線框的重力矩與解：在平衡的情況下，必須滿足線框的重力矩與線框所受的磁力矩平衡線框所受的磁力矩平衡(對對OO軸而言軸而言) 重力矩重力矩 sinsin2121gSaaagSaMsin22gSa磁力矩磁力矩 22coscosBCMF aIa BABBCCDmmmaSOBADCOBIABFCDF磁力磁力,ABCDFFBCFIBa對OO軸磁力矩為零；軸磁力矩為零；BCF( )o oacosa也可以將也可以將ABCD當(dāng)平面線圈，當(dāng)平面線圈， nB()2磁力矩磁力矩 222sincos2mMPBIa BIa