2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何章末綜合提升學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第一冊

1、第2章 平面解析幾何鞏固層知識整合(教師用書獨具)提升層題型探究直線方程及其應(yīng)用【例1】過點a(5，4)作一直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5，求直線l的方程思路探究已知直線過定點a，且與兩坐標(biāo)軸都相交，圍成的直角三角形的面積已知求直線方程時可采用待定系數(shù)法，設(shè)出直線方程的點斜式，再由面積為5列方程，求直線的斜率解由題意知，直線l的斜率存在設(shè)直線為y4k(x5)，交x軸于點，交y軸于點(0，5k4)，s|5k4|5，得25k230k160(無實根)，或25k250k160，解得k或k，所以所求直線l的方程為2x5y100，或8x5y2001求直線方程的主要方法是待定系數(shù)

2、法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當(dāng)不能確定某種方程條件具備時要另行討論條件不滿足的情況2運用直線系方程的主要作用在于能使計算簡單1過點p(1,0)，q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為1，求這兩條直線的方程解(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，滿足題意；(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2令y0，分別得x1，x由題意得1，即k1則直線的方程為yx1，yx2，即xy10，xy20綜上可知，所求的直線方程為x1，x0

3、，或xy10，xy20直線的位置關(guān)系【例2】已知兩條直線l1: (3m)x4y53m，l2 : 2x(5m)y8當(dāng)m分別為何值時，l1與l2：(1)平行？(2)垂直？思路探究已知兩直線的方程中都含有參數(shù)，求不同的位置關(guān)系時參數(shù)的取值，可以利用平行(或垂直)的條件列方程求解解(1)由 (3m)(5m)80，解得m1或m7經(jīng)過驗證：m1時兩條直線重合，舍去m7時，兩條直線平行(2)m5時，兩條直線不垂直m5時，由兩條直線相互垂直可得：1，解得mm時兩條直線相互垂直利用直線的方程判定兩條直線的平行或垂直關(guān)系是這部分知識常涉及的題型求解時，可以利用斜率之間的關(guān)系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直關(guān)

4、系，求參數(shù)的值時也可用如下方法：直線l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(1)l1l2時，可令a1b2a2b10，解得參數(shù)的值后，再代入方程驗證，排除重合的情況；(2)l1l2時，可利用a1a2b1b20直接求參數(shù)的值2已知點a(2,2)和直線l：3x4y200(1)求過點a，且和直線l平行的直線方程；(2)求過點a，且和直線l垂直的直線方程解(1)因為所求直線與l：3x4y200平行，所以設(shè)所求直線方程為3x4ym0又因為所求直線過點a(2,2)，所以3242m0，所以m14，所以所求直線方程為3x4y140(2)因為所求直線與直線l：3x4y200垂直，所以設(shè)所求直線方程為4

5、x3yn0又因為所求直線過點a(2,2)，所以4232n0，所以n2，所以所求直線方程為4x3y20距離問題【例3】已知兩條直線l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分別滿足下列條件的a、b的值(1)直線l1過點(3，1)，并且直線l1與直線l2垂直；(2)直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點到l1、l2的距離相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10即a2ab0又點(3，1)在l1上，3ab40由解得a2，b2(2)l1l2且l2的斜率為1a，l1的斜率也存在，1a，即b故l1和l2的方程可分別表示為l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0原點到l1與l2的距離相等，4，解得a2或

6、a因此或距離公式的運用(1)距離問題包含兩點間的距離，點到直線的距離，兩平行直線間的距離(2)牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用，解決距離問題時，往往將代數(shù)運算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合3已知正方形中心為點m(1,0)，一條邊所在直線的方程是x3y50，求其他三邊所在直線的方程解正方形中心到直線x3y50的距離d設(shè)與直線x3y50平行的直線方程為x3yc10由正方形的性質(zhì)，得，解得c15(舍去)或c17所以與直線x3y50相對的邊所在的直線方程為x3y70設(shè)與直線x3y50垂直的邊所在的直線方程為3xyc20由題意，得，解得c29或c23所以另兩邊所在直線的方程為3xy90和3xy30求圓的方程【

7、例4】求圓心在直線3x4y10上，且經(jīng)過兩圓x2y2xy20與x2y25的交點的圓的方程思路探究解答本題可利用過兩圓交點的圓系方程求解，也可求出兩交點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解解法一：設(shè)所求圓為x2y2xy2(x2y25)0，化為一般式，得x2y2xy0故圓心坐標(biāo)為，代入直線3x4y10，得再把代入所設(shè)方程，得x2y22x2y110，故所求圓的方程為x2y22x2y110法二：解方程組得兩圓的交點為a(1，2)和b(2，1)設(shè)所求圓的方程為x2y2dxeyf0a，b在圓上，且圓心在直線3x4y10上，解得所求圓的方程是x2y22x2y110求圓的方程主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準方程和一般方程，

8、利用待定系數(shù)法解題一般地，當(dāng)已知圓的圓心或半徑的幾何特征時，設(shè)圓的標(biāo)準方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解；當(dāng)已知圓上三個點時，設(shè)圓的一般方程；當(dāng)所求圓經(jīng)過直線與圓、圓與圓的交點時，常利用圓系方程來解答過兩個已知圓x2y2d1xe1yf10和x2y2d2xe2yf20的交點的圓系方程為x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0(1)4圓心在直線5x3y8上，且圓與兩坐標(biāo)軸均相切，求此圓的標(biāo)準方程解設(shè)所求圓的標(biāo)準方程為(xx0)2(yy0)2r2(r0)因為圓與兩坐標(biāo)軸均相切，故圓心坐標(biāo)滿足x0y00或x0y00又圓心在直線5x3y8上，所以5x03y08由得由得所以圓心坐標(biāo)為(4,4)或(

9、1，1)，相應(yīng)的半徑為r4或r1，故所求圓的標(biāo)準方程為(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例5】已知圓m：(x1)2(y1)24，直線l過點p(2,3)且與圓m交于a，b兩點，且|ab|2，求直線l的方程思路探究分斜率存在與不存在兩種情況：(1)(2)解(1)當(dāng)直線l存在斜率時，設(shè)直線l的方程為y3k(x2)，即kxy32k0示意圖如圖，作mcab于c在rtmbc中，|bc|ab|，|mb|2，故|mc|1，由點到直線的距離公式得1，解得k故直線l的方程為3x4y60(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x2，且|ab|2，所以符合題意綜上所述，直線l的

10、方程為3x4y60或x21直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點，切線問題更是重中之重，判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡化解題過程2解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來分析問題5求圓o：x2y236與圓m：x2y210y160的公切線的方程解如圖，易知兩圓相交，公切線有兩條由圓m的方程易得m(0,5)，r3設(shè)兩圓的公切線與圓o相切于點b(x0，y0)，則公切線方程為x0xy0y36點m到公切線的距離等于3，3xy36，點m在公切線的下方，(5y03

11、6)18，即y0從而x0故公切線方程為xy360或xy360，即4x3y300或4x3y300軌跡問題【例6】如圖，圓o1與圓o2的半徑都是1，|o1o2|4，過動點p分別作圓o1、圓o2的切線pm，pn，(m，n分別為切點)，使得|pm|pn|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點p的軌跡方程思路探究由pmo1與pno2均為直角三角形表示出切線長|pm|與|pn|，建立坐標(biāo)系后，設(shè)出p點坐標(biāo)即可由等式|pm|pn|求出p點的軌跡方程解如圖，以o1o2所在直線為x軸，線段|o1o2|的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則o1(2，0)，o2(2,0)，設(shè)動點p的坐標(biāo)為(x，y)在rtpmo1中，|pm

12、|2|po1|21，在rtpno2中，|pn|2|po2|21又因為|pm|pn|，所以|pm|22|pn|2，即|po1|212(|po2|21)，即|po1|212|po2|2，所以(x2)2y212(x2)2y2，整理得x2y212x30，即為所求點p的軌跡方程1求動點的軌跡方程是解析幾何中的重要題型，解答這類問題常用的方法有：直接法、定義法、消元法、代數(shù)法等2求軌跡方程的步驟：(1)建系設(shè)點；(2)列出動點滿足的軌跡條件；(3)把軌跡條件坐標(biāo)化；(4)化簡整理；(5)檢驗在檢驗中要排除不符合要求的點，或者補充上漏掉的部分6等腰三角形的頂點是a(4,2)，底邊一個端點是b(3,5)，求另

13、一個端點c的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么解設(shè)另一端點c的坐標(biāo)為(x，y) 依題意，得|ac|ab|由兩點間距離公式，得，整理得(x4)2(y2)210這是以點a(4,2)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，又因為a、b、c為三角形的三個頂點，所以a、b、c三點不共線即點b、c不能重合且b、c不能為圓a的一直徑的兩個端點因為點b、c不能重合，所以點c不能為(3,5)又因為點b、c不能為一直徑的兩個端點，所以4，且2，即點c不能為(5，1)故端點c的軌跡方程是(x4)2(y2)210(除去點(3,5)和(5，1)綜上，它的軌跡是以點a(4,2)為圓心，為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，1)兩點圓錐

14、曲線定義的應(yīng)用【例7】(1)已知f是雙曲線1的左焦點，點a(1,4)，p是雙曲線右支上的動點，則|pf|pa|的最小值為()a9b5c8d4(2)若點m(1,2)，點c是橢圓1的右焦點，點a是橢圓的動點，則|am|ac|的最小值是 (1)a(2)82(1)設(shè)右焦點為f，則f(4,0)，依題意，有|pf|pf|4，所以|pf|pa|pf|pa|4|af|4549(2)設(shè)點b為橢圓的左焦點，則b(3,0)，點m(1,2)在橢圓內(nèi)，那么|bm|am|ac|ab|ac|2a，所以|am|ac|2a|bm|，而a4，|bm|2，所以(|am|ac|)min82研究有關(guān)點間的距離的最值問題時，常用定義把曲

15、線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離或利用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題.提醒：應(yīng)用定義解決問題時，需緊扣其內(nèi)涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應(yīng)的結(jié)論.7以拋物線c的頂點為圓心的圓交c于a，b兩點，交c的準線于d，e兩點已知|ab|4，|de|2，則c的焦點到準線的距離為()a2 b4 c6 d8b設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2|ab|4，|de|2，拋物線的準線方程為x，不妨設(shè)a，d點a，d在圓x2y2r2上，85，p4(負值舍去)c的焦點到準線的距離為48在平面直角坐標(biāo)系中，兩點p1(x1

16、，y1)，p2(x2，y2)間的“l(fā)距離”定義為|p1p2|x1x2|y1y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點f1，f2的“l(fā)距離”之和等于定值(大于|f1f2|)的點的軌跡可以是圖中的()abcda設(shè)f1(c,0)，f2(c,0)，p(x，y)，則點p滿足：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)，代入坐標(biāo)，得|xc|xc|2|y|2a當(dāng)y0時，y當(dāng)y0時，y結(jié)合選項可知a正確，故選a圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用【例8】(1)已知o為坐標(biāo)原點，f是橢圓c：1(ab0)的左焦點，a，b分別為c的左、右頂點p為c上一點，且pfx軸過點a的直線l與線段pf交于點m，與y軸交于點e若直線bm經(jīng)過oe的中點

17、，則c的離心率為()a b c d(2)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率e，點a(0,1)與雙曲線上的點的最小距離是，求雙曲線方程(1)a如圖所示，由題意得a(a,0)，b(a,0)，f(c,0)由pfx軸得p設(shè)e(0，m)，又pfoe，得，則|mf|又由oemf，得，則|mf|由得ac(ac)，即a3c，e故選a(2)解e，a24b2，設(shè)雙曲線1上一點b(x，y)，則|ab|2x2(y1)24b24y2(y1)25y22y4b2154b2當(dāng)y時，|ab|取得最小值，為，即，b21，雙曲線方程為y21圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強，需弄清每個性質(zhì)的真正內(nèi)涵，然后正確地應(yīng)用到解題中去.9設(shè)f為雙曲線c

18、：1(a0，b0)的右焦點，o為坐標(biāo)原點，以of為直徑的圓與圓x2y2a2交于p，q兩點，若|pq|of|，則c的離心率為()a b c2 da如圖：以of為直徑的圓的方程為2y2，又x2y2a2，得交線pq的直線方程為：x，代入，得y，又|pq|of|，則2c，ab，e，故選a直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題【例9】已知直線l：xmy1(m0)恒過橢圓c：1(ab0)的右焦點f，且交橢圓c于a、b兩點(1)若拋物線x24y的焦點為橢圓c的上頂點，求橢圓c的方程；(2)對于(1)中的橢圓c，若直線l交y軸于點m，且1，2，當(dāng)m變化時，求12的值解 (1)根據(jù)題意，直線l：xmy1(m0)過橢圓c：

19、1(ab0)的右焦點f，f(1,0)，c1，又拋物線x24y的焦點為橢圓c的上頂點，b，b23a2b2c24，橢圓c的方程為1(2)直線l與y軸交于m，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)0，y1y2，y1y2，(*)，又由1，1(1x1，y1)，11，同理21，1222，12直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點個數(shù)、求弦長、最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)

20、合；(2)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系；(3)有關(guān)垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運算.10如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy中，點p到拋物線c：y22px(p0)的準線的距離為點m(t,1)是c上的定點，a，b是c上的兩動點，且線段ab的中點q(m，n)在直線om上(1)求曲線c的方程及t的值；(2)記d，求d的最大值解(1)y22px(p0)的準線為x，1，p，拋物線c的方程為y2x又點m(t,1)在曲線c上，t1(2)由(1)知，點m(1,1)，從而nm，即點q(m，m)，依題意，直線ab的斜率存在，且不為0，設(shè)直線ab的斜率為k(k0)，且a(

21、x1，y1)，b(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直線ab的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m20，y1y22m，y1y22m2m從而|ab|y1y2|2d2m(1m)1，當(dāng)且僅當(dāng)m1m，即m時，上式等號成立，又m滿足4m4m20d的最大值為1數(shù)學(xué)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用【例10】已知定點f(0,1)和直線l1：y1，過定點f與直線l1相切的動圓的圓心為點c(1)求動點c的軌跡方程；(2)過點f的直線l2交軌跡于兩點p，q，交直線l1于點r，求的最小值解(1)由題設(shè)知點c到點f的距離等于它到l1的距離，點c的軌跡

22、是以f為焦點，l1為準線的拋物線，動點c的軌跡方程為x24y(2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為ykx1(k0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24又易得點r的坐標(biāo)為，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時取等號，42816，即的最小值為16函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線的綜合問題中應(yīng)用廣泛，主要涉及最值、范圍、探索問題及曲線方程的求法等問題.11設(shè)圓x2y22x150的圓心為a，直線l過點b(1,0)且與x軸不重合，l交圓a

23、于c，d兩點，過b作ac的平行線交ad于點e(1)求證|ea|eb|為定值，并寫出點e的軌跡方程；(2)設(shè)點e的軌跡為曲線c1，直線l交c1于m，n兩點，過b且與l垂直的直線與圓a交于p，q兩點，求四邊形mpnq面積的取值范圍解(1)證明：因為|ad|ac|，ebac，所以ebdacdadc，所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|又圓a的標(biāo)準方程為(x1)2y216，從而|ad|4，所以|ea|eb|4由題設(shè)得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由橢圓定義可得點e的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y

24、2)由得(4k23)x28k2x4k2120則x1x2，x1x2所以|mn|x1x2|過點b(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y(x1)，點a到直線m的距離為，所以|pq|24，故四邊形mpnq的面積s|mn|pq|12可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形mpnq面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|mn|3，|pq|8，四邊形mpnq的面積為12綜上，四邊形mpnq面積的取值范圍為12,8)培優(yōu)層素養(yǎng)升華(教師用書獨具) 【例題】已知拋物線c1的方程為x22y，其焦點為f，ab為過焦點f的拋物線c1的弦，過a，b分別作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點p(1)求的值；