高等代數(shù)北大版6.7

1、引入引入有有兩種情形：兩種情形：由維數(shù)公式由維數(shù)公式設(shè)設(shè) 為線性空間為線性空間v的兩個(gè)子空間，的兩個(gè)子空間，12,v v121212dimdimdim()dim()vvvvvv 12121) dim()dimdimvvvv 此時(shí)此時(shí) 12dim()0,vv 即，必含非零向量即，必含非零向量. 12vv 情形情形2）是子空間的和的一種特殊情況）是子空間的和的一種特殊情況直和直和12122) dim()dimdimvvvv 此時(shí)此時(shí) 12dim()0,vv 不含非零向量，即不含非零向量，即 12vv 120vv 設(shè)設(shè) 為線性空間為線性空間v的兩個(gè)子空間，若和的兩個(gè)子空間，若和12,v v12vv

2、12112,vv 是唯一的，和就稱(chēng)為是唯一的，和就稱(chēng)為直和直和，記作，記作 12.vv 12vv 若有若有 ,1212111222,vv 則則 1122,. 分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 12 中每個(gè)向量的分解式中每個(gè)向量的分解式 分解式唯一的不是在任意兩個(gè)子空間的和中分解式唯一的不是在任意兩個(gè)子空間的和中都成立都成立. 例如，例如，r3的子空間的子空間11222333(,),(,),()vlvlvl 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 這里，這里，在和中，向量的分解式不唯一，如在和中，向量的分解式不唯一，如12vv (2,2,2)(2,3,0)(0, 1,2)(2

3、,1,0)(0,1,2) 所以和不是直和所以和不是直和.12vv 而在和中，向量而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，的分解式是唯一的，13vv (2,2,2)(2,2,0)(0,0,2) 事實(shí)上，對(duì)事實(shí)上，對(duì)12313(,),a a avv 故是直和故是直和.12vv 123(,0)(0,0,).a aa 都只有唯一分解式：都只有唯一分解式：分解式唯一，即若分解式唯一，即若1211220,vv 1、(定理定理8) 和是直和的充要條件是零向量和是直和的充要條件是零向量12vv 則必有則必有120.1211220,vv 若若證證：. 12vv 是直和是直和, 12,vv 的分解式唯一

4、的分解式唯一.120,0. 而而0有分解式有分解式 0 0= =0 00 0, ,. 故是直和故是直和. 12vv ,1212111222,vv 設(shè)，它有兩個(gè)分解式設(shè)，它有兩個(gè)分解式12vv 有有11220,0. 其中其中 111222,vv 于是于是 1122()()0由零向量分解成唯一，且由零向量分解成唯一，且 0 0= =0 00 0, ,即即 1122, 的分解式唯一的分解式唯一. 2、和是直和和是直和 12vv 120vv . .則有則有 12120vv 120, 即即 12vv 是直和是直和. “”任取任取 12,vv 證證：“”若若 1211220,.vv于是零向量可表成于是零向

5、量可表成 120(),.vv 由于是直和，零向量分解式唯一，由于是直和，零向量分解式唯一， 12vv 0. 故故 120 .vv 證：由維數(shù)公式證：由維數(shù)公式3、和是直和和是直和 12vv 1212dim()dimdimvvvv 121212dimdimdim()dim()vvvvvv 有，有，1212dim()dimdimvvvv12dim()0vv 120vv 12vv 是直和是直和. （由（由2、得之）得之），設(shè)為線性空間，設(shè)為線性空間v v的子空間，則下面的子空間，則下面12,v v四個(gè)條件等價(jià)四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一零向量分解式唯一1）是直和）是直和 12vv 3） 120

6、vv 4）1212dim()dimdimvvvv4、(定理定理10) 設(shè)設(shè)u是線性空間是線性空間v的一個(gè)子空間，的一個(gè)子空間，稱(chēng)這樣的稱(chēng)這樣的w為為u的一個(gè)的一個(gè). 則必存在一個(gè)子空間則必存在一個(gè)子空間w，使，使 .vuw證：取證：取u的一組基的一組基,12m 把它擴(kuò)充為把它擴(kuò)充為v的一組基的一組基,121mmn ,12(),mmnwl 令令則則 .vuw余子空間余子空間 一般不是唯一的一般不是唯一的( (除非除非u是平凡子空間是平凡子空間) ).注意：注意：如，在如，在r3中，設(shè)中，設(shè)121122(,),(),(),ulwlwl 令令1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(

7、0,0,1) 31212,ruwuwww 則則 但但5、設(shè)設(shè) 分別是分別是線性子空間線性子空間;1212,rs 12,v v的一組基，則的一組基，則是直和是直和12vv 1212,rs 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).證：由題設(shè)，證：由題設(shè)， ,1121(,), dimrvlvr 2122(,), dimsvlvs ,121212(,).rsvvl 若線性無(wú)關(guān)，若線性無(wú)關(guān)，1212,rs 則它是則它是 的一組基的一組基.12vv 從而有從而有反之反之, ,若若 直和，則直和，則12vv 1212dim()dimdimvvvvrs從而的秩為從而的秩為rs . .1212,rs 所以線性無(wú)關(guān)所以線性無(wú)關(guān).121

8、2,rs 是直和是直和. .12vv1212dim()dimdimvvrsvv 中每個(gè)向量的分解式中每個(gè)向量的分解式121sisivvvv 都是線性空間都是線性空間v的子空間，若和的子空間，若和12,sv vv是唯一的，則和就稱(chēng)為直和，記作是唯一的，則和就稱(chēng)為直和，記作1siiv 12svvv ,121,2,siiv is 四個(gè)條件等價(jià)四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一，即零向量分解式唯一，即3） 0 ,1,2,ijj ivvis 4）1dimdimsiiwv 設(shè)都是線性空間設(shè)都是線性空間v v的子空間，則下面的子空間，則下面12,sv vv1）是直和）是直和 1siiwv 0,1,2,iis

9、 必必有有,120,siiv 例例1、每一個(gè)每一個(gè)n維線性空間都可以表示成維線性空間都可以表示成n個(gè)一維個(gè)一維子空間的直和子空間的直和.證：設(shè)是證：設(shè)是n維線性空間維線性空間v的一組基的一組基, ,12,n 則則 ,12(,)nvl 12()()()nlll 而而 dim ()1,1,2,ilin 1dim ()dimsiilnv 故故12()()().nvlll 得證得證. .例例2、已知，設(shè)、已知，設(shè)n nap ,12,0nnvax xpvx xpax 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12.npvv 2aa 證：證：1） 100,0av 任取任取有有1,aavkp 11(),()().aaavk aa

10、 kv是是 的子空間的子空間.np1v證明：證明：1） 是是 的子空間的子空間.12vv、np200,0av 0,0,aa又對(duì)又對(duì)2,vkp 有有從而有從而有 ()000aaa ()00a kkak22,vkv 故故 是是 的子空間的子空間.np2v下證下證 是是 的子空間的子空間.np2v又又12.npvv 2）先證）先證 任取任取,(),npaa 有有2()0aaaaaa 2.av 12.npvv12.vv 于于是是有有 11.npvv 其中其中1,av 再證再證 12.npvv 又是又是 的子空間，的子空間，12vv np 120vv 2,0.va 由由有有1,.nvpa 由由必必有有,

11、 , 使使任取任取1212.vvvv , , 即即且且2()0.aaa aa從而從而12.npvv 所以所以1 設(shè)設(shè)v1 、v2分別是齊次線性方程組分別是齊次線性方程組 與與的的證證：解齊次線性方程組：解齊次線性方程組，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系121(1,0,0, 1)(0,1,0, 1)(0,0,1, 1)n 120nxxx 12nxxx解空間：解空間：證明證明: :12npvv 再解齊次線性方程組再解齊次線性方程組.,1121().nvl 由由12nxxx即即121000nnnnxxxxxx 得得的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系(1,1,1) 2( ).vl 考慮向量組考慮向量組 ,121,n 由于由于 1 0010 10100 0111 11 1 ,121121()()()nnnnnplll 線性無(wú)關(guān)，即它為線性無(wú)關(guān)，即它為pn的一組基的一組基.,121,n 12npvv12vv12dimdim(1)1dimnvvnnp 又又2、和是直和、和是直和12svvv 110 ,1,2,iijjvvis 證證:12svvv若若是是直直和和, , 110 ,1,2,iijjvvis 11iijijjj ivvvv 又又 0 ,ijj ivv 則則12svvv 假假若若不不是是直直