z電學-第10章

1、第第 1010 章章 電磁相互作用和穩(wěn)恒磁場電磁相互作用和穩(wěn)恒磁場 10.1 穩(wěn)恒電流穩(wěn)恒電流一、一、 電流強度電流強度tqt0I limdtdq （SI 制單位制單位:安培安培 A） 對大塊導體不僅需用物理量電流強度來描述，還需建立對大塊導體不僅需用物理量電流強度來描述，還需建立電流密度的概念電流密度的概念 進一步描述電流強度的分布進一步描述電流強度的分布二、二、 電流密度電流密度vnevdtdSqqndVdIdt(cos)qn vdtdSdtcosqnvdSdIqnv dS定義定義電流密度電流密度矢量矢量：JqnvdIJ dS（多種載流子也適用）（多種載流子也適用）dVJ方向方向:大小大小

2、:IdJdS該點的電流流向該點的電流流向電流密度電流密度()ISJ dS( )cosSJdSdIdS PI v大塊導體大塊導體IJSdd SdSddIJ對任意曲面對任意曲面S：為形象描寫電流分布，可以引入為形象描寫電流分布，可以引入“電流線電流線”的概念的概念I是是 的通量的通量J根據電荷守恒定律：根據電荷守恒定律：電流的連續(xù)性方程電流的連續(xù)性方程單位時間內流出單位時間內流出 S 面內的電量面內的電量應等于該閉合曲面內電量的減少應等于該閉合曲面內電量的減少dtdqSdJSint三、電流的連續(xù)性方程三、電流的連續(xù)性方程四、四、 恒定電流與恒定電場恒定電流與恒定電場一一 恒定電流：恒定電流：各處電

3、流密度都不隨時間發(fā)生變化各處電流密度都不隨時間發(fā)生變化恒定電流條件：恒定電流條件：I1I2I3SS1S2S31230 0III 123III0iiI 節(jié)點電流方程（基爾霍夫第一方程）節(jié)點電流方程（基爾霍夫第一方程）通過任意閉合曲面通過任意閉合曲面 S 一側流入的電量等于從另一側流出的電量一側流入的電量等于從另一側流出的電量0SSdJ0321其它SSSSSSdJSdJSdJSdJSdJ五、五、 恒定電場恒定電場：不隨時間改變的電荷分布所產生的電場不隨時間改變的電荷分布所產生的電場恒定電場與靜電場相似：恒定電場與靜電場相似： 都服從高斯定理和環(huán)路定理都服從高斯定理和環(huán)路定理也有也有也可以引入也可以

4、引入“電勢電勢”在恒定電流電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數和為在恒定電流電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數和為0回路電壓方程回路電壓方程 （基爾霍夫第二方程）（基爾霍夫第二方程）恒定電場與靜電場的區(qū)別：恒定電場與靜電場的區(qū)別：例：導體內部和表面的場強例：導體內部和表面的場強-+0E內靜電場（靜電平衡）靜電場（靜電平衡）恒定電場恒定電場0LrdE恒定電場+-0內E1. 歐姆定律歐姆定律電流電流1 ,lRSRU I電導率電導率電阻電阻 是電阻率，是電阻率，歐姆定律的微分表達式：歐姆定律的微分表達式：JE2 . 電功率和焦耳定律電功率和焦耳定律電功率電功率tAP UIRtIQ2 焦

5、耳定律焦耳定律:RIP2 焦耳定律的微分表達式：焦耳定律的微分表達式：2Jp2E - 熱功率密度熱功率密度六、六、 歐姆定律歐姆定律12UE lIUEllRSESESIJES10.2 10.2 電磁相互作用電磁相互作用一一. 基本磁現象基本磁現象磁性：磁性： 磁體吸引鐵磁性物質的性質。磁體吸引鐵磁性物質的性質。同名磁極互相排斥，異名磁極互相吸引。同名磁極互相排斥，異名磁極互相吸引。磁相互作用（磁力）舉例：磁相互作用（磁力）舉例：1) 磁鐵與磁鐵之間的相互作用磁鐵與磁鐵之間的相互作用 磁極：磁極： 磁體上兩端磁性強的區(qū)域。有指北極磁體上兩端磁性強的區(qū)域。有指北極 （用（用 N 表示）和指南極（用

6、表示）和指南極（用 S 表示）。表示）。磁體的磁極總是成對出現磁體的磁極總是成對出現.2) 磁鐵與電流之間的相互作用磁鐵與電流之間的相互作用 放在載流導線周圍的磁針受到磁力作用而偏轉；放在載流導線周圍的磁針受到磁力作用而偏轉； 放在磁鐵附近的載流導線受到磁力作用而運動。放在磁鐵附近的載流導線受到磁力作用而運動。 運動電荷運動電荷 受磁場作用受磁場作用3) 電流與電流之間的相互作用電流與電流之間的相互作用安培分子電流假說：安培分子電流假說：4）磁力都是運動電荷之間的相互作用）磁力都是運動電荷之間的相互作用 磁相互作用都可歸為電流與電流的相互作用，而電磁相互作用都可歸為電流與電流的相互作用，而電流

7、即為運動的電荷。流即為運動的電荷。 任何物質中的分子都存在回路電流，稱為分子電流，任何物質中的分子都存在回路電流，稱為分子電流，這些分子電流定向排列起來，在宏觀上就使該物質對外這些分子電流定向排列起來，在宏觀上就使該物質對外顯示出磁性。顯示出磁性。 一個運動電荷在它周圍除產生電場外，還產生磁場；一個運動電荷在它周圍除產生電場外，還產生磁場； 磁磁場的一個基本性質是它對別的運動電荷有磁力作用。場的一個基本性質是它對別的運動電荷有磁力作用。1 . 磁場磁場二、二、 磁場和磁感應強度磁場和磁感應強度磁力作用方式可表示為磁力作用方式可表示為運動電荷運動電荷磁場磁場運動電荷運動電荷2. 磁感應強度磁感應

8、強度B方向方向:Bq 不受力的運動方向定義為不受力的運動方向定義為的方向。的方向。 磁感應強度磁感應強度 是定量描述磁場各點特征的基本物理量，是定量描述磁場各點特征的基本物理量， 的大小和方向由運動試驗電荷的大小和方向由運動試驗電荷 q 所受磁力確定。所受磁力確定。BB大小大小:,maxqvFB qBv 方向運動時所受方向運動時所受的力。的力。maxF為為在在 特斯拉特斯拉 T ( 1T=104G )單位：單位：BvmaxFq 0,B,maxFv 的方向關系（的方向關系（ q 0 ）BvqFqvBBvqFmax三、三、 運動電荷受力運動電荷受力F 在慣性系中，一個運動電荷在慣性系中，一個運動電

9、荷 q 在另一個運動電荷在另一個運動電荷 Q 周周圍運動時，所受作用力圍運動時，所受作用力 一般為兩部分矢量和，即一般為兩部分矢量和，即meFFFV+QqveFmFF 第一部分力第一部分力 為電場力，它與為電場力，它與 q 的運動速度無關，即使的運動速度無關，即使 q靜止時，靜止時， q 也受這種力作用。也受這種力作用。eFEqFeBvqFm洛倫茲力洛倫茲力 第二部分力第二部分力 為磁場力或磁力，也叫洛倫茲力，它與為磁場力或磁力，也叫洛倫茲力，它與q 的速度的速度 直接相關直接相關 ， 的方向和大小不同，的方向和大小不同， 也也隨之不同。隨之不同。 mFvvmFmeFFFmF大小：大?。?不會

10、改變不會改變 q 速度的大小。速度的大小。電荷電荷 q 所受電磁力為所受電磁力為sinvBqFm q 0 時，為時，為 的方向；的方向； q b, 求求 BobABOadq解：（解：（1）304rrvdqdBbaabaarrdrrrrvdqdBB303044drdqrv drrbaa40abaBln40方向為垂直黑板面向里。方向為垂直黑板面向里。（）若（）若 a b, 求求 Bo 及及 m 。若若 ab , AB 可看成點電荷可看成點電荷bqi22,42000abaiB,22drdqdirdidB20drrdBBbaa40abaln40rdr40?0BRIB4000IR?0B2020042RI

11、RIBI?0BI0I?0BR0I10.5 磁場的高斯定理磁場的高斯定理一一. 磁感線和磁通量磁感線和磁通量磁感線上任意一點的切線方向表示該點磁感線上任意一點的切線方向表示該點B磁感線不相交。磁感線不相交。磁感線是閉合曲線。磁感線是閉合曲線。的方向。的方向。磁感線的疏密表示磁感線的疏密表示B的大小。的大小。II(a) 直線電流磁感線直線電流磁感線(b)圓形電流磁感線圓形電流磁感線(b) 通電螺線管磁場通電螺線管磁場 二二 . 磁通量磁通量1 ) 磁通密度磁通密度 dSdBmcosdSdm 2 ) SdBdm 通過面元通過面元 的磁感線。的磁感線。Sd3） )(SmSdB通過通過 S 面的磁感線。

12、面的磁感線。4） )(SmSdB三三. 高斯定理高斯定理通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零。即通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零。即0 )(SSdB微分表達式微分表達式0 B（穩(wěn)恒磁場是無源場）（穩(wěn)恒磁場是無源場）進入（負）和穿出（正）閉進入（負）和穿出（正）閉合曲面合曲面 S 的磁感線代數和。的磁感線代數和。10.6 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理以無限長載流直導線的磁場為例討論。以無限長載流直導線的磁場為例討論。1 . 如圖如圖 所示所示llrdBrdB|cos lBrd lrdrI20 ldI20I0 若若 I 反向，則反向，則IrdBl02 . 若：閉合回路若：閉合回路 l 不包圍電流如圖不包圍

13、電流如圖 所示所示則則21lllrdBrdBrdB)( 2120llddI)( 20I0 B的環(huán)流為零。的環(huán)流為零。rd3 . 若有若干個穩(wěn)恒電流存在若有若干個穩(wěn)恒電流存在,由迭加原理有由迭加原理有)(0包圍lilIrdB安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理.式中式中 Ii 表示環(huán)路表示環(huán)路 l 所包圍電流代數和所包圍電流代數和.電流流向與環(huán)繞方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負。電流流向與環(huán)繞方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負。 有旋場有旋場.)()(SlSdBrdB)( SiSdJI)(0)()( SSSdJSdBJB0 磁感應強度對任意閉合曲線的環(huán)流不等于零，是非保守場，磁感應強度對任意閉合曲線的環(huán)流

14、不等于零，是非保守場，微分表達式：微分表達式：)(0包圍liI例例 10.7. 無限長均勻載流圓柱體內外的磁場。無限長均勻載流圓柱體內外的磁場。IB解：解： 無限長均勻載流圓柱體的磁場的特點：無限長均勻載流圓柱體的磁場的特點：大?。捍笮。?r 相同，大小相等；相同，大小相等；方向：對稱于軸線的同心圓的切線方向。方向：對稱于軸線的同心圓的切線方向。rBdlBldBLL2cos)()(由安培環(huán)路定理，有：由安培環(huán)路定理，有：)(內LioI:Rr 若rIB20可得IILi)(內則利用安培環(huán)路定理求磁場的分布利用安培環(huán)路定理求磁場的分布:Rr 若.220rRIB可得同理可求無限長均勻載流圓柱面的磁場分

15、布為：同理可求無限長均勻載流圓柱面的磁場分布為：),(0RrB).(20RrrIBrIB20:Rr rBR)(02內則LiIrB22220RIrrRI例例 10.8. 無限長均勻分布平面電流產生的磁場。無限長均勻分布平面電流產生的磁場。BBi 方向：平行電流平面，方向：平行電流平面， 垂直電流，垂直電流， 滿足右手螺旋關系。滿足右手螺旋關系。大?。捍笮。篿B021 i ： 平面電流的線電流密度。平面電流的線電流密度。例例 10.9 無限長直螺線管中任意點磁感應強度無限長直螺線管中任意點磁感應強度解：做安培環(huán)路解：做安培環(huán)路1abcdBBaddadccdcbbcbaabl dBl dBl dBl

16、 dBl dBdccdbaabl dBl dBl dB因為軸線上的磁感應強度因為軸線上的磁感應強度螺線管外的磁場為零。螺線管外的磁場為零。nIabcdBabBcdab0nIabl dBl dBl dBdccdbaab0nIBab0nIabcdBabnIcd000cdBcd0cdB 做安培環(huán)路做安培環(huán)路2 ，同理可得，同理可得無限長螺線管內任意點的磁場無限長螺線管內任意點的磁場abcdBnIabl dBl dBl dBdccdbaab0nIabcdabBab00nIBab0例例 10.10 螺繞環(huán)螺繞環(huán)內部：內部：NIrBP02rNIBP20當當r很大，環(huán)很細時：很大，環(huán)很細時：nIBP0外部：

17、外部：02PrB0PB例例 10.11 將一電流沿將一電流沿 +y 方向的無限大載流平面放入沿方向的無限大載流平面放入沿 x 方向的方向的均勻磁場中，放入后平面兩側的磁感應強度分別為均勻磁場中，放入后平面兩側的磁感應強度分別為 B1 和和B2 ，B1, B2 都與板面平行并垂直于電流。求載流平面上單位面積所都與板面平行并垂直于電流。求載流平面上單位面積所受磁場力的大小及方向。受磁場力的大小及方向。解解: 設設 i 為載流平面的面電流線密度，為載流平面的面電流線密度， 為無限大載流平面產生的磁場，為無限大載流平面產生的磁場， 為原均勻磁場的磁感應強度為原均勻磁場的磁感應強度. B0Bxz2B1B

18、)1(210iB 載流平面上方磁場載流平面上方磁場 B2 ,下方磁場下方磁場 B1 分別為分別為,01BBB)2(),(21210BBB)3()(2112BBB,02BBB將（將（1）代入（）代入（3），得），得012)(BBi 在無限大平面上沿在無限大平面上沿 y 軸方向取軸方向取 dl ，沿沿 x 軸方向取軸方向取 dx ， 則面元則面元 ds=dldx 上的電流受力為上的電流受力為)()(00kidsBkidxdlBFd單位面積電流受力受力為單位面積電流受力受力為)(2)(120120kBBBBkiBdsFd0Bl didxFd) 1 (210iB)3()(21)2(),(2112210

19、BBBBBB.)(2121220kBB例例 10.12 如圖所示兩相交的無限長圓柱體，（如圖所示兩相交的無限長圓柱體，（Rd2R），將中間），將中間陰影部分導體挖去，其余部分的電流密度為陰影部分導體挖去，其余部分的電流密度為j，求：陰影部分的磁，求：陰影部分的磁場強度。場強度。jjdR解：求解：求P點的磁場點的磁場1r2r分別以分別以r1和和 r2為半徑做安培環(huán)路，可得為半徑做安培環(huán)路，可得0112Br j0222Br jxy120121122( sinsin)02xxxjBBBrr001122( coscos)22yjjdBrr例例 10.13 兩無窮大平行平面上都有均勻分布的面電流。面電流

20、密度兩無窮大平行平面上都有均勻分布的面電流。面電流密度分別為分別為 i1 和和 i2 ，若，若 i1 和和 i2 之間的夾角為之間的夾角為,求：求：（1） 兩面之間的磁感應強度的值兩面之間的磁感應強度的值 Bi ；（2） 兩面之外空間的磁感應強度的值兩面之外空間的磁感應強度的值 Bo ；i2i1i1i22B1B解解 當只有一塊無窮大平面時，利用安當只有一塊無窮大平面時，利用安培環(huán)路定理，可知板外的磁感應強培環(huán)路定理，可知板外的磁感應強度為：度為：;210iB現有兩塊無窮大平面，現有兩塊無窮大平面，11iB因22iB?；虻膴A角也為和故21BB（1）在兩面之間：）在兩面之間：。的夾角為和21BB故

21、故212122210)cos2(21iiiiBi在兩面之外，在兩面之外，21BB和的夾角為的夾角為,故故2121222100)cos2(21iiiiBi2i1B1B2P（2） 兩面之外空間的磁感應強度的值兩面之外空間的磁感應強度的值 Bo ；一一. 安培定律安培定律BlIdFd LBlIdF故在磁場中任一點故在磁場中任一點P 處的電流元處的電流元 Idl 所受到的磁場力為：所受到的磁場力為：- 安培力安培力一段有限長載流導線受到的安培力為：一段有限長載流導線受到的安培力為：Il dBpP 點處每一個載流子受的磁場力為點處每一個載流子受的磁場力為Bvq在在 dl 段中共有段中共有 ndl s 個

22、載流子，受力總和：個載流子，受力總和：BvnsdlqFd可寫成可寫成)(nsvqIBlIdFd10.8 磁場對載流導線的作用磁場對載流導線的作用 安培定律安培定律磁場對電流作用磁場對電流作用BlIdFd LBlIdF例例 10.14分析計算任意載流導線分析計算任意載流導線 OAL 在勻強磁場中所受的磁力。在勻強磁場中所受的磁力。解：解：Bl dIBlIdFll)(BOLIdljIBjFFloy)(sin 任意載流導線任意載流導線 OAL 所受的磁力相當于直線電流所受的磁力相當于直線電流 OL 所受的磁力。所受的磁力。推論：推論： 閉合載流回路在勻強磁場中所受的合力為零。閉合載流回路在勻強磁場中

23、所受的合力為零。OLAIIBcosIdlBdFxxyFdAoLALAAoxdydyIBIdlBIdlBF0)(coscos 例例10.15 一圓線圈的半徑為一圓線圈的半徑為 R ，載有電流，載有電流 I ，置于均勻外，置于均勻外磁場磁場 B 中（如圖所示）。在不考慮載流線圈本身所激發(fā)的磁中（如圖所示）。在不考慮載流線圈本身所激發(fā)的磁場的情況下，求線圈導線上的張力（已知載流圓線圈的法線方場的情況下，求線圈導線上的張力（已知載流圓線圈的法線方向與向與 B 的方向相同）。的方向相同）。 OIxyf dl dTTBRabc 解解:半圓弧半圓弧 bca 上任一電流元上任一電流元 Idl 受到的磁場力為受

24、到的磁場力為 整個半圓弧受到的合力為整個半圓弧受到的合力為 半圓弧半圓弧 bca 在在 b,a 兩端受到另外半圓的拉力（即張力）為兩端受到另外半圓的拉力（即張力）為 T ,在平在平衡時，有衡時，有02 fT故張力故張力.2BIRfTBlIdf dlBlIdf 通過曲線通過曲線 bca 的電流在勻強磁場所受合力與同樣的電流在勻強磁場所受合力與同樣電流通過直線電流通過直線 ba 所受合力相同。所受合力相同。直線電流所受合力為直線電流所受合力為BIRf2BbaIBl dIl)( 安培定律安培定律 lBlIdF兩電流元兩電流元 和和 相互作用相互作用11ldI22ldI由上式和畢奧由上式和畢奧 薩伐爾

25、定律，有薩伐爾定律，有22ldI11ldI電流元電流元受電流元受電流元的安培力的安培力11ldI從從 指向指向 22ldI的單位矢量的單位矢量不滿足牛頓第三定律不滿足牛頓第三定律2112FdFd與同理，同理，212121122021)(4rrldIldIFd:21Fd:12r221212211012)(4rrldIldIFd021Fd012Fd11ldI22ldIBdBlIdFd 二、二、 平行電流間的相互作用平行電流間的相互作用平行電流間的相互作用平行電流間的相互作用I1I21B2BddIB2101dIB2202221022122dldIIdlIBdFdIIdldF2210221120112

26、12dldIIdlIBdFdIIdldF221011F2F1國際單位制中的國際單位制中的“安培安培”的定義：的定義：設在真空中兩根無限長的平行直導線相距設在真空中兩根無限長的平行直導線相距1m,通以大小相同的通以大小相同的恒定電流，恒定電流， 如果導線每米長度受力為如果導線每米長度受力為210-7N, 則每根導線中的則每根導線中的電流強度規(guī)定為電流強度規(guī)定為1A 。，BIlFF221式中式中 S=l1l2 .sinISBM 定義線圈磁矩定義線圈磁矩 SImBmM線圈所受力矩：線圈所受力矩：sinsinsin2sin2211211ISBBlIllFlFMbc, da 邊邊 受力受力 ：三、磁場對

27、載流線圈作用三、磁場對載流線圈作用故線圈所受磁力矩為故線圈所受磁力矩為BSNIM N 匝：匝：定義：線圈磁矩定義：線圈磁矩 SINm四、四、 磁力的功磁力的功 磁力矩的功磁力矩的功 aaFAaalBISBI mI 是回路內磁通量的增量是回路內磁通量的增量.mMddAdBIS sin )cos(BSId mId 21mmmIdAmmmIIA)(12磁力的功：磁力的功：磁力矩的功：磁力矩的功：當當 I 恒定時，有恒定時，有例例10.16 半徑為半徑為 R 的圓盤的圓盤,帶有正電荷帶有正電荷,其電荷面密度其電荷面密度,krk是常數，是常數，r為圓盤上一點到圓心的距離，圓盤放在一均勻磁場為圓盤上一點到

28、圓心的距離，圓盤放在一均勻磁場B中，其法線方向與中，其法線方向與 B垂直。當圓盤以角速度垂直。當圓盤以角速度繞過圓心繞過圓心 O點，且垂直與圓盤平面的軸作逆時針旋轉時，求圓盤所受磁力點，且垂直與圓盤平面的軸作逆時針旋轉時，求圓盤所受磁力距的大小和方向。距的大小和方向。解：解：drrr圓環(huán)上電荷為：圓環(huán)上電荷為：rdrdq2圓環(huán)以角速度圓環(huán)以角速度旋轉時的電流：旋轉時的電流：drrdqdI2其磁矩大小為：其磁矩大小為：rdrkrrSdIdmm)(2mBdmBmddMBdrrk4圓環(huán)所受磁力矩圓環(huán)所受磁力矩drBrkdMMR045/5BRk圓盤所受總磁力矩圓盤所受總磁力矩ROB方向：向上方向：向上例例 10.17 如圖所示，截面積為如圖所示，截面積為 S=2.0mm2, 密度為密度為=8.9g/c