二維變量函數(shù)的分布PPT課件

1、二維隨機變量函數(shù)的分布第1頁/共22頁3.3 3.3 二維隨機變量函數(shù)的分二維隨機變量函數(shù)的分布布內(nèi)容：內(nèi)容： 已知二維隨機變量（已知二維隨機變量（X，Y）的概率分布，）的概率分布，求其函數(shù)求其函數(shù)Z= g (X,Y)的概率分布的概率分布要點：要點： 1. 二維離散型隨機變量函數(shù)的分布二維離散型隨機變量函數(shù)的分布 2. 二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布第2頁/共22頁 例例1 已知已知(X, Y) 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布見右表，求見右表，求 （1）Z1 = X+Y 的概率分布的概率分布; （2）Z2 = X- Y 的概率分布的概率分布. 解解 由由(X,Y)的分布可得的分

2、布可得: 1/8 0 3/8 2/8 2/8 0-1 2 0 1 3XYp00(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235X-Y-1-2-421-181838282 去掉概率為去掉概率為0的值，并將相同函數(shù)值對應(yīng)的概率求和，的值，并將相同函數(shù)值對應(yīng)的概率求和，從而得到：從而得到： 1. 二維離散型隨機變量函數(shù)的分布二維離散型隨機變量函數(shù)的分布第3頁/共22頁(1) Z1=X+Y的分布為的分布為 Z1=X+Y-123P818582Z2=X-Y-4-112P(2) Z2=X-Y的分布為的分布為 83818282 一般地，如果一般地，如果(X, Y

3、)的概率分布為的概率分布為），（，21jipyYxXPijii記記zk(k=1,2,)為為Z=g(X,Y)的所有可能的取值，則的所有可能的取值，則Z的概率分布為的概率分布為 (, )kkP ZzP g X Yz()1 2ijkijg xyzP Xx Yyk，,，第4頁/共22頁(1) Z = X + Y 的分布的分布已知已知(X, Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度 f(x,y)，求，求Z =X+Y 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。x+y=zyx根據(jù)分布函數(shù)定義有根據(jù)分布函數(shù)定義有( )( , )d dzDF zP ZzP XYzf x yx y( , )d dx y zf x yx y xyu令( ,

4、 )d dz xf x yy x( ,)dzdxf x uxu( ,)ddzf x uxxu對對z求導，得求導，得Z的概率密度的概率密度fZ(z)為為 ( )( ,)dzfzf x zxx( )(, )dzfzf zy yy由對稱性可得由對稱性可得 已知已知(X,Y)的的 密度密度f(x,y), 求求Z=g(X,Y)的概率密度的概率密度fZ(z)。2. 二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布第5頁/共22頁例例2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X與與Y相互獨立，概率密度分別為相互獨立，概率密度分別為和和求隨機變量求隨機變量Z=X+Y的概率密度的概率密度. 解解21e0( )200 xX

5、xfxx，31e0( )300yYyfyy，由于由于X與與Y相互獨立，所以相互獨立，所以 zyxZdxdyyxfzYXpzF)()(，321ee00()( )( )60yxXYxyf xyfx fy其他，第6頁/共22頁當當z0時時,當當z0時時,FZ(z)=0. 于是于是32001( )deed6yxzz xZFzP ZzP XYzxy332201(1 e)d1 3e2e2z xzxzzex 36e(1 e)0( )( )00zzZZzfzFzz，第7頁/共22頁 卷積公式卷積公式: 若若X, Y相互獨立，則相互獨立，則 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入前述代入前述 fZ(z)

6、的表達式可得的表達式可得 例例3 設(shè)設(shè)X和和Y是互相獨立的隨機變量，且是互相獨立的隨機變量，且XN(0, 1), Y N(0,1)，求，求Z = X +Y 的概率密度。的概率密度。解解 由于由于X、Y互相獨立互相獨立, 由卷積公式由卷積公式( )( )()zxyfzfx fzx dxdxexzx2)(222212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421224411222zzee221( )2xXfxedxeexzx2)(2222121dxxzfxfzfYXz)()()(dyyfyzfzfYXz)()()(第8頁/共22頁 （2）如果）如果Xi (i=1,2,n)為為 n 個互

7、相獨立的隨機變量個互相獨立的隨機變量,且且 Xi N( i， i2)，則，則 （1）若若X1N( 1, 12) , X2N( 2, 22) ，且，且X1、X2相互相互獨立，則有獨立，則有 nininiiiiNX1112),(),(222121X1+X2N即即 Z=X+YN(0, 2). 一般地有一般地有第9頁/共22頁 z-1 0 z 1 2 u1,0,1( )0,Xxfx其他1,0,1( )0,Yyfy其他0 z-1 1 z 2 u 解解 X 、Y 的概率密度的概率密度( )( )()ZXYfzfx fzx dxxzu11( )( )zzYYzzfu dufu du0( )1zZfzdyz1

8、1( )12Zzfzdyz當當0z1時時當當1z2時時 例4 設(shè)設(shè)X、Y的相互獨立，且都在的相互獨立，且都在0, 1上服從均勻上服從均勻分布，求分布，求 Z=X+Y 的分布。的分布。10()Yfzx dx第10頁/共22頁, 01( )2,10， 0，試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方，試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出式寫出L的壽命的壽命Z的分布函數(shù)與概率密度函的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。數(shù)。第16頁/共22頁 解解 (1)串聯(lián)時，串聯(lián)時，當當L1和和L2中有一個損壞時，系統(tǒng)中有一個損壞時，系統(tǒng)L就停止工作，所以就停止工作，所以L的壽命的壽命為為Z=min(X,Y)。0001)(xxexFxX0001)(yye

9、yFyY由條件可得由條件可得X,Y的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 0001)(1)(1 (1)()(zzezFzFzFzYZZZ的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為Z的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為000)()()(zzezfzZ第17頁/共22頁(2)并聯(lián)時，當且僅當并聯(lián)時，當且僅當L1和和L2都損壞時，系統(tǒng)都損壞時，系統(tǒng)L才停止工作，因此才停止工作，因此L的壽命的壽命Z=max(X,Y)其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為(1)(1)0( )( )( )00zzZXYeezFzFz F zz密度函數(shù)為密度函數(shù)為000)()()(zzeeezfzzzZ第18頁/共22頁例例3.233.23 設(shè)設(shè)(X,Y)在在G=(x,y)|0 x2,0y1上服從均勻分布，試求上服從均勻分布，試求Z=XY的密度的密度函數(shù)。函數(shù)。解解 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為GyxGyxyxf),(0),(21),(Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)()()(zXYPzZPzFZzxydxdyyxf),(O z 1 2 xy1z=xy當當z0時，時，F(xiàn)Z(z)=0;當當0z2時，時，zxyZdxdyyxfzF),()(xzzzdydxdydx021002121)ln2ln1 (2)ln2(ln2321zzzz第19頁/共22頁當當z