12電路方程的矩陣形式

1、第第1212章章 電路方程的矩陣形式電路方程的矩陣形式 在實(shí)際工程應(yīng)用中，電路的規(guī)模日益增大，在實(shí)際工程應(yīng)用中，電路的規(guī)模日益增大，結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜。為了便于利用計(jì)算機(jī)作為輔助手結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜。為了便于利用計(jì)算機(jī)作為輔助手段進(jìn)行電路分析，有必要研究系統(tǒng)化建立電路方段進(jìn)行電路分析，有必要研究系統(tǒng)化建立電路方程的方法。計(jì)算機(jī)輔助分析電路所需的基本知識(shí)：程的方法。計(jì)算機(jī)輔助分析電路所需的基本知識(shí)：電路圖論電路圖論和和矩陣代數(shù)矩陣代數(shù)。 下面主要介紹電路圖論基礎(chǔ)。下面主要介紹電路圖論基礎(chǔ)。12.1 電路的圖電路的圖12.2 回路、樹、割集回路、樹、割集12.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣

2、、割集矩陣12.4 矩陣矩陣a、bf、qf之間的關(guān)系之間的關(guān)系第第1212章章 電路方程的矩陣形式電路方程的矩陣形式1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖一、圖一、圖(graph)1 1、圖：、圖：以線段代替電路中的支路，保留原電路中的以線段代替電路中的支路，保留原電路中的節(jié)點(diǎn)，所構(gòu)成的點(diǎn)線圖，稱為原電路對(duì)應(yīng)的圖，用節(jié)點(diǎn)，所構(gòu)成的點(diǎn)線圖，稱為原電路對(duì)應(yīng)的圖，用g g表示。表示。1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖圖反映了支路和節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的情況，而不能反映出各支圖反映了支路和節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的情況，而不能反映出各支路的具體元件。路的具體元件。2 2、畫圖的目的：、畫圖的目的：表達(dá)給定電路的節(jié)點(diǎn)和支路的互

3、相連接表達(dá)給定電路的節(jié)點(diǎn)和支路的互相連接的約束關(guān)系的約束關(guān)系( (拓?fù)湫再|(zhì)拓?fù)湫再|(zhì)) )。1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖3 3、同構(gòu)電路：、同構(gòu)電路： 具有相同圖的電路。具有相同圖的電路。g1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖二、子圖二、子圖( (subgraphsubgraph) )：若圖若圖g gi i的節(jié)點(diǎn)和支路均屬于的節(jié)點(diǎn)和支路均屬于圖圖g g，則則g gi i稱為稱為g g的子圖。的子圖。g123456 g1 345 1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖子圖子圖g123456 g2 345 1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖子圖子圖g123456 g3 1 12.1

4、2.1 電路的圖電路的圖子圖子圖g123456 g44 1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖注意：注意：1 1、支路必須連在節(jié)點(diǎn)間。移支路可保留節(jié)點(diǎn)。、支路必須連在節(jié)點(diǎn)間。移支路可保留節(jié)點(diǎn)。g123456 如移支路如移支路1 1，2 2，6 6，節(jié)點(diǎn)可保留。，節(jié)點(diǎn)可保留。 345 孤立孤立節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖注意：注意：2 2、移節(jié)點(diǎn)必須移去與之相連的支路。、移節(jié)點(diǎn)必須移去與之相連的支路。g123456 如移節(jié)點(diǎn)，支路如移節(jié)點(diǎn)，支路1 1，2 2，6 6不能保留。不能保留。 345 1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖注意：注意：3 3、支路可接在同一節(jié)點(diǎn)上。此即

5、為自環(huán)。、支路可接在同一節(jié)點(diǎn)上。此即為自環(huán)。支路支路7 7為為自環(huán)自環(huán)( (self-loop)self-loop)。g123456 71 12.1 2.1 電路的圖電路的圖三、路徑三、路徑：任兩節(jié)點(diǎn)間支路的集合。任兩節(jié)點(diǎn)間支路的集合。g123456 如：如：（2，4）（2，3，5）（1，5）（6）1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖g123456 如：如：（2，3）（6，5）（1）（2，4，5）1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖四、連通圖四、連通圖：任兩節(jié)點(diǎn)間至少有一條路經(jīng)。任兩節(jié)點(diǎn)間至少有一條路經(jīng)。g123456 7 123456 7 非連通圖非連通圖1 12.1 2.1 電路的圖電

6、路的圖五、有向圖五、有向圖1 12.1 2.1 電路的圖電路的圖若在圖中各支路上標(biāo)上方向（原電路中各支路電流的若在圖中各支路上標(biāo)上方向（原電路中各支路電流的方向），即形成方向），即形成有向圖有向圖。g5g3g6g2is4is1 g123456 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集一、回路一、回路( (loop)loop) 如果從起始節(jié)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過若干條支路回到原如果從起始節(jié)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過若干條支路回到原出發(fā)節(jié)點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)都是一次，則這條閉出發(fā)節(jié)點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)都是一次，則這條閉合路徑就稱為圖合路徑就稱為圖g g的一個(gè)回路。的一個(gè)回路。g123456 246 1 12

7、.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集g123456 123 345 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集g123456 2356 12346 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集思考思考下圖構(gòu)不構(gòu)成一個(gè)回路？下圖構(gòu)不構(gòu)成一個(gè)回路？1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集二、樹二、樹( (tree)tree)樹樹 指圖指圖g g中的一個(gè)連通子圖，它包含圖中的一個(gè)連通子圖，它包含圖g g的全部節(jié)點(diǎn)的全部節(jié)點(diǎn)而不包含任一回路。而不包含任一回路。 顯然，對(duì)含顯然，對(duì)含n n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路來說，樹支數(shù)目為個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路來說，樹支數(shù)目為n-1n-1。g123456

8、135 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集123456 135 136 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集g123456 245 134 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集完備圖完備圖123456 對(duì)一個(gè)完備圖（每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)對(duì)一個(gè)完備圖（每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)n-1條支路）來說，條支路）來說，樹的總數(shù)為樹的總數(shù)為nn-2。1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集三、單連支回路（基本回路）三、單連支回路（基本回路）bf1 1、連支、連支 除去樹支后所剩的支路除去樹支后所剩的支路。123456 123456 顯然，連支數(shù)為顯然，連支數(shù)為b-(n-1)

9、b-(n-1)。1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集2 2、單連支回路（基本回路）、單連支回路（基本回路） 由一條連支和若干由一條連支和若干條樹支組成的回路。條樹支組成的回路。123456 （2，1，3）（4，3，5）（6，1，5）123456 （2，1，3）（4，3，1，6）（5，1，6）1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集123456 （2，1，3）（4，3，5）（6，1，5） 對(duì)某個(gè)樹而言，全部單連支回對(duì)某個(gè)樹而言，全部單連支回路的集合，構(gòu)成單連支回路組或路的集合，構(gòu)成單連支回路組或基本回路組?；净芈方M。 基本回路組是獨(dú)立回路組，但基本回路組是獨(dú)立回路組，但

10、獨(dú)立回路組不一定是單連支回路獨(dú)立回路組不一定是單連支回路組。組。 基本回路的基本回路的kvl方程互相獨(dú)立。方程互相獨(dú)立。 不同的樹對(duì)應(yīng)不同的基本回路。不同的樹對(duì)應(yīng)不同的基本回路。1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集四、單樹支割集（基本割集）四、單樹支割集（基本割集）qf1 1、割集、割集 是一組支路的集合是一組支路的集合。它必須滿足：它必須滿足： 把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括孤立節(jié)點(diǎn)）。孤立節(jié)點(diǎn)）。 少移其中任一條支路，圖還是連通的。少移其中任一條支路，圖還是連通的。135246 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路

11、、樹、割集四、單樹支割集（基本割集）四、單樹支割集（基本割集）qf1 1、割集、割集 是一組支路的集合是一組支路的集合。它必須滿足：它必須滿足： 把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括孤立節(jié)點(diǎn)）。孤立節(jié)點(diǎn)）。 少移其中任一條支路，圖還是連通的。少移其中任一條支路，圖還是連通的。135246 1351351351 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集四、單樹支割集（基本割集）四、單樹支割集（基本割集）qf1 1、割集、割集 是一組支路的集合是一組支路的集合。它必須滿足：它必須滿足： 把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括把這些支路

12、移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括孤立節(jié)點(diǎn)）。孤立節(jié)點(diǎn)）。 少移其中任一條支路，圖還是連通的。少移其中任一條支路，圖還是連通的。246 13511 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集四、單樹支割集（基本割集）四、單樹支割集（基本割集）qf1 1、割集、割集 是一組支路的集合是一組支路的集合。它必須滿足：它必須滿足： 把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括孤立節(jié)點(diǎn)）。孤立節(jié)點(diǎn)）。 少移其中任一條支路，圖還是連通的。少移其中任一條支路，圖還是連通的。246 13531 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集四、單樹支割集（基本割

13、集）四、單樹支割集（基本割集）qf1 1、割集、割集 是一組支路的集合是一組支路的集合。它必須滿足：它必須滿足： 把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括把這些支路移去，圖就分成兩個(gè)分離的部分（包括孤立節(jié)點(diǎn)）。孤立節(jié)點(diǎn)）。 少移其中任一條支路，圖還是連通的。少移其中任一條支路，圖還是連通的。246 13551 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集2 2、找割集的方法、找割集的方法 任作一封閉面，讓封閉面包圍圖任作一封閉面，讓封閉面包圍圖g的某的某些節(jié)點(diǎn)。如果把被封閉面切割的支路移去，圖些節(jié)點(diǎn)。如果把被封閉面切割的支路移去，圖g即變?yōu)榉忾]即變?yōu)榉忾]面內(nèi)外兩個(gè)分離部分，則這些被封閉面

14、所切割的支路的集合面內(nèi)外兩個(gè)分離部分，則這些被封閉面所切割的支路的集合就構(gòu)成圖的一個(gè)割集。就構(gòu)成圖的一個(gè)割集。 g123456 q1q1(4，5，6)123 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集2 2、找割集的方法、找割集的方法 任作一封閉面，讓封閉面包圍圖任作一封閉面，讓封閉面包圍圖g的某些的某些節(jié)點(diǎn)。如果把被封閉面切割的支路移去，圖節(jié)點(diǎn)。如果把被封閉面切割的支路移去，圖g即變?yōu)榉忾]面內(nèi)外即變?yōu)榉忾]面內(nèi)外兩個(gè)分離部分，則這些被封閉面所切割的支路的集合就構(gòu)成圖兩個(gè)分離部分，則這些被封閉面所切割的支路的集合就構(gòu)成圖的一個(gè)割集。的一個(gè)割集。 g123456 q2q3(1，2，6)q2

15、(2，3，4)g123456 q31 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集試判斷圖中封閉面所切割的支路是否構(gòu)成割集？試判斷圖中封閉面所切割的支路是否構(gòu)成割集？ q19123456 78 910正確！正確！ q1(1，5，9)1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集q29123456 78 910正確！正確！ q2(1，2，3，4)試判斷圖中封閉面所切割的支路是否構(gòu)成割集？試判斷圖中封閉面所切割的支路是否構(gòu)成割集？ 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集123456 78 910錯(cuò)誤！補(bǔ)上錯(cuò)誤！補(bǔ)上4后仍然分離。后仍然分離。試判斷圖中封閉面所切割的支路是否構(gòu)成割集

16、？試判斷圖中封閉面所切割的支路是否構(gòu)成割集？ 1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集3 3、單樹支割集（基本割集）、單樹支割集（基本割集）qf 由一條樹支和若干由一條樹支和若干條連支構(gòu)成的割集。條連支構(gòu)成的割集。 一個(gè)圖的獨(dú)立割集為一個(gè)圖的獨(dú)立割集為n-1。 基本割集組為獨(dú)立割集組，但獨(dú)立割集組不一定為基本割集組為獨(dú)立割集組，但獨(dú)立割集組不一定為基本割集組基本割集組。123456 q3q2q1q1（1，2，4，5）q2（3，2，4）q3（6，4，5）1 12.2 2.2 回路、樹、割集回路、樹、割集04030201531654432621 iiiiiiiiiiii：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)：節(jié)節(jié)點(diǎn)

17、點(diǎn)：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)一、關(guān)聯(lián)矩陣一、關(guān)聯(lián)矩陣 g123456 1、完全關(guān)聯(lián)矩陣、完全關(guān)聯(lián)矩陣aa1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣1234561100010111000000111101010iiiiii 矩陣形式：矩陣形式：1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣04030201531654432621 iiiiiiiiiiii：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)：節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) g123456 矩陣形式：矩陣形式：0ia akclkcl的矩陣

18、形的矩陣形式式aa為完全關(guān)聯(lián)為完全關(guān)聯(lián)矩陣矩陣完全關(guān)聯(lián)矩陣反映節(jié)點(diǎn)和支路關(guān)聯(lián)的關(guān)系。完全關(guān)聯(lián)矩陣反映節(jié)點(diǎn)和支路關(guān)聯(lián)的關(guān)系。1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 g123456 1234561100010111000000111101010iiiiii 110001011100a000111101010a 1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣特點(diǎn)：特點(diǎn)：每列均有每列均有兩個(gè)非零元素兩個(gè)非零元素 g123456 1234561100010111000000111101010iiiiii 節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)非非關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)。支支路

19、路和和節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)。指指向向節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)，且且支支路路方方向向支支路路和和節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)。離離開開節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)，且且支支路路方方向向支支路路和和jkjjkjjkajk0111 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 g123456 123456 1234561100010111000000111iiiiii 矩陣形式：矩陣形式：（降階）（降階）關(guān)聯(lián)矩陣關(guān)聯(lián)矩陣a a(incidence matrix)2、（降階）關(guān)聯(lián)矩陣、（降階）關(guān)聯(lián)矩陣a1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣矩陣形式：矩陣形式：0ai kcl的另一種的

20、另一種形式形式1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 g123456 g123456 0:0:0:642354323211 uuuluuuluuul0101010011100000111654321 uuuuuu二、回路矩陣二、回路矩陣 描述有向圖中回路和支路關(guān)聯(lián)的性質(zhì)描述有向圖中回路和支路關(guān)聯(lián)的性質(zhì)1 1、獨(dú)立回路矩陣、獨(dú)立回路矩陣b bl3l1l21 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 123456 0101010011100000111654321 uuuuuul3l1l2bu=0獨(dú)立回路矩陣獨(dú)立回路矩陣bn

21、bb )1(1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 123456 l3l1l2 101010011100000111b 回路與支路非關(guān)聯(lián)回路與支路非關(guān)聯(lián)。路方向與支路方向相反路方向與支路方向相反回路與支路關(guān)聯(lián)，且回回路與支路關(guān)聯(lián)，且回。路方向與支路方向一致路方向與支路方向一致回路與支路關(guān)聯(lián)，且回回路與支路關(guān)聯(lián)，且回011jkb1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 123456 2 2、基本回路矩陣、基本回路矩陣bf寫寫bf步驟：步驟：1、首先、首先選定一棵樹選定一棵樹。2、將連支、將連支按連支號(hào)依次排列按連支號(hào)依

22、次排列為為1l（ l為連支數(shù)）列，將樹支號(hào)依次為連支數(shù)）列，將樹支號(hào)依次排列為排列為l+1b列。列。3、將基本回路號(hào)與連支的列號(hào)對(duì)、將基本回路號(hào)與連支的列號(hào)對(duì)應(yīng)，且應(yīng)，且取連支方向取連支方向?yàn)榛净芈贩较颉榛净芈贩较?。l3l1l2:1:101100110010011001531642321tltlfbbblllb blbt1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 g123456 000654531621 iiiiiiiii三、割集矩陣三、割集矩陣 描述有向圖中割集和支路關(guān)聯(lián)的性質(zhì)描述有向圖中割集和支路關(guān)聯(lián)的性質(zhì)1 1、獨(dú)立割集矩陣、獨(dú)立割集矩陣q:q:

23、 獨(dú)立割集的個(gè)數(shù)為獨(dú)立割集的個(gè)數(shù)為n-1個(gè)個(gè) 給割集賦一方向給割集賦一方向1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 g123456 三、割集矩陣三、割集矩陣 描述有向圖中割集和支路關(guān)聯(lián)的性質(zhì)描述有向圖中割集和支路關(guān)聯(lián)的性質(zhì)1 1、獨(dú)立割集矩陣、獨(dú)立割集矩陣q:q: 獨(dú)立割集的個(gè)數(shù)為獨(dú)立割集的個(gè)數(shù)為n-1個(gè)個(gè) 給割集賦一方向給割集賦一方向0111000010101100011654321 iiiiii1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 123456 0111000010101100011654321 iiiiiiq

24、i=0割集意義割集意義下的下的kclkcl方程方程獨(dú)立割集矩陣獨(dú)立割集矩陣bnq )1(1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 割割集集與與支支路路非非關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)。集集方方向向與與支支路路方方向向相相反反割割集集與與支支路路關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)，且且割割。集集方方向向與與支支路路方方向向一一致致割割集集與與支支路路關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)，且且割割011jkq 111000010101100011q 123456 1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣2 2、基本割集矩陣、基本割集矩陣qf寫寫qf步驟：步驟：1、首先、首先選定一棵樹選定一棵樹。

25、2、將樹支、將樹支按樹支號(hào)依次排按樹支號(hào)依次排列為列為1n-1列，將連支號(hào)依次排列為列，將連支號(hào)依次排列為nb列。列。3、將基本割集號(hào)與樹支的列號(hào)對(duì)、將基本割集號(hào)與樹支的列號(hào)對(duì)應(yīng)，且應(yīng)，且取樹支方向取樹支方向?yàn)榛靖罴较颉榛靖罴较颉?1:110100011010101001642531321ltltfqqqqqqq qtql 123456 q1q2q31 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣:1 :110100011010101001642531321ltltfqqqqqqq :1 :101100110010011001531642321tltlfbbblllb tltqb 1 12.3 2.3 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣26918354107已知：已知：t（5，6，7，8）試寫出試寫出bf和和qf。 001