第5章桿件的應力與強度計算

1、第1節(jié) 應力的概念 fr ak總應力：總應力：受力桿件截面上某一點處的內(nèi)力集度稱為該點的受力桿件截面上某一點處的內(nèi)力集度稱為該點的應力應力。afafpaddlimrr0 總應力總應力p p是一個矢量，通常情況下，它既不與截面垂是一個矢量，通常情況下，它既不與截面垂直，也不與截面相切。直，也不與截面相切。 為了研究問題時方便起見，習慣上常將它分解為與截為了研究問題時方便起見，習慣上常將它分解為與截面垂直的分量面垂直的分量和與截面相切的分量和與截面相切的分量?？倯Ψ纸鉃榭倯Ψ纸鉃榕c截面與截面相切相切p k 工程中應力的單位常用工程中應力的單位常用pa或或mpa。 1pa=1n/m2 1mpa=

2、1n/mm2另外，應力的單位有時也用另外，應力的單位有時也用kpa和和gpa，各單位的換算，各單位的換算情況如下：情況如下： 1kpa=103pa， 1gpa=109pa=103mpa 1mpa=106pa正應力正應力剪應力剪應力與截面垂直與截面垂直說明：說明： （1 1）應力是針對受力桿件的某一截面上某一點而言的，）應力是針對受力桿件的某一截面上某一點而言的，所以提及應力時必須明確指出桿件、截面、點的名稱。所以提及應力時必須明確指出桿件、截面、點的名稱。 （2 2）應力是矢量，不僅有大小還有方向。）應力是矢量，不僅有大小還有方向。 （3 3）內(nèi)力與應力的關系：內(nèi)力在某一點處的集度為該點）內(nèi)力

3、與應力的關系：內(nèi)力在某一點處的集度為該點的應力；整個截面上各點處的應力總和等于該截面上的內(nèi)力。的應力；整個截面上各點處的應力總和等于該截面上的內(nèi)力。第2節(jié) 材料在軸向拉壓時的力學性能材料在拉伸、壓縮時的機械性能材料在拉伸、壓縮時的機械性能 標準圓試件：l0/d0=10或5，常用d=10mm，l0=100mm的試件進行測試。稱為標距； 壓縮時，圓截面試件高度h與直徑d之比為13。 試驗通常在室溫的條件下按一般的變形速度進行。在上述條件下所得材料的力學性質(zhì)，稱為常溫、靜載下材料在拉伸（壓縮）是的力學性質(zhì)。低碳鋼在拉伸時的力學性質(zhì)拉伸過程 彈性階段 屈服階段 強化階段 局部變形階段強度指標與塑性指標

4、 對低碳鋼這一類材料：屈服極限和強度極限是衡量其強度的主要指標。 彈性變形 塑性變形 延伸率和截面收縮率：%100%1001 aaall 低碳鋼壓縮鑄鐵拉伸與壓縮第3節(jié) 軸向拉壓桿的應力與強度計算問題提出：問題提出：f fp pf fp pf fp pf fp p1. 1. 內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強度的大小。內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強度的大小。2. 2. 強度強度 (1)(1)內(nèi)力在截面分布集度內(nèi)力在截面分布集度應力；應力； (2)(2)材料承受荷載的能力。材料承受荷載的能力。fpfp變形規(guī)律試驗：變形規(guī)律試驗： 觀察發(fā)現(xiàn)：當桿受到軸向拉力作用后，所有的縱向線觀察發(fā)現(xiàn)：當桿受到軸向拉力作用后，所有的

5、縱向線都伸長了，而且伸長量都相等，并且仍然都與軸線平行；都伸長了，而且伸長量都相等，并且仍然都與軸線平行；所有的橫向線仍然保持與縱向線垂直，而且仍為直線，只所有的橫向線仍然保持與縱向線垂直，而且仍為直線，只是它們之間的相對距離增大了。是它們之間的相對距離增大了。軸向拉伸和壓縮 根據(jù)從桿件表面觀察到的現(xiàn)象，從變形的可能性考慮，根據(jù)從桿件表面觀察到的現(xiàn)象，從變形的可能性考慮，可推斷：可推斷： 軸向拉桿在受力變形時，橫截面只沿桿軸線平行移動。軸向拉桿在受力變形時，橫截面只沿桿軸線平行移動。 由此可知：由此可知：橫截面上只有正應力橫截面上只有正應力。 假如把桿想象成是由許多縱向纖維組成的話，則任意兩假

6、如把桿想象成是由許多縱向纖維組成的話，則任意兩個橫截面之間所有縱向纖維的伸長量均相等，即兩橫截面間個橫截面之間所有縱向纖維的伸長量均相等，即兩橫截面間的變形是均勻的，所以拉（壓）桿在橫截面上各點處的正應的變形是均勻的，所以拉（壓）桿在橫截面上各點處的正應力力都相同。都相同。 fnfp軸向拉伸和壓縮 通過上述分析知：軸心拉桿橫截面上只有一種應力通過上述分析知：軸心拉桿橫截面上只有一種應力正應力，正應力，并且正應力在橫截面上是均勻分布的，所以拉桿橫并且正應力在橫截面上是均勻分布的，所以拉桿橫截面上正應力的計算公式為截面上正應力的計算公式為afn式中式中 a拉（壓）桿橫截面的面積；拉（壓）桿橫截面的

7、面積； fn軸力。軸力。 當軸力為拉力時，正應力為拉應力，取正號；當軸力為拉力時，正應力為拉應力，取正號； 當軸力為壓力時，正應力為壓應力，取負號。當軸力為壓力時，正應力為壓應力，取負號。軸向拉伸和壓縮 對于等截面直桿，最大正應力一定發(fā)生在軸力最大的截對于等截面直桿，最大正應力一定發(fā)生在軸力最大的截面上。面上。 習慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應力，稱為習慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應力，稱為工作應工作應力力。 通常把產(chǎn)生最大工作應力的截面稱為通常把產(chǎn)生最大工作應力的截面稱為危險截面危險截面，產(chǎn)生，產(chǎn)生最大工作應力的點稱為最大工作應力的點稱為危險點危險點。afmaxnmax 對于產(chǎn)生軸向拉（壓）

8、變形的等直桿，軸力最大的截對于產(chǎn)生軸向拉（壓）變形的等直桿，軸力最大的截面就是危險截面，該截面上任一點都是危險點。面就是危險截面，該截面上任一點都是危險點。軸向拉伸和壓縮 例例 圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件ab、cb的應力。已知的應力。已知 f=20kn；斜桿斜桿ab為直徑為直徑20mm的圓截面桿，水平桿的圓截面桿，水平桿cb為為1515的方的方截面桿。截面桿。fabc 解：解：1 1、計算各桿件的軸力。、計算各桿件的軸力。 用截面法取節(jié)點用截面法取節(jié)點b b為研究對象為研究對象4512bf1nf2nfxy45軸向拉伸和壓縮 0yfkn3 .281nfkn202nf 0 xf045co

9、s21nnff045sin1 ffnbf1nf2nfxy452 2、計算各桿件的應力。、計算各桿件的應力。mpa90204103 .2823111afnmpa8915102023222afn軸向拉伸和壓縮pp圖示直桿拉力為p 橫截面面積a 橫截面上正應力為為斜截面上的應力計算公式斜截面上正應力為p斜截面上的應力稱為全應力ppaaapancoscosapapp2sin2cossinsin)2cos1 (2coscos2pppnpp = 0 說明緃向無正應力2. 最大應力和最小應力（1）最大 最小應力正應力 當 00 時 拉桿 max = 壓桿 min = - ( 2 ) 最大 最小應力剪應力 當

10、 +45 0 時當 900 時/2 max min/2450-45022sin20045min45max n0塑性材料塑性材料s0脆性材料脆性材料b0極限應力極限應力 n 安全系數(shù)安全系數(shù) 許用應力許用應力。 任何一種材料都存在一個能承受應力的上限，這個上任何一種材料都存在一個能承受應力的上限，這個上限稱為極限應力，常用符號限稱為極限應力，常用符號o表示。表示。 軸向拉伸和壓縮 ssn塑性材料的許用應力塑性材料的許用應力脆性材料的許用應力脆性材料的許用應力 bbn 選取安全系數(shù)的原則是選取安全系數(shù)的原則是：在保證構(gòu)件安全可靠的前提下，在保證構(gòu)件安全可靠的前提下，盡可能盡可能減小減小安全系數(shù)來提

11、高許用應力。安全系數(shù)來提高許用應力。 確定安全系數(shù)時要考慮的因素確定安全系數(shù)時要考慮的因素，如：材料的均勻程度、荷，如：材料的均勻程度、荷載的取值和計算方法的準確程度、構(gòu)件的工作條件等。載的取值和計算方法的準確程度、構(gòu)件的工作條件等。 塑性材料塑性材料 ns取取1.41.7； 脆性材料脆性材料 nb取取2.53。 某些構(gòu)件的安全系數(shù)和許用應力可以從有關的規(guī)范中查到。某些構(gòu)件的安全系數(shù)和許用應力可以從有關的規(guī)范中查到。軸向拉伸和壓縮 afnmaxmax max是桿件的最大工作應力，可能是拉應力，也可能是是桿件的最大工作應力，可能是拉應力，也可能是壓應力。壓應力。 對于脆性材料的等截面桿，其強度條

12、件式為：對于脆性材料的等截面桿，其強度條件式為：ccttmaxmax 式中：式中：tmax及及t 分別為最大工作拉應力和許用拉應力分別為最大工作拉應力和許用拉應力；cmax及及c 分別為最大工作壓應力和許用壓應力。分別為最大工作壓應力和許用壓應力。1.1.強度條件強度條件軸向拉伸和壓縮 afnmax根據(jù)強度條件，可以解決三類強度計算問題根據(jù)強度條件，可以解決三類強度計算問題1 1、強度校核：、強度校核： nfa2 2、設計截面：、設計截面： afn3 3、確定許可載荷：、確定許可載荷： 強度條件在工程中的應用強度條件在工程中的應用軸向拉伸和壓縮 例例 正方形截面階梯形磚柱。已知：材料的許用壓應

13、力正方形截面階梯形磚柱。已知：材料的許用壓應力c=1.05mpa，彈性模量，彈性模量e=3gpa，荷載，荷載fp=60kn，試校核，試校核該柱的強度。該柱的強度。 解（解（1 1）畫軸力圖如圖）畫軸力圖如圖b b所示。所示。（2 2）計算最大工作應力）計算最大工作應力 需分段計算各段的應力，然后選需分段計算各段的應力，然后選最大值。最大值。mpa96. 0mpa25025010603nabababafmpa72. 0mpa50050010180 3nbcbcbcaf軸向拉伸和壓縮max=0.96mpac =1.05mpa （3）校核強度）校核強度 比較得：最大工作應力為壓應力，產(chǎn)生在比較得：最

14、大工作應力為壓應力，產(chǎn)生在ab段。段。即即|max|=0.96mpa。所以該柱滿足強度要求。所以該柱滿足強度要求。軸向拉伸和壓縮 例例 已知鋼筋混凝土組合屋架受到豎直向下的均布荷載已知鋼筋混凝土組合屋架受到豎直向下的均布荷載q=10kn/m，水平鋼拉桿的許用應力，水平鋼拉桿的許用應力=160mpa。試按要求。試按要求設計拉桿設計拉桿ab的截面。的截面。 拉桿選用實心圓截面時，求拉桿的拉桿選用實心圓截面時，求拉桿的直徑。直徑。 拉桿選用二根等邊角鋼時，選擇角鋼的型號。拉桿選用二根等邊角鋼時，選擇角鋼的型號。1.4m鋼拉桿鋼拉桿q8.4m解解 （1 1）整體平衡求支反力）整體平衡求支反力kn42b

15、yayfffayfby軸向拉伸和壓縮鋼拉桿鋼拉桿q =4.2kn/mfay（3 3）設計拉桿的截面。）設計拉桿的截面。fnfcyfcx04 . 1422 . 4 nabayfllqfkn63nabf （2 2）求拉桿的軸力。）求拉桿的軸力。 用截面法取左半個屋架為研用截面法取左半個屋架為研究對象，列平衡方程究對象，列平衡方程mc =0 nmaxafab軸向拉伸和壓縮223nmm8 .393mm1601063abfa當拉桿為實心圓截面時當拉桿為實心圓截面時22mm8 .3934damm39.22mm14. 38 .3934d取取d=23mm。當拉桿用角鋼時，查型鋼表。每根角型的最小面積應為當拉桿

16、用角鋼時，查型鋼表。每根角型的最小面積應為221mm9 .196mm28 .3932aa 選用兩根選用兩根363的的3.6號等邊角鋼。號等邊角鋼。軸向拉伸和壓縮 363的的3.6號等邊角鋼的橫截面面積號等邊角鋼的橫截面面積 a1=210.9mm2 故此時拉桿的面積為故此時拉桿的面積為 a=2210.9mm2=421.8mm2393.8mm2 能滿足強度要求，同時又比較經(jīng)濟。能滿足強度要求，同時又比較經(jīng)濟。軸向拉伸和壓縮第5節(jié) 平面彎曲梁的應力與強度計算 cd梁段橫截面上梁段橫截面上只有彎矩只有彎矩,而沒有剪力，而沒有剪力，這種平面彎曲稱為這種平面彎曲稱為純純彎曲。彎曲。 ac和和db 梁段橫截

17、梁段橫截面上不僅有彎矩還伴面上不僅有彎矩還伴有剪力，這種平面彎有剪力，這種平面彎曲稱為曲稱為橫力彎曲橫力彎曲。mfpafqfpfpfpfpaacdab彎曲應力 與圓軸扭轉(zhuǎn)同樣，純彎曲梁橫截面上的正應力研究與圓軸扭轉(zhuǎn)同樣，純彎曲梁橫截面上的正應力研究方法是：方法是：觀察變形觀察變形應力分布應力分布應力計算公式應力計算公式 與與物理關系物理關系靜力學關系靜力學關系彎曲應力oyxzbhoyz觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象o1ao2b12121. 幾何變形方面幾何變形方面彎曲應力zyxommoyz* 所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸邊的所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸

18、邊的縱向線伸長了，靠近凹邊的縱向線縮短了?？v向線伸長了，靠近凹邊的縱向線縮短了。* 橫向線仍為直線但轉(zhuǎn)過了一個角度；橫向線仍為直線但轉(zhuǎn)過了一個角度；* 矩形截面的上部變寬下部變窄。矩形截面的上部變寬下部變窄。1212mmo1a1o2b1彎曲應力 ：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時還假設梁的各縱向纖仍與變形后的梁軸線垂直。同時還假設梁的各縱向纖維之間無擠壓。維之間無擠壓。 ：將梁看成由無數(shù)條縱向纖維組成，將梁看成由無數(shù)條縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。彎曲應力中性層中

19、性層mmzy中性軸中性軸受壓區(qū)受壓區(qū)受拉區(qū)受拉區(qū) ：梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長度不變的纖維，由變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長度不變的纖維層，稱為中性層層，稱為中性層。 ：中性層與橫截面的交線稱為中性軸，中性層與橫截面的交線稱為中性軸， 由于荷載作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的變形沿縱向由于荷載作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的變形沿縱向?qū)ΨQ，則中性軸垂直于橫截面的對稱軸。梁彎曲變形時，對稱，則中性軸垂直于橫截面的對稱軸。梁彎曲變形時，其橫截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)某一角度。其橫截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)某一角度。 彎曲應力121

20、2o1ao2b1212o1ao2b1122mmdx梁中取出的長為梁中取出的長為dx的微段的微段變形后其兩端相對轉(zhuǎn)了變形后其兩端相對轉(zhuǎn)了d 角角a1b1o2o1dr彎曲應力距中性層為距中性層為y處的縱向纖維處的縱向纖維ab的變形的變形式中式中為中性層上的纖維的曲率半徑。為中性層上的纖維的曲率半徑?？芍毫簝?nèi)任一層縱向纖維的線應變與其的坐標成正比?？芍毫簝?nèi)任一層縱向纖維的線應變與其的坐標成正比。 則纖維的應變?yōu)閯t纖維的應變?yōu)樵L：dxdooabr21 211111oobaababbao1o2rrrryyddd)(a1b1o2o1d r r1212o1ao2b變形后長：rdyba)(11彎曲應力

21、2. 物理關系方面物理關系方面 由于假設梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當材料由于假設梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，由虎克定律可得各縱向纖維的正應在線彈性范圍內(nèi)工作時，由虎克定律可得各縱向纖維的正應力為力為 reye 梁橫截面上任一點處的正應力與該梁橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。即點到中性軸的距離成正比。即彎曲正應彎曲正應力沿截面高度成線性分布。力沿截面高度成線性分布。 中性軸上各點處的正應力等于零，中性軸上各點處的正應力等于零，距中性軸最遠的上、下邊緣上各點處正距中性軸最遠的上、下邊緣上各點處正應力最大，其它點的正應力介于零到最應力最大

22、，其它點的正應力介于零到最大值。大值。彎曲應力xyzoda坐標系的選取坐標系的選?。?y軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸。軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸。z軸：中性軸。軸：中性軸。x軸：沿縱向線。軸：沿縱向線。 受力分析受力分析：da上的內(nèi)力為上的內(nèi)力為da，于是整個截面上所有內(nèi)力，于是整個截面上所有內(nèi)力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩mz，所以橫截面法向的軸力所以橫截面法向的軸力fn和力偶矩和力偶矩my應為零，即：應為零，即：andaf00dazaymazmmdayfx0my=0mz=m(y z)m3. 靜力學關系方面靜力學關系方面彎曲應力and

23、af00dazaymazmmday0szaeydaerr故：sz = 0 即中性軸即中性軸 z 必過橫截面的形心必過橫截面的形心。ry代入胡克定律：代入胡克定律：0re及：及：0yzaiedayzerr故：iyz0， y軸為對稱軸，z軸又過形心，則軸則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。為橫截面的形心主慣性軸。medaeiyzarr2（中性層曲率公式）（中性層曲率公式）故：zeimr1彎曲應力其中其中 1 1是梁軸線變形后的曲率。稱是梁軸線變形后的曲率。稱eieiz z為梁的抗彎剛度。為梁的抗彎剛度。zimyzeimr1得純彎曲時橫截面上正應力的計算公式得純彎曲時橫截面上正應力的計算公式：ry代入

24、代入：表明：橫截面上任一點的正應力與該橫截面上的彎矩和表明：橫截面上任一點的正應力與該橫截面上的彎矩和該點到中性軸的距離成正比，而與該截面對中性軸的慣性矩該點到中性軸的距離成正比，而與該截面對中性軸的慣性矩成反比。成反比。彎曲應力zimy計算時公式中代入計算時公式中代入m和和y的的絕對值。絕對值。的正負可由彎矩的正的正負可由彎矩的正負和所求點的位置來判斷負和所求點的位置來判斷. .-+zmzm+-彎曲應力zimy適用條件是：適用條件是： (1) 梁的橫截面至少具有一個縱向?qū)ΨQ軸。梁的橫截面至少具有一個縱向?qū)ΨQ軸。 (2) 正應力不超過材料的比例極限。正應力不超過材料的比例極限。 (3) 梁產(chǎn)生

25、純彎曲。梁產(chǎn)生純彎曲。彎曲應力 橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫截面是不僅有正應力，而且有切應力。截面是不僅有正應力，而且有切應力。ziyxm)(hlhl 對于跨度與截面高度之比對于跨度與截面高度之比 大于大于5 5的橫力彎曲梁，橫截的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應力按純彎曲正應力公式計算，滿足工程上的面上的最大正應力按純彎曲正應力公式計算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比精度要求。梁的跨高比 越大，誤差就越小。越大，誤差就越小。 梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維間無擠壓的梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維間無擠壓的假設

26、不再成立。假設不再成立。彎曲應力 例例 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載q作用，試完成：作用，試完成：(1) 求距左端為求距左端為m的的c截面上截面上a、b、c三點的正應力。三點的正應力。(2) 求梁的最大正應力求梁的最大正應力值，并說明最大正應力發(fā)生在何處。值，并說明最大正應力發(fā)生在何處。(3) 作出作出c截面上正應截面上正應力沿截面高度的分布圖。力沿截面高度的分布圖。 12050abc200q=3.5kn/mabc3m1m彎曲應力解解 （1）求指定截面上指定點的應力）求指定截面上指定點的應力先求出支座反力,由對稱性c截面積的彎矩 矩形截面對中性軸z的慣性矩82qlmc=(5.2513.51

27、0.5)knm =3.5knm47433mm108mm)12200120(12bhiz12050abc200q=3.5kn/mabc3m1m彎曲應力 計算計算c截面上截面上a、b、c三點三點的正應力的正應力：)(mpa38. 4mpa)108100105 . 3(76拉應力zacaiym)(mpa19. 2mpa)10850105 . 3(76拉應力zbcbiym)(mpa38. 4mpa)108100105 . 3(76壓應力zccciym12050abc200彎曲應力(2) 求梁的最大正應力值，及最大正應力發(fā)生的位置。求梁的最大正應力值，及最大正應力發(fā)生的位置。 梁的最大正應力發(fā)生在最大彎

28、矩mmax所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應力的值為mpa93. 4mpa1081001094. 376maxmaxmaxziymmkn94. 3mkn)835 . 3(822maxqlm彎曲應力(3) 作作c截面上正應力沿截面高度的分布圖。截面上正應力沿截面高度的分布圖。mpa38. 4mpa38. 4彎曲應力一般情況下，最大正應力發(fā)生于彎矩最大的橫截一般情況下，最大正應力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠處。面上矩中性軸最遠處。maxziymmaxmaxmaxzzwyimaxzwmmaxmax式中式

29、中wz僅與截面的幾何形狀及尺寸有關，稱為截面對中僅與截面的幾何形狀及尺寸有關，稱為截面對中性軸的抗彎截面模量。單位：性軸的抗彎截面模量。單位：m3或或mm3 。令：1. 梁的最大正應力梁的最大正應力 習慣上把產(chǎn)生最大應力的截面稱為習慣上把產(chǎn)生最大應力的截面稱為危險截面危險截面，產(chǎn)生最，產(chǎn)生最大應力的點稱為大應力的點稱為危險點危險點。m 彎曲應力若截面是高為若截面是高為h ，寬為，寬為b的的矩形，則的的矩形，則6212223bhhbhhiwzz123bhiz 若截面是直徑為若截面是直徑為d的圓形，則的圓形，則32264234ddddiwzz644diz彎曲應力 若截面是外徑為若截面是外徑為d、內(nèi)

30、徑為、內(nèi)徑為d的空心圓形，則的空心圓形，則 43441322642dddddiwzzdddd44164diz 對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后“附錄附錄”型鋼表中查出。型鋼表中查出。 彎曲應力 對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如t型截面的等直梁。型截面的等直梁。yy1y2cz 同一橫截面上同一橫截面上tmax cmax ，這時整個梁的，這時整個梁的tmax 或或 cmax不不一定發(fā)生在一定發(fā)生在|mmax| 截面處，截面處，需對最大正彎矩和最大負彎矩處需對最大正彎矩和最大負彎矩處的的 tmax和和 cmax分

31、別計算。分別計算。彎曲應力2. 2. 梁的正應力強度計算梁的正應力強度計算 zwmmaxmaxcmaxctmaxt 對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于于 ，所以只要求：梁橫截面上絕對值最大的，所以只要求：梁橫截面上絕對值最大的正應力不超過材料的彎曲許用應力。其正應力強度條件為正應力不超過材料的彎曲許用應力。其正應力強度條件為：ct 對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于 ，所以要求：梁橫截面上的最大拉應力不超過材料的，所以要求：梁橫截面上的最大拉應力不超過材料的彎曲許用拉應

32、力，同時，梁橫截面上的最大壓應力不超過材彎曲許用拉應力，同時，梁橫截面上的最大壓應力不超過材料的彎曲許用壓應力。其正應力強度條件為：料的彎曲許用壓應力。其正應力強度條件為：ct彎曲應力3. 3. 強度條件應用強度條件應用 強度校核強度校核: maxmaxzwm 設計截面設計截面: zzwmwmmaxmaxmax 確定許用荷載確定許用荷載 : maxmaxmaxmwwmzz彎曲應力 例例 圖示簡支梁選用木材制成，其橫截面為矩形圖示簡支梁選用木材制成，其橫截面為矩形bh=140mm210mm，梁的跨度，梁的跨度l=4m，荷載，荷載fp=6kn，q=2kn/m，材料的彎曲許用應力，材料的彎曲許用應力

33、 =11mpa，試校核該梁的，試校核該梁的正應力強度。正應力強度。fayfbyhbz解：（解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力求支座反力,由對稱性由對稱性fby= fay= 7knqabl=4mfp彎曲應力10knm (2) 計算截面的幾何參數(shù)。計算截面的幾何參數(shù)。 再作梁的彎矩圖，如圖示。再作梁的彎矩圖，如圖示。36322mm1003. 1mm)6210140(6bhwzhbz 從圖可知：跨中截面上彎矩從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為最大，其值為mmax=10knm 。fayfbyqabl=4mfp彎曲應力(3) 校核梁的正應力強度。校核

34、梁的正應力強度。mpa71. 9mpa1003. 1101066maxmaxzwm該梁滿足正應力強度要求。該梁滿足正應力強度要求。 mpa11max彎曲應力 截面設計 矩形截面簡支木梁，跨度4m，受均布荷栽5 kn/m作用，木材 =10 mpa，若截面高寬比為1.5，試確定截面尺寸。 解： 跨中截面為危險截面2max81qlm1045812kn.m強度條件定截面尺寸強度條件定截面尺寸fwmzmaxmax 可取66101101010mm3261bhwz22361bb383b338zwb 7 .1383101836mm140bmm2101405 . 15 . 1bhmm 許可荷栽 由兩根20號槽鋼

35、組成的外伸梁，受集中力p作用，若=170 mpa，試求梁能承受的最大荷栽pmax。 解： 作彎矩圖 b為危險截面pabcno.202 m6 mppmb22 kn.m2p上部受拉，下部受壓上部受拉，下部受壓 最大荷載查型鋼表，找抗彎截面系數(shù)查型鋼表，找抗彎截面系數(shù)8 .38224 .191zwcm3強度條件求最大荷載強度條件求最大荷載zwmmaxmax1026zwp6102zwp63102170108 .38254.32kn54.32maxpkny2y1c 例例 t形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應力形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應力分別為分別為t=45mpa，c=175mpa

36、，截面對中性軸的慣性矩，截面對中性軸的慣性矩iz=5.7310-6m4，下邊緣到中性軸的距離，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣，上邊緣到中性軸的距離到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強度。試校核該梁的強度。4fp1=40kn0.3m0.3m0.3mfp2=15knabcd彎曲應力 解：解：(1) 求梁在圖示荷載作求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。用下的最大彎矩。 kn40kn15byayff)(knm5 . 4max下拉、上壓mmc（上拉、下壓）knm3maxmmb4.5knm3knmfp2=15kndfp1=40kn0.3m0.3mabc0.3m彎曲應力b截面和c截面應力分布

37、規(guī)律圖y2y1cknm5 . 4maxmmcknm3maxmmb c c截面截面maxtmaxc b b截面截面maxcmaxt彎曲應力czbciymmpa7 .37101073. 57210312661max tzbiymmpa9 .19101073. 53810312662maxt tzctiyma5 .56101073. 572105 . 412661maxczcciymmpa8 .29101073. 538105 . 412662maxb截面滿足正應力強度條件。截面滿足正應力強度條件。c截面截面b截面截面 c截面不滿足正應力強度條件。截面不滿足正應力強度條件。所以該梁的正應力強度不所以

38、該梁的正應力強度不滿足要求。滿足要求。彎曲應力bal = 3mq=60kn/mxc1mmxm67.5kn8/2ql 30zy180120k1.1.c 截面上截面上k點正應力點正應力2.2.全梁全梁上上最大最大正應力正應力已知已知e=200gpa， fsx90kn90knmkn605 . 0160190cm1. 求支反力求支反力kn90ayfkn90byf4533zm10832. 51218. 012. 012bhimpa7 .61pa107 .6110832. 510)302180(10606533zkckiym（壓應力）（壓應力）解：解：例題bal = 3mq=60kn/mxc1mmxm67

39、.5kn8/2ql 30zy180120k fsx90kn90kn2. 全梁最大正應力全梁最大正應力最大彎矩最大彎矩mkn5 .67maxm截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zimpa17.104pa1017.10410832. 5102180105 .676533zmaxmaxmaxiym ziymmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）彎矩）彎矩 最大的截面最大的截面m（3 3）抗彎截面系數(shù)）抗彎截面系數(shù) 最最 小的截面小的截面zw 圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知,kn5 .62,m16. 0,m267. 0,130

40、2fbammd材料的許用應力材料的許用應力.mpa60mm1601d？ zwmmaxmax例題（3 3）b b截面，截面，c c截面需校核截面需校核（4 4）強度校核）強度校核b b截面：截面：mpa5 .41pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdfawmzbbmpa4 .46pa104 .4613. 0321605 .62326332maxdfbwmzccc c截面：截面：（5 5）結(jié)論）結(jié)論（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖f fa af fb b解：解：分析分析（1 1）確定危險截面）確定危險截面（3 3）計算）計算maxm（4 4）計

41、算）計算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號字鋼型號zw 某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重自重材料的許用應力材料的許用應力mpa,140kn,7 . 61f,kn502f起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。 zwmmaxmax（2 2）例題（4 4）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號（5 5）討論）討論（3 3）根據(jù)）根據(jù) zwmmaxmax計算計算 33663maxcm962m109621014045 . 910)507 . 6(mwz （1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：

42、解：36c36c工字鋼工字鋼3cm962zwkg/m6 .67q作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面 ccttmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置 t t型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。試校核梁的強度。 mpa,60,mpa30ct例題mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zi （1 1）求截面形心）求截

43、面形心z1yz52解：解：（4 4）b b截面校核截面校核 ttmpa2 .27pa102 .271064. 710521046633max, ccmpa1 .46pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖kn.m5 .2kn.m4（5 5）c c截面要不要校核？截面要不要校核？ ttmpa8 .28pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）b b截面校核截面校核（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖 ttmpa2 .27max, ccmpa1 .46max,kn.m5 .2kn.m4bisfzz*q式中，式中，fq需

44、求切應力處橫截面上的剪力；需求切應力處橫截面上的剪力； iz為橫截面對中性軸的慣性矩；為橫截面對中性軸的慣性矩； sz*為橫截面上需求切應力處平行于中性軸的線以為橫截面上需求切應力處平行于中性軸的線以 上（或以下）部分的面積上（或以下）部分的面積 對中性軸的靜矩；對中性軸的靜矩； b為橫截面的寬度。為橫截面的寬度。bhyzyfq1. 矩形截面梁矩形截面梁彎曲應力bisfzzqmaxmax 切應力的分布規(guī)律：切應力的分布規(guī)律： 1) 切應力的方向與剪力同向平行。切應力的方向與剪力同向平行。 2) 切應力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中切應力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中性軸等距

45、離的點切應力均相等。性軸等距離的點切應力均相等。 3) 切應力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布。距中性軸切應力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布。距中性軸最遠的點處切應力等于零；中性軸上切應力取得該截面上最遠的點處切應力等于零；中性軸上切應力取得該截面上的最大值，其值為的最大值，其值為彎曲應力bhfq5 . 1max將將代入上式得以及1284232maxbhibhhaszz 說明：矩形截面梁任一說明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應力發(fā)生橫截面上的最大切應力發(fā)生在中性軸上，其值為該截面在中性軸上，其值為該截面上平均切應力上平均切應力fq/a的的1.5倍倍，切應力沿截面高度的分布，切應力沿截面高度的分

46、布規(guī)律如圖示。規(guī)律如圖示。 zyfq彎曲應力2.2.工字形截面梁工字形截面梁maxmin結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分翼緣部分 max腹板上的腹板上的 max，只計算腹板上的只計算腹板上的 max。 鉛垂剪應力主要腹板承受（鉛垂剪應力主要腹板承受（9597%），且），且 max min 故工字鋼最大剪應力故工字鋼最大剪應力bisfzz*q1*maxqmaxbisfzz11qmaxbhf平均式中，h1腹板的高度。b1腹板的寬度。彎曲應力3. 切應力強度條件切應力強度條件 一般截面，最大剪一般截面，最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。最大的截面的中性軸處。zyfq max梁

47、的切應力強度條件表達式為：梁的切應力強度條件表達式為：彎曲應力4. 梁的切應力強度條件在工程中的應用梁的切應力強度條件在工程中的應用 與梁的正應力強度條件在工程中的應用相似，切應力與梁的正應力強度條件在工程中的應用相似，切應力強度條件在工程中同樣能解決強度方面的三類問題，即進強度條件在工程中同樣能解決強度方面的三類問題，即進行切應力強度校核、設計截面、計算許用荷載。行切應力強度校核、設計截面、計算許用荷載。 在一般情況下，正應力對梁的強度起著決定性作用。在一般情況下，正應力對梁的強度起著決定性作用。所以在實際計算時，通常是以梁的正應力強度條件做各種所以在實際計算時，通常是以梁的正應力強度條件做

48、各種計算，以切應力強度條件進行校核即可。計算，以切應力強度條件進行校核即可。彎曲應力四、提高梁強度的措施四、提高梁強度的措施 從抗彎截面系數(shù)的計算可以推知：一般情況下，抗彎從抗彎截面系數(shù)的計算可以推知：一般情況下，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形截面系數(shù)與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形狀應該是狀應該是彎曲應力 1) 通過對矩形、圓形、工字形、正方形截面進行理論計算發(fā)現(xiàn)：在通過對矩形、圓形、工字形、正方形截面進行理論計算發(fā)現(xiàn)：在橫截面的面積橫截面的面積a相等的情況下，比值相等的情況下，比值wz/a從大到小的截面依次是：工字從大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形

49、、圓形；形、矩形、正方形、圓形；zzzz 2) 通過對具有相同截面面積的實心及空心截面進行理論分析發(fā)現(xiàn)：通過對具有相同截面面積的實心及空心截面進行理論分析發(fā)現(xiàn)：不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的wz/a總是大于實心截面總是大于實心截面的的wz/a。zzzz彎曲應力 3）對具有相同面積的矩形截面進行理論計算還發(fā)現(xiàn)：盡管截面形）對具有相同面積的矩形截面進行理論計算還發(fā)現(xiàn)：盡管截面形狀和尺寸都沒變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截狀和尺寸都沒變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截面系數(shù)不相同。立放的矩形截面面系數(shù)不相同。立放的矩形截

50、面wz/a值比平放的矩形截面值比平放的矩形截面wz/a值大值大。若若h=2b，梁平放時，梁平放時 wz/a=b/6，梁豎放時，梁豎放時 wz/a=b/3。zybhhzyb彎曲應力 注意：注意：上面我們只是單從強度觀點出發(fā)分析了截面的上面我們只是單從強度觀點出發(fā)分析了截面的選擇規(guī)律，事實上，在實際工程中，選擇截面時，除了選擇規(guī)律，事實上，在實際工程中，選擇截面時，除了考慮強度條件外，還要同時考慮穩(wěn)定性、施工方便、使考慮強度條件外，還要同時考慮穩(wěn)定性、施工方便、使用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家所看到的在實際工程中仍然大量使用實心矩形

51、截面梁，所看到的在實際工程中仍然大量使用實心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。而不常使用空心截面梁的原因。彎曲應力 gz對于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對稱于中對于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對稱于中性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時達性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時達到材料的許用應力值。到材料的許用應力值。對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關于中對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關于中性軸不對稱的截面，如性軸不對稱的截面，如t t形、槽形等。形、槽形等。彎曲應力 為了充分利用材料，理想的梁應該是在彎矩大的部位采為了充分利用材料，理想

52、的梁應該是在彎矩大的部位采用大截面，而在彎矩小的部分就采用小截面，使彎矩與截用大截面，而在彎矩小的部分就采用小截面，使彎矩與截面相對應，這種梁的橫截面尺寸在全梁范圍內(nèi)不是一個常面相對應，這種梁的橫截面尺寸在全梁范圍內(nèi)不是一個常數(shù)，而是沿著軸線有一定變化的梁稱為數(shù)，而是沿著軸線有一定變化的梁稱為。 最理想的變截面梁應該是：梁的每一個橫截面上的最大最理想的變截面梁應該是：梁的每一個橫截面上的最大正應力都恰好等于梁所用材料的彎曲許用應力，這種變截正應力都恰好等于梁所用材料的彎曲許用應力，這種變截面梁稱為面梁稱為。 彎曲應力 從強度的觀點來看，等強度梁最經(jīng)濟，能充分發(fā)揮從強度的觀點來看，等強度梁最經(jīng)濟

53、，能充分發(fā)揮材料的潛能，是一種非常理想的梁，但是從實際應用情材料的潛能，是一種非常理想的梁，但是從實際應用情況分析，這種梁的制作比較復雜，給施工帶來好多困難況分析，這種梁的制作比較復雜，給施工帶來好多困難，因此綜合考慮強度和施工兩種因素，它并不是最經(jīng)濟，因此綜合考慮強度和施工兩種因素，它并不是最經(jīng)濟合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形狀比較簡單又合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形狀比較簡單又便于加工制作的各種變截面梁，而不采用等強度梁。便于加工制作的各種變截面梁，而不采用等強度梁。彎曲應力圖示為建筑工程中常見變截面梁的情況。圖示為建筑工程中常見變截面梁的情況。 彎曲應力fpl/2abcl/2

54、q=fp/labl 改變荷載的作用方式改變荷載的作用方式 在結(jié)構(gòu)和使用條件允許的情況下，合理調(diào)整荷載的位在結(jié)構(gòu)和使用條件允許的情況下，合理調(diào)整荷載的位置及分布情況，使梁的撓度減小。置及分布情況，使梁的撓度減小。 eilfy38483maxeilfy38453max彎曲變形 減小梁的跨度減小梁的跨度 梁的撓度與其跨度的梁的撓度與其跨度的n次方成正比。因此，設法減小梁的次方成正比。因此，設法減小梁的跨度，將能有效地減小梁的撓度，從而提高梁的剛度。跨度，將能有效地減小梁的撓度，從而提高梁的剛度。eiqly4max013. 0eiqly43max107875. 0eiqly43max10326. 0l

55、/5ql/5ql/2l/2ql彎曲變形 增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度 梁的撓度與抗彎剛度成反比，材料的彈性模量梁的撓度與抗彎剛度成反比，材料的彈性模量e增大或增大或梁橫截面對中性軸的慣性矩增大均能使梁的撓度減小。梁橫截面對中性軸的慣性矩增大均能使梁的撓度減小。 不同材料的彈性模量不同材料的彈性模量e值不同，而同類材料的彈性模量值不同，而同類材料的彈性模量e值相差不大，比如對鋼材來說采用高強度鋼可以提高梁的值相差不大，比如對鋼材來說采用高強度鋼可以提高梁的強度，但由于高強度鋼與普通低碳鋼屬于同類材料，彈性強度，但由于高強度鋼與普通低碳鋼屬于同類材料，彈性模量模量e值很接近。所以，用高強度鋼并

56、不能顯著提高梁的剛值很接近。所以，用高強度鋼并不能顯著提高梁的剛度。度。彎曲變形第6節(jié) 組合變表構(gòu)件的應力與強度計算壓彎組合變形壓彎組合變形組合變形工程實例組合變形工程實例組合變形水壩水壩qfhg g組合變形工程實例組合變形工程實例壓彎組合變形壓彎組合變形組合變形 組合變形組合變形：同時產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形的變形：同時產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形的變形形式。形式。 解決組合變形的基本方法是將其分解為幾種基本變形；解決組合變形的基本方法是將其分解為幾種基本變形；分別考慮各個基本變形時構(gòu)件的內(nèi)力、應力、應變等；最后分別考慮各個基本變形時構(gòu)件的內(nèi)力、應力、應變等；最后進行疊加。進行疊加。組合變形

57、研究內(nèi)容研究內(nèi)容斜彎曲斜彎曲拉（壓）彎組合變形拉（壓）彎組合變形偏心壓縮（拉伸）偏心壓縮（拉伸） 對組合變形問題進行強度計算的步驟如下：對組合變形問題進行強度計算的步驟如下： （1）將所作用的荷載分解或簡化為幾個只引起一種基本）將所作用的荷載分解或簡化為幾個只引起一種基本變形的荷載分量；變形的荷載分量； （2）分別計算各個荷載分量所引起的應力；）分別計算各個荷載分量所引起的應力； （3）根據(jù)疊加原理，將所求得的應力相應疊加，即得到）根據(jù)疊加原理，將所求得的應力相應疊加，即得到原來荷載共同作用下構(gòu)件所產(chǎn)生的應力；原來荷載共同作用下構(gòu)件所產(chǎn)生的應力； （4）判斷危險點的位置，建立強度條件）判斷危險

58、點的位置，建立強度條件,進行強度計算。進行強度計算。組合變形平面彎曲平面彎曲斜彎曲斜彎曲 斜彎曲斜彎曲組合變形fzfyyzf 如圖示矩形截面梁，但外力如圖示矩形截面梁，但外力f的作用線只通過橫截面的的作用線只通過橫截面的形心而不與截面的對稱軸重合，此梁彎曲后的撓曲線不再位形心而不與截面的對稱軸重合，此梁彎曲后的撓曲線不再位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這類彎曲稱為于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這類彎曲稱為斜彎曲斜彎曲。 斜彎曲是兩個平面彎曲的組合。斜彎曲是兩個平面彎曲的組合。xzyf組合變形1.1.外力的分解外力的分解 將外力沿橫截面的兩個形心主軸分解。將外力沿橫截面的兩個形心主軸分解。xzyffy =f cos

59、 fy引起梁在xy的平面彎曲fz = f sin fz引起梁在xz的平面彎曲距右端為距右端為l1的橫截面上的橫截面上mz = fy l1 =f l1 cos my = fz l1 =fl1 sin ll1 xzyfyfzfy引起的彎矩引起的彎矩:fz引起的彎矩引起的彎矩:yzk由由mz 引起引起k點正應力為點正應力為zziymyyizm 由由my 引起引起k點正應力為點正應力為2. 內(nèi)力的計算內(nèi)力的計算 3. 應力的計算應力的計算組合變形yz+ + + + + + +yz+ + + + + + +式中式中 iz 和和iy分別為截面對分別為截面對z軸和軸和y軸的慣性矩；軸的慣性矩； y和和z分別

60、為所求應力點到分別為所求應力點到z軸和軸和y軸的距離。軸的距離。 計算正應力時，仍將式中的計算正應力時，仍將式中的mz 、my 、y、z以絕對值代入以絕對值代入，求得，求得和和的的 正負，根據(jù)梁的變形和所求應力點的位置直正負，根據(jù)梁的變形和所求應力點的位置直接判定（拉為正、壓為負）。接判定（拉為正、壓為負）。 yyzzizmiym mz作用作用my作用作用fy和和fz共同作用下共同作用下k點的正應力，為點的正應力，為 梁斜彎曲時梁斜彎曲時橫截面任一點橫截面任一點的正應力計算的正應力計算公式公式組合變形yz+ + + + + + +yz+ + + + + + +mz作用作用my作用作用yza試寫