第29屆復(fù)賽試卷

1、第 29 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷參考答案一 、由于湖面足夠?qū)掗煻飰K體積很小，所以湖面的絕對(duì)高度在物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變，因 此 ， 可 選 湖 面 為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 并 以 豎 直 向 下 方 向 為 正 方 向 建 立 坐 標(biāo) 系 ， 以 下 簡(jiǎn) 稱 x 系 . 設(shè) 物 塊 下底 面 的 坐 標(biāo) 為 x ， 在 物 塊 未 完 全 浸 沒(méi) 入 湖 水 時(shí) ， 其 所 受 到 的 浮 力 為 fbb2 xg( xb )(1)式 中 g 為 重 力 加 速 度 .物 塊 的 重 力 為 fg b3g(2)設(shè) 物 塊 的 加 速 度 為 a ， 根 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 有 b

2、3a fg fb(3)將 (1)和(2) 式代入(3)式 得 agb(4)xb將 x 系 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 向 下 移 動(dòng)b /而建立新坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱 X系.新舊坐標(biāo)的關(guān)系為Xxb (5)把(5)式代入(4) 式 得 ag(6)Xb(6)式表示物塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).若 X0 ， 則 a 0 ， 對(duì) 應(yīng) 于 物 塊 的 平 衡 位 置 .由(5)式可知，當(dāng)物塊處于平衡位置時(shí)，物塊下底面在x系中的坐標(biāo)為x0b (7)物 塊 運(yùn) 動(dòng) 方 程 在 X 系 中 可 寫 為 X ( t )Ac o s t(8)利 用 參 考 圓 可 將 其 振 動(dòng) 速 度 表 示 為 V ( t )A si n t(9)式

3、中為振動(dòng)的圓頻率g(10) b在(8)和(9)式中 A和 分別是振幅和初相位，由初始條件決定.在 物 塊 剛 被 釋 放 時(shí) ， 即 t0 時(shí) 刻 有 x = 0， 由 (5)式 得 X ( 0 )b (11)V ( 0 ) (12)0由(8)至(12) 式可求得 Ab(13)(14)將(10) 、(13) 和 (14) 式分別代人(8) 和(9) 式得X ( t)b c o st(15)V ( t)g bs i nt(16)由(15) 式可知，物塊再次返回到初始位置時(shí)恰好完成一個(gè)振動(dòng)周期；但物塊的運(yùn)動(dòng)始終由(15)表示是有條件的，那就是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊始終沒(méi)有完全浸沒(méi)在湖水中. 若物塊從某時(shí)

4、刻起全部浸沒(méi)在湖水中，則湖水作用于物塊的浮力變成恒力，物塊此后的運(yùn)動(dòng)將不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物塊再次返回到初始位置所需的時(shí)間也就不再全由振動(dòng)的周期決定. 為此，必須研究物塊可能完全 浸 沒(méi) 在 湖 水 中 的 情 況 . 顯 然 ，在 x 系 中 看 ，物 塊 下 底 面 坐 標(biāo) 為 b 時(shí) ，物 塊 剛 好 被 完 全 浸 沒(méi) ；由(5) 式 知 在 X 系 中 這 一 臨 界 坐 標(biāo) 值 為 XX b1b （ 17 ）即 物 塊 剛 好 完 全 浸 沒(méi) 在 湖 水 中 時(shí) ，其下 底 面 在 平 衡 位 置 以 下 X b 處 .注 意 到 在 振 動(dòng) 過(guò) 程 中 ，物 塊 下 底 面 離 平

5、衡 位 置 的 最 大 距 離 等 于 振動(dòng)的振蝠 A，下面分兩種情況討論：I A X b . 由 (13) 和 (17) 兩 式 得2(18)在這種情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中至多剛好全部浸沒(méi)在湖水中.因而，物塊從初始位置起，經(jīng)一個(gè)振動(dòng)周期，再次返回至初始位置.由(10) 式得振動(dòng)周期T2b2(19)g物 塊 從初始位置出發(fā)往返一次所需的時(shí)間t I T 2b(20)gII A X b . 由 (13) 和 (17) 兩 式 得2(21)在這種情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)從某時(shí)刻起全部浸沒(méi)在湖水表面之下.設(shè)從初始位置起，經(jīng) 過(guò) 時(shí) 間 t1 物 塊 剛 好 全 部 浸 入 湖 水 中 ， 這 時(shí) X

6、t1X b .由 (15) 和 (17)式 得cos t11(22)取 合 理 值 ， 有 t1barccos1(23)g2由 上 式 和 (16) 式 可 求 得 這 時(shí) 物 塊 的 速 度 為 V ( t1 )gb1-1(24)此 后 ，物 塊 在 液 體 內(nèi) 作 勻 減 速 運(yùn) 動(dòng) ，以 a 表 示 加 速 度 的 大 小 ，由 牛 頓 定 律 有 ag (25)設(shè) 物 塊 從 剛 好 完 全 浸 入 湖 水 到 速 度 為 零 時(shí) 所 用 的 時(shí) 間 為 t2 ，b2有 V t1a t2 0(26)由 (24)-(26)得 t211(27)()g物 塊 從初始位置出發(fā)往返一次所需的時(shí)間

7、為b2b2tII2(t1arccos111(28)t2 ) 2()gg評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) ：本題 17 分 .（6）式 2 分，（10）（ 15）（ 16）（17）（18）式各1 分，（20）式 3 分，（ 21）式 1 分，（ 23）式 3 分，（ 27）式 2 分，（ 28）式 1 分 .二 、 1.i.通過(guò)計(jì)算衛(wèi)星在脫離點(diǎn)的動(dòng)能和萬(wàn)有引力勢(shì)能可知，衛(wèi)星的機(jī)械能為負(fù)值. 由開(kāi)普勒第一定律可推知，此衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓（或圓），地心為橢圓的一個(gè)焦0.80R點(diǎn)(或圓的圓心)，如圖所示.由于衛(wèi)星在脫離點(diǎn)的速度垂a直于地心和脫離點(diǎn)的連線，因此脫離點(diǎn)必為衛(wèi)星橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)（或近地點(diǎn)）；設(shè)近地點(diǎn)（或遠(yuǎn)地點(diǎn)）離

8、地心Rb的 距 離 為 r ， 衛(wèi) 星 在 此 點(diǎn) 的 速 度 為 v . 由 開(kāi) 普 勒 第 二 定 律可 知 r v =0.80R2( 2/ Te ) 為 地 球 自 轉(zhuǎn) 的 角 速 度 .(1) 式中令 m 表 示 衛(wèi) 星 的 質(zhì) 量 ， 根 據(jù) 機(jī) 械 能 守 恒 定 律 有 1mv2GMm1m 0.80R22GMm（ 2 ）2r20.80R由 （ 1 ） 和 （ 2 ） 式 解 得 r0.28R(3)可見(jiàn)該點(diǎn)為近地點(diǎn),而脫離處為遠(yuǎn)地點(diǎn).【（3）式結(jié)果亦可由關(guān)系式：GMm1 m22GMm 直 接 求 得 】0.80 Rr0.80 R20.80R同步衛(wèi)星的軌道半徑 R滿足 GMR 2(4

9、) 由 (3) 和 (4)式 并 代 入 數(shù) 據(jù) 得 r1. 2140 k m(5)R2可見(jiàn)近地點(diǎn)到地心的距離大于地球半徑，因此衛(wèi)星不會(huì)撞擊地球.ii. 由開(kāi)普勒第二定律可知衛(wèi)星的面積速度為常量，從遠(yuǎn)地點(diǎn)可求出該常量為s1 0.80R(6)設(shè) a 和 b 分 別 為 衛(wèi) 星 橢 圓 軌 道 的 半 長(zhǎng) 軸 和 半 短 軸 ，220.28R 0.80 Rba2 0.80 0.282由 橢 圓 的 幾 何 關(guān) 系 有 aR2(8)(7)22ab衛(wèi) 星 運(yùn) 動(dòng) 的 周 期 T 為 T(9)代 人 相 關(guān) 數(shù) 值 可 求 出 T9.5h （ 10）s衛(wèi)星剛脫離太空電梯時(shí)恰好處于遠(yuǎn)地點(diǎn)，根據(jù)開(kāi)普勒第二定

10、律可知此時(shí)刻衛(wèi)星具有最小角速度，其后的一周期內(nèi)其角速度都應(yīng)不比該值小，所以衛(wèi)星始終不比太空電梯轉(zhuǎn)動(dòng)得慢；換言之，太空電梯不可能追上衛(wèi)星.設(shè)想自衛(wèi)星與太空電梯脫離后經(jīng)過(guò)1.5T（約 14 小時(shí)），衛(wèi)星到達(dá)近地點(diǎn)，而此時(shí)太空電梯已轉(zhuǎn)過(guò)此點(diǎn)，這說(shuō)明在此前衛(wèi)星尚未追上太空電梯.由此推斷在衛(wèi)星脫落后的 0-12 小時(shí)內(nèi)二者不可能相遇；而在衛(wèi)星脫落后 12-24 小時(shí)內(nèi)衛(wèi)星將完成兩個(gè)多周期的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)太空電梯完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，所以在 12-24 小時(shí)內(nèi)二者必相遇，從而可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星回 收 .2. 根據(jù)題意，衛(wèi)星軌道與地球赤道相切點(diǎn)和衛(wèi)星在太空電梯上的脫離點(diǎn)分別為其軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn).在脫離處的總能量為12

11、GMmGMmRx3Rx2GM)（ 11）此式可化為1(12)m(RxRxRx ReReRe2 Re32這 是 關(guān) 于 Rx 的 四 次 方 程 ， 用 數(shù) 值 方 法 求 解 可 得 Rx4.7Re3.0 104 km （ 13 ）【 Rx 亦 可 用 開(kāi) 普 勒 第 二 定 律 和 能 量 守 恒 定 律 求 得 . 令 ve 表 示 衛(wèi) 星 與 赤 道 相 切 點(diǎn) 即 近 地 點(diǎn) 的 速率 ， 則 有 Re v e R2x和1mve2GMm1m(Rx ) 2GMm2Re2Rx53由上兩式聯(lián)立可得到方程RxRx2GM Rx2GM0 其中除 Rx 外其余各量均已知, 因此這是關(guān)于ReRe232

12、 3Re ReReRx 的五次方程 . 同樣可以用數(shù)值方法解得Rx . 】衛(wèi)星從脫離太空電梯到與地球赤道相切經(jīng)過(guò)了半個(gè)周期的時(shí)間，為了求出衛(wèi)星運(yùn)行的周期T ，設(shè)橢圓的半Rx ReRxRe2長(zhǎng)軸為 a ，半短軸為 b ，有a(14)ba2(15)22因?yàn)槊娣e速度可表示為12(16)所以衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為Ta b(17)sx2Rs代入相關(guān)數(shù)值可得 T6.8h(18)衛(wèi)星與地球赤道第一次相切時(shí)已在太空中運(yùn)行了半個(gè)周期，在這段時(shí)間內(nèi)， 如果地球不轉(zhuǎn)動(dòng)， 衛(wèi)星沿地球自轉(zhuǎn)方向運(yùn)行 180 度，落到西經(jīng) (180110 ) 處與赤道相切 . 但由于地球自轉(zhuǎn)，在這期間地球同時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)了T / 2角度，地球自轉(zhuǎn)角速度

13、360/ 24h 15 / h ， 因 此 衛(wèi) 星 與 地 球 赤 道 相 切 點(diǎn) 位 于 赤 道 的 經(jīng) 度 為 西 經(jīng)T121（ 19）即衛(wèi)星著地點(diǎn)在赤道上約西經(jīng)121 度處 .180 1102評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 23 分.第 1問(wèn) 16分，第 i 小問(wèn) 8 分， (1)、 (2)式各 2 分，（ 4）式 2分，（ 5）式和結(jié)論共2 分 .第 ii小問(wèn) 8 分，（ 9）、（ 10）式各 2 分，說(shuō)出在 0-12小時(shí)時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星不可能與太空電梯相遇并給出正確理由共2 分，說(shuō)出在 12-24 小時(shí)時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星必與太空電梯相遇并給出正確理由共2 分.第 2 問(wèn) 7 分，(11)式 1 分，(13)

14、式 2分，（ 18）式 1 分，（ 19）式 3 分 . （數(shù)值結(jié)果允許有 5% 的相對(duì)誤差）三、 解法一 : 如圖 1 所示，建直角坐標(biāo) Oxy ， x 軸與擋板垂直，y 軸與擋板重合 . 碰撞前體系質(zhì)心的速度為v0 ，方向沿 x 軸正方向， 以 P 表示系統(tǒng)的質(zhì)心， 以 vPx 和 vPy 表示碰撞后質(zhì)心的速度分量，J 表示墻作用于小球C 的沖量的大小 . 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有J 3mvPx 3mv0（ 1）03mvPy 0（ 2）由（ 1）和（ 2）式得vPx3mv0JvPy0（ 4）y3m（ 3）可在質(zhì)心參考系中考察系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量. 在球 C 與擋板碰撞過(guò)程中，質(zhì)心的坐標(biāo)為 xPl

15、cos（5 ） yP1 l s i n（ 6）3ABO球 C 碰擋板前，三小球相對(duì)于質(zhì)心靜止，對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為零；球C 碰擋板x后，質(zhì)心相對(duì)質(zhì)心參考系仍是靜止的，三小球相對(duì)質(zhì)心參考系的運(yùn)動(dòng)是繞質(zhì)P心的轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，則三小球?qū)|(zhì)心 P的角動(dòng)量222L m Al Pm Bl Pm Cl（P 7）l CP式中 l AP 、 l BP 和 lCP 分別是 A 、 B 和 C 三球到質(zhì)心 P 的距離，由圖1 可知Cl APlcos1 lsin（ 8）l BP1 lsin2（ 9）2222222992l22422（ 10）lCPcoslsin2 ml 29圖 1由（ 7）、（ 8）、（ 9）和（

16、10）各式得 L(12cos2)（ 11）3在碰撞過(guò)程中，質(zhì)心有加速度，質(zhì)心參考系是非慣性參考系，在質(zhì)心參考系中考察動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須引入慣性力 . 但作用于質(zhì)點(diǎn)系的慣性力的合力通過(guò)質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心的力矩等于零，不影響質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量，故在質(zhì)心參考系中，相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量的變化仍取決于作用于球C 的沖量 J 的沖量矩，即有 J 2 l sinL （ 12） 【也可以3始終在慣性參考系中考察問(wèn)題，即把桌面上與體系質(zhì)心重合的那一點(diǎn)作為角動(dòng)量的參考點(diǎn)，則對(duì)該參考點(diǎn)也成立】由（ 11）和（ 12）式得J sin(13)yml (1 2cos2)球 C相對(duì)于質(zhì)心參考系的速度分量分別為（參考圖 1）vCPxl

17、CP sin(l sin| yP |)(14)AvCPylCP cosl cos(15)球 C 相對(duì) 固定參考系速度 的 x分量 為vCxvCPxvPx （ 16） 由（ 3）、（ 6）、（ 13）（ 16）各式得vCxJv0Om(1 2cos2 )（ 17）根據(jù)題意有 vCx0（ 18）P由（ 17）和（ 18）式得 Jmv0 (12（ 19）由（ 13）和（ 19）式得v0 sinB2cos)l（ 20）球 A 若先于球 B 與擋板發(fā)生碰撞， 則在球 C 與擋板碰撞后， 整個(gè)系統(tǒng)至少應(yīng)繞質(zhì)C心轉(zhuǎn)過(guò)角，即桿 AB 至少轉(zhuǎn)到沿 y 方向，如圖2 所示 . 系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò)所1需時(shí)間 t2（ 21

18、）圖 2在此時(shí)間內(nèi)質(zhì)心沿x 方向向右移動(dòng)的距離xvPx t （ 22）若 yPxxP（ 23）則球 B 先于球 A 與擋板碰撞 .vAyvBy由（ 5）、（ 6）、（ 14）、（ 16）、（ 18）、（ 21）、（ 22）和（ 23）式得arctan3（ 24）即36(25)vAx B vBx O125 分.（ 1）、（ 2）、（11）、（ 12）、（ 19）、（ 20）式各 3 分，（ 21）A評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題式 1 分，（ 22）、（ 23）式各 2分 .(24)或 (25)式 2 分 .三、解法二 : 如圖 1 所示，建直角坐標(biāo)系Oxy ， x 軸與擋板垂直， y 軸與擋板PvCy重合，

19、以 vAx、 vAy 、 vBx 、 vBy 、 vCx和 vCy 分別表示球 C 與擋板剛碰撞后A 、CB 和 C 三球速度的分量，根據(jù)題意有vCx0（ 1）C以 J 表示擋板作用于球C 的沖量的大小，其方向沿x 軸的負(fù)方向，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)圖 1組的動(dòng)量定理有J mvAxmvBx3mv0（ 2）0 mvA ymv B y mvC（ 3）(12)式xyx以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為參考點(diǎn)，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理有Jl sinmvAyl cosl cosmvBy l cosmv0l sin（ 4）因?yàn)檫B結(jié)小球的桿都是剛性的，故小球沿連結(jié)桿的速度分量相等，故有vAx vBx （ 5） vC ys i n v B y

20、 s i n v （ 7）式中 為桿 AB 與連線 AC 的夾角 .2cos由幾何關(guān)系有cos（ 8）213cos解以上各式得Jmv0 (12cos 2) （ 10）B xc o svA xc o s vA ys i n vC ys i n（6）（ 7）sinsin（ 9）213cosvAxv0 sin 2（ 11）vAyv0 sincos（ 12）vBxv0 sin 2（ 13）vBy 0 （14 ）vCyv0 sin cos（ 15）按題意，自球C 與擋板碰撞結(jié)束到球A (也可能球 B )碰撞擋板墻前，整個(gè)系統(tǒng)不受外力作用，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng) . 若以質(zhì)心為參考系，則相對(duì)質(zhì)心參考系，

21、質(zhì)心是靜止不動(dòng)的，A 、 B 和 C 三球構(gòu)成的剛性系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng). 為了求出轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，可考察球B 相對(duì)質(zhì)心的速度 . 由 (11) 到 (15) 各式，在球 C 與擋板碰撞剛結(jié)束時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心P 的速度vPxmvAxmvBx mvCx2 v0 sin2（ 16）mvAymvBymvCyvPy3m0 （17）3m3這時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為xPl cos （ 18）yP1（ 19）l s i ny3不難看出，此時(shí)質(zhì)心P 正好在球 B 的正下方，至球B 的距離為 yP ，而球 B 相vPx 1v0 sin 2A對(duì)質(zhì)心的速度 vBPxvBx（20）3OxvBPy 0 （ 21） 可見(jiàn)此時(shí)

22、球 B 的速度正好垂直BP ，故整個(gè)系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的PvBPx v0 sin角速度（22）ByPl若使球 A 先于球 B 與擋板發(fā)生碰撞，則在球C 與擋板碰撞后，整個(gè)系統(tǒng)至少應(yīng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò) / 2 角，即桿 AB 至少轉(zhuǎn)到沿 y 方向，如圖2 所示 . 系統(tǒng)繞質(zhì)心C1 轉(zhuǎn)過(guò) / 2 所需時(shí)間 t2（ 23）圖 2在此時(shí)間內(nèi)質(zhì)心沿x 方向向右移動(dòng)的距離xvPx t （ 24）若 yPx xP（ 25） 則球 B 先于球 A 與擋板碰撞 .由以上有關(guān)各式得arctan 3（ 26）即36 (27)1評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 25 分 . （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各 2 分，（ 10）

23、、（ 22）式各 3 分，（ 23）式 1 分，（ 24）、（ 25）式各 2 分，（ 26）或 (27)式 2 分 .四、 1 虛 線 小 方 框 內(nèi) 2 n 個(gè) 平 行 板 電 容 器 每 兩 個(gè) 并 聯(lián) 后 再 串 聯(lián) ， 其 電 路 的 等 效 電 容 Ct1 滿 足 下 式1n2C（ 2 ）式 中 CS（ 3 ）Ct1（ 1 ）即 Ct1kd2Cn4虛 線 大 方 框 中 無(wú) 限 網(wǎng) 絡(luò) 的 等 效 電 容 Ct2 滿 足 下 式1111）Ct224C（ 42C8C即 Ct2C（5）整 個(gè) 電 容 網(wǎng) 絡(luò) 的 等 效 電 容 為 CtCt1Ct22C （6）2Ct1Ct2n4等 效

24、電 容 器 帶 的 電 量 （ 即 與 電 池 正 極 連 接 的 電 容 器 極 板 上 電 量 之 和 ） qtS（ 7 ）Ct(n 4)2kd當(dāng) 電 容 器 a 兩 極 板 的 距 離 變 為 2 d 后 ， 2n 個(gè) 平 行 板 電 容 器 聯(lián) 成 的 網(wǎng) 絡(luò) 的 等 效 電 容 Ct1 滿 足 下 式1n 12（ 8 ）由 此 得 Ct16C（ 9）Ct12C3C3n 1整 個(gè) 電 容 網(wǎng) 絡(luò) 的 等 效 電 容 為 CtCt 1C t 26C（10）Ct 1 C t2 3n1 3整 個(gè) 電 容 網(wǎng) 絡(luò) 的 等 效 電 容 器 帶 的 電 荷 量 為 qtCt3S（ 11）(3n13

25、)2kd在 電 容 器 a 兩 極 板 的 距 離 由 d 變 為 2 d 后 ， 等 效 電 容 器 所 帶 電 荷 量 的 改 變 為qtqtqtS（12）(3n13)(n4)2 kd1Ct2Ct2S 2（ 13）電容器儲(chǔ)能變化為U2(3n13)(n4)22kd在此過(guò)程中，電池所做的功為 AqtS 2（14）(3n13)(n4)2kd外力所做的功為 AU AS 2（ 15）2 ( 3n1 3 n)(4 )k2d2. 設(shè) 金 屬 薄 板 插 入 到 電 容 器 a 后 ， a 的 左 極 板 所 帶 電 荷 量 為 q ， 金 屬 薄 板 左 側(cè) 帶 電 荷 量 為 q ，右 側(cè) 帶 電 荷

26、 量 為 (q Q) ， a 的 右 極 板 帶 電 荷 量 為 (q Q) ，與 a 并 聯(lián) 的 電 容 器 左 右 兩 極 板 帶 電 荷量 分 別 為 q 和q . 由 于 電 容 器 a 和 與 其 并 聯(lián) 的 電 容 器 兩 極 板 電 壓 相 同 ，所 以 有q q2dx3q Q（17）由（2）式和上式得dqq( q Q )CSS4kx4 k (2d x )）（ 16上 式 表 示 電 容 器 a 左 極 板 和 與 其 并 聯(lián) 的 電 容 器 左 極 板 所 帶 電 荷 量 的 總 和 ，也 是 虛 線 大 方 框 中 無(wú)限 網(wǎng) 絡(luò) 的 等 效 電 容 Ct 2 所 帶 電 荷

27、量 （ 即 與 電 池 正 極 連 接 的 電 容 器 的 極 板 上 電 荷 量 之 和 ） .q qq qq整個(gè)電容網(wǎng)絡(luò)兩端的電壓等于電池的電動(dòng)勢(shì)，即(n 1)（ 18）ct22CC將 （ 2 ）、（ 5 ） 和 （ 17 ） 式 代 入 （ 18 ） 式 得 電 容 器 a 左 極 板 帶 電 荷 量S(n 5)(2 d x)（ 19）qQ(3n 13)2 kd(3n 13)d評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 21 分 . 第 1 問(wèn) 13 分，（ 2）式 1 分，（ 5）式 2 分，（ 6）、（7 ）、（ 10）、（11）、（ 12）式各 1 分，（ 13）式 2 分 ,（ 14）式 1 分，（15）

28、式 2 分. 第 2 問(wèn) 8 分，（ 16）、（ 17）、（ 18）、（ 19）式各 2 分 .五、如圖 1 所示，當(dāng)長(zhǎng)直金屬桿在ab 位置以速度 v 水平向右滑動(dòng)到時(shí)，因切割磁力線，ac在金屬桿中產(chǎn)生由b 指向 a 的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為BL v （1）式中 L 為金屬桿在ab 位置時(shí)與大圓環(huán)兩接觸點(diǎn)間的長(zhǎng)度，由幾何關(guān)系有2l1l22R12R1 （ 2）L 2R1100I在金屬桿由 ab 位置滑動(dòng)到 cd 位置過(guò)程中， 金屬桿與大圓環(huán)接觸的兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)I1I2度 L 可視為不變，近似為 2R1 . 將（ 2）式代入（ 1）式得，在金屬桿由ab 滑動(dòng)到 cdd過(guò)程中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小始終為2BR1v

29、 （ 3）以 I、I1和 I2分別表示金屬桿、桿左和右圓弧中的電流，方向如圖 1所示，以 U ab 表示a、 b 兩端的電壓，由歐姆定律有UabI1 1 0（ 4）Uab22r0（5）bl rIl式中， l1 和 l2分別為金屬桿左、右圓弧的弧長(zhǎng). 根據(jù)提示， l1 和 l2中的電流在圓心處產(chǎn)生的磁感圖 1應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B1 kmI 1l21（ 6） B1 方向豎直向上，B2kmI 2l22 （7） B2方向豎直向下 .R1R1由（ 4）、（ 5）、（ 6）和（ 7）式可知整個(gè)大圓環(huán)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0 B2 B10 （8）無(wú)論長(zhǎng)直金屬桿滑動(dòng)到大圓環(huán)上何處，上述結(jié)論都成立，于

30、是在圓心處只有金屬桿的電流I所產(chǎn)生磁場(chǎng) .n2 （ 1 ）在金屬桿由ab 滑動(dòng)到 cd 的過(guò)程中，金屬桿都處在圓心附近，故金屬桿可近似視為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，2 IB3km R1由提示，金屬桿在ab 位置時(shí)，桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為100（ 9）aIR左 R右I1II2R方向豎直向下 . 對(duì)應(yīng)圖 1 的等效電路如圖 2，桿中的電流R左 R右（ 10）RR左右其中 R 為金屬桿與大圓環(huán)兩接觸點(diǎn)間這段金屬桿的電阻，R左 和 R右 分別為金屬桿左Rab右兩側(cè)圓弧的電阻，由于長(zhǎng)直金屬桿非?？拷鼒A心，故 Rab2R1r1 , R左 =R右R1r0 （ 11）b利用（ 3）、（9）、（ 10）和（ 11）

31、式可得 B3800km vB（ 12）圖 2R1(4 r1r0 )由于小圓環(huán)半徑R2R1 ，小圓環(huán)圓面上各點(diǎn)的磁場(chǎng)可近似視為均勻的，且都等于長(zhǎng)直金屬桿在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng) . 當(dāng)金屬桿位于ab 處時(shí)，穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量為abR22B3 （13）當(dāng)長(zhǎng)直金屬桿滑到cd 位置時(shí)， 桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小仍由(13)式表示， 但方向相反， 故穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量為cdR22 ( B3) （ 14）在長(zhǎng)直金屬桿以速度v 從 ab 移動(dòng)到cd 的時(shí)間間隔t 內(nèi)，穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量的改變?yōu)閏dab2 R22B 3 （ 15）由法拉第電磁感應(yīng)定律可得，在小圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為大

32、小為i2R22 B3 （ 16）tt在長(zhǎng)直金屬桿從ab 移動(dòng) cd 過(guò)程中，在小圓環(huán)導(dǎo)線中產(chǎn)生的感應(yīng)電流為I iiR2 B3 （ 17）2 R2r0r0 t于是，利用（ 12）和（ 17）式，在時(shí)間間隔t 內(nèi)通過(guò)小環(huán)導(dǎo)線橫截面的電荷量為Q I i tR2B3800km vBR2（ 18）r0R1r0 (4 r1r0 )評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 25 分 . （ 3）式 3 分，（4）、（ 5）式各1 分， （ 8）、（ 10）式各 3 分，（ 12）式 3 分 , （15）式 4分，（ 16）、（17）式各2 分，（18）式 3 分.六、設(shè) 重 新 關(guān) 閉 閥 門 后 容 器A 中 氣 體 的 摩 爾

33、 數(shù) 為 n1 ， B 中 氣 體 的 摩 爾 數(shù) 為 n2 ， 則 氣 體 總 摩 爾 數(shù)為 nn1把兩容器中的氣體作為整體考慮，設(shè)重新關(guān)閉閥門后容器 A中氣體溫度為T1，B中氣體溫度為 T2，重新關(guān)閉閥門之后與打開(kāi)閥門之前氣體內(nèi)能的變化可表示為U n1C T1T1 n 2 C T2 T1 （ 2 ）由于容器是剛性絕熱的，按熱力學(xué)第一定律有 U0 （3）令 V1 表 示 容 器 A 的 體 積 , 初 始 時(shí) A 中 氣 體 的 壓 強(qiáng) 為 p1 ,關(guān)閉閥門后A 中氣體壓強(qiáng)為p1 ,由 理 想 氣 體 狀 態(tài) 方 程 可 知 np 1 V 1（ 4）(p1 )V1（ 5）RT 1n1RT 1

34、1TT1由以上各式可解得T21T1T1由于進(jìn)入容器 B中的氣體與仍留在容器 A中的氣體之間沒(méi)有熱量交換，因而在閥門打開(kāi)到重新關(guān)閉的過(guò)程中留在容器 A 中的那部分氣體經(jīng)歷了一個(gè)絕熱過(guò)程，設(shè)這部分氣體初始時(shí)體積為C RCR利 用 狀 態(tài) 方 程 可 得 p1V10(p1 )V1 （ 7 ）V10 ( 壓 強(qiáng) 為 p1 時(shí) )， 則 有 p1V 1 0C( p )1V 1C（ 6 ）T1T1由（1）至（7）式得，閥門重新關(guān)閉后容器 B中氣體質(zhì)量與氣體總質(zhì)量之比n2 2 n2RCCRCRR （ 8 ）CR評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題15分. （1）式 1分，（2）式 3 分，（ 3）式 2 分，（ 4）、（ 5）

35、式各 1 分，（ 6）式 3 分，（ 7）式 1分，（8）式 3 分.七、 1. 19.2(4分，填 19.0至 19.4的，都給 4分 )10.2(4分，填 10.0至 10.4的，都給 4分 )2. 20.3(4分，填 20.1至 20.5的，都給 4分 )4.2(4分，填 4.0至 4.4的，都給 4 分)八、在 相 對(duì) 于 正 離 子 靜 止 的 參 考 系 S 中 ， 導(dǎo) 線 中 的 正 離 子 不 動(dòng) ， 導(dǎo) 電 電 子 以 速 度 v0 向 下 勻 速 運(yùn)動(dòng) ； 在 相 對(duì) 于 導(dǎo) 電 電 子 靜 止 的 參 考 系 S 中 ， 導(dǎo) 線 中 導(dǎo) 電 電 子 不 動(dòng) ， 正 離 子 以 速 度 v0 向 上 勻 速 運(yùn)動(dòng).下面分四步進(jìn)行分析.第一步，在參考系 S中，考慮導(dǎo)線 2對(duì)導(dǎo)線 1中正離子施加電場(chǎng)力的大小和方向.若 S系中一些正 離 子 所 占 據(jù) 的 長(zhǎng) 度 為 l ，則 在 S 系 中 這 些 正 離 子 所 占 據(jù) 的 長(zhǎng) 度 變 為 l ，由 相 對(duì) 論 中 的 長(zhǎng) 度 收 縮2公 式 有 ll 1v0 （ 1 ）c2設(shè)在參考系 S和 S中，每單位長(zhǎng)度導(dǎo)線中正離子電荷量分別為 和，由于離子的電荷量與慣性 參 考 系 的 選 取 無(wú) 關(guān) ， 故 ll （ 2 ）由（1）和（2）式得（ 3 ）2v 01 c2設(shè) 在