利用定積分求簡單幾何體的體積

1、1北師大版高中數(shù)學(xué)選修北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2第第四章四章定積分定積分利用定積分求簡單幾何利用定積分求簡單幾何體的體積體的體積2（一）、復(fù)習(xí)：（一）、復(fù)習(xí)：（1）、求曲邊梯形面積）、求曲邊梯形面積的方法是什么？的方法是什么？(2)、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義是什么？（是什么？（3）、微積分基本定理是什么？）、微積分基本定理是什么？ （二）新課探析（二）新課探析 yf xxv 2 ( )bavf xdx問題：函數(shù)問題：函數(shù)，x=a,xx=a,x=b=b圍成的平面圖形圍成的平面圖形繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的體積 。 ( )yf x abxyo3例例

2、1、求求由曲線由曲線142 xxy,所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 例題研究例題研究 利利用定積分求曲邊旋轉(zhuǎn)體的體積用定積分求曲邊旋轉(zhuǎn)體的體積 2410 dxxvxyox=1xy42 4xye0 x 12x xx)(12e變式練習(xí)變式練習(xí)1 1、求曲線求曲線，直線，直線， 與與軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體的體積。體的體積。答案：答案：例例2 2、如圖，是常見的冰激凌的形狀，其下方是如圖，是常見的冰激凌的形狀，其下方是一個圓錐，上方是由一段拋物線弧繞其對稱軸一個圓錐，上方是由一段拋物線弧繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一

3、周所成的形狀，尺寸如圖所示，試求其旋轉(zhuǎn)一周所成的形狀，尺寸如圖所示，試求其體積。體積。5分析：分析：解此題的關(guān)鍵是如何建立數(shù)學(xué)模型。解此題的關(guān)鍵是如何建立數(shù)學(xué)模型。將其軸截面按下圖位置放置，并建立坐標(biāo)系。將其軸截面按下圖位置放置，并建立坐標(biāo)系。則則a，b坐標(biāo)可得，再求出直線坐標(biāo)可得，再求出直線ab和拋物線和拋物線方程，方程， “冰激凌冰激凌”可看成是由拋物線弧可看成是由拋物線弧ob和線段和線段ab繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的。軸旋轉(zhuǎn)一周形成的。 ),(012a),( 44bpxy22解：解：將其軸截面按下圖位置放將其軸截面按下圖位置放置，并建立如圖的坐標(biāo)系。則置，并建立如圖的坐標(biāo)系。則， ，設(shè)拋物線

4、弧，設(shè)拋物線弧oa所在的拋物線方程為：所在的拋物線方程為：， 6),( 44b2pxy420y代入代入求得：求得：拋物線方程為：拋物線方程為：（）12 qyx),( 44b2q621xy設(shè)直線設(shè)直線abab的方程為：的方程為：，代入，代入求得：求得：直線直線abab的方程為：的方程為：所求所求“冰激凌冰激凌”的體積為：的體積為： 3401242232246212)()()(cmdxxdxx2( ),( )( )yf xym ynydyxynm推廣：與及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得幾何體積v=其中7變式引申變式引申:某電廠冷卻塔外形如圖所示某電廠冷卻塔外形如圖所示,雙曲線的一部分雙曲線的一部

5、分繞其中軸繞其中軸(雙曲線的虛軸雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中a,a是是雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線的頂點(diǎn)，c,c是冷卻塔上口直徑的兩個端點(diǎn)，是冷卻塔上口直徑的兩個端點(diǎn)，b,b 是下底直徑的兩個端點(diǎn)，已知是下底直徑的兩個端點(diǎn)，已知aa=14m,cc=18m,bb=22m,塔高塔高20m.(1)建立坐標(biāo)系，并寫出該曲線方程建立坐標(biāo)系，并寫出該曲線方程(2)求冷卻塔的容積（精確到求冷卻塔的容積（精確到10m3塔壁厚度不計，塔壁厚度不計，取取3.14）22xy114998( )8822121212 vx dyy49 dy2( )()8( )yf x,xa xbxx2 ( )bavf

6、xdx歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：求旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積求旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積由曲線由曲線，直線，直線及及軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為. .其側(cè)面積為其側(cè)面積為22( ) 1 ( )basf xfxdx側(cè) yf x求體積的過程就是對定積分概念的進(jìn)一步理解求體積的過程就是對定積分概念的進(jìn)一步理解過程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：過程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：1 1先求出先求出的表達(dá)式；的表達(dá)式；2 2代入公式代入公式9 2bavfx dx，即可求旋轉(zhuǎn)體體積的值。，即可求旋轉(zhuǎn)體體積的值。 yf x 2bavfx dx（三）、課堂小結(jié)：（三）、課堂小結(jié)：求體積的過程就是對求體積的過程就是對定積分概念的進(jìn)一步理解過程，總結(jié)求旋定積分概念的進(jìn)一步理解過程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：1 1先求出先求出的表達(dá)式；的表達(dá)式；2 2代入公式代入公式，即