二次函數(shù)一般式的圖像和性質(zhì)

1、 二次函數(shù)（一般式）圖象和性質(zhì)二次函數(shù)（一般式）圖象和性質(zhì)陳國(guó)彬陳國(guó)彬1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_，對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是_ 2怎樣把怎樣把 的圖象移動(dòng)，便可得到的圖象移動(dòng)，便可得到 的圖象？的圖象？ （h，k） 2ya xhk直線直線xh 23yx2325yx3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是 2325yx(2，5) 直線直線 x2 4在上述移動(dòng)中圖象的開(kāi)口方向、形狀、在上述移動(dòng)中圖象的開(kāi)口方向、形狀、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，哪些有變化？哪些沒(méi)頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，哪些有變化？哪些沒(méi)有變化？有變化？ 有變化的：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，有變化的：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，沒(méi)有變化的：拋物線的

2、開(kāi)口方向、形狀沒(méi)有變化的：拋物線的開(kāi)口方向、形狀 我們復(fù)習(xí)了將拋物線我們復(fù)習(xí)了將拋物線 向左平移向左平移2個(gè)單個(gè)單位再向下平移位再向下平移5個(gè)單位就得到個(gè)單位就得到 的的圖象，將圖象，將 化為一般式為化為一般式為 ，那么如何將拋物線，那么如何將拋物線 的圖的圖像移動(dòng)，得到的像移動(dòng)，得到的 圖像呢？圖像呢？ 新課新課23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx 的圖象怎樣平的圖象怎樣平移就得到移就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函數(shù)那么一般地，函數(shù)的圖象呢？的圖象呢？ 1用配方法把用配方法把2yaxbxc2ya xhk化為化為的形式。的形式。 的形式，求出頂點(diǎn)坐

3、標(biāo)和對(duì)稱軸。的形式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。215322yxx2ya xhk例例1 用配方法把用配方法把化為化為215322yxx21342x解： 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），對(duì)稱軸為），對(duì)稱軸為x32169952xx21652xx21322x答案：答案： ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，5)，對(duì)稱軸是直線對(duì)稱軸是直線 x1 的形式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)的形式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。和對(duì)稱軸。2247yxx2ya xhk2215yx練習(xí)練習(xí)1 用配方法把用配方法把化為化為 的方法和我們前面學(xué)過(guò)的用配方法解二次方程 “ ”類似具體演算如下：化為化為的形式。的形式。2用公式法把拋物線用公式法把拋物線2y

4、axbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把變形為20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線。2yaxbxc22222bbbca xxaaaa222424bacbaxaa22424bacba xaa2bca xxaa 的形式，求出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把化為21522yxx 15,1,22abc 221541144221,2112422422bacbaa 21122yx 解：在中，頂點(diǎn)為（1，2），對(duì)稱軸為直線 x1。 的形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。答案： ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）對(duì)稱軸是

5、直線 x22286yxx 2ya xhk2222yx 練習(xí)練習(xí)2 用公式法把化成32yaxbxc圖象的畫(huà)法圖象的畫(huà)法 2yaxbxc2ya xhk步驟：1利用配方法或公式法把化為的形式。2確定拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。3在對(duì)稱軸的兩側(cè)以頂點(diǎn)為中心左右對(duì)稱描點(diǎn)畫(huà)圖。 的圖像，利用函數(shù)圖像回答：例例3 畫(huà)出2286yxx (1)x取什么值時(shí)，y0？(2)x取什么值時(shí)，y0？(3)x取什么值時(shí)，y0？(4)x取什么值時(shí)，y有最大值或最小值？分析：分析：我們可以用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圖象的頂點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)作平行于y軸的直線就是圖象的對(duì)稱軸在對(duì)稱軸的一側(cè)再找兩個(gè)點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性很容易找出另兩個(gè)點(diǎn)，這四

6、個(gè)點(diǎn)連同頂點(diǎn)共五個(gè)點(diǎn)，過(guò)這五個(gè)點(diǎn)畫(huà)出圖像(1)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求出頂點(diǎn)為用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求出頂點(diǎn)為(2，2)，對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是x2. (2) 當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，y0，即圖，即圖象與象與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)(1，0)，根據(jù)軸對(duì)稱，很容，根據(jù)軸對(duì)稱，很容易知道易知道(1 ，0)的軸對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)(3，0) 又當(dāng)又當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，y6，即圖象與，即圖象與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)(0，6)，根據(jù)軸對(duì)稱，很容易知道，根據(jù)軸對(duì)稱，很容易知道(0，6)的的軸對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)軸對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)(4，6)用光滑曲線把五個(gè)用光滑曲線把五個(gè)點(diǎn)點(diǎn)(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)連結(jié)起來(lái)，就是連結(jié)起來(lái)，

7、就是22860yxx 的圖象。的圖象。 解：列表xy221006304622860yxx （2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx 由圖像知：由圖像知：(1)當(dāng)當(dāng)x1或或x3時(shí)，時(shí)， y0；(2)當(dāng)當(dāng)1x3時(shí)，時(shí)， y0；(3)當(dāng)當(dāng)x1或或x3時(shí)，時(shí)， y0；(4)當(dāng)當(dāng)x2時(shí)，時(shí)， y有最大值有最大值2。xy練習(xí)練習(xí)3 畫(huà)出畫(huà)出222yxx的圖像。的圖像。x10123y52125x=1y=x22x2 （3）開(kāi)口方向：當(dāng)）開(kāi)口方向：當(dāng) a0時(shí)，拋物線開(kāi)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)口向上；當(dāng) a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。4二次函數(shù)二次函數(shù)2yaxbxc的性質(zhì)

8、：的性質(zhì)：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)）頂點(diǎn)坐標(biāo)24,;24bacbaa（2）對(duì)稱軸是直線）對(duì)稱軸是直線2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，時(shí)，函數(shù)有最小值，如果如果a0，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，時(shí)，函數(shù)有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨隨x的增大而增大；的增大而增大；當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨隨x的增大而減小。的增大而減小。若若a0，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨隨x的增大而減?。坏脑龃蠖鴾p??；當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨隨x的增大而增大。的增大而增大。（5）增減性：）增減性： 與與y軸的交點(diǎn)坐

9、標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（為（0，c）(6)拋物線拋物線2yaxbxc與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)拋物線拋物線2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc拋物線拋物線與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其中，其中為方程為方程的兩實(shí)數(shù)根的兩實(shí)數(shù)根 與與x軸的交點(diǎn)情況軸的交點(diǎn)情況可由對(duì)應(yīng)的一元二次方程可由對(duì)應(yīng)的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)拋物線拋物線的根的判別式判定：的根的判別式判定： 0有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與拋物線與x軸相交；軸相交； 0有一個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與拋物線與x軸相切；軸相切； 0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與拋物線與x軸相離。軸相離。例例

10、4 已知拋物線已知拋物線247,yxkxkk取何值時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；取何值時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上；軸上；k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上；軸上；k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。 ，所以k4，所以當(dāng)k4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上。 ，所以k7，所以當(dāng)k7時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；拋物線頂點(diǎn)在y軸上，則頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即解：拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則當(dāng)x0時(shí)，y0，所以200407kk4022 1kba ，所以當(dāng)k2或k6時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上。拋物線頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即拋物線頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)

11、縱坐標(biāo)為0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，當(dāng)k4或k2或k6時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。224 1744044 1kkacba 所以當(dāng)x2時(shí)， 。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 當(dāng)當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)取何值時(shí)，二次函數(shù) 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因?yàn)樗援?dāng)x2時(shí)， 。因?yàn)閍20，拋物線 有最低點(diǎn)，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值總結(jié)：求

12、二次函數(shù)最值，有兩個(gè)方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：又例例6已知函數(shù)已知函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng)x為何值為何值時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。隨自變量的值的增大而減小。211322yxx 解法一： ， 102a 拋物線開(kāi)口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 對(duì)稱軸是直線x3，當(dāng) x3時(shí)，y隨x的增大而減小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二：，拋物線開(kāi)口向下， 對(duì)稱軸是直線x3，當(dāng) x3時(shí)，y隨x的增大而減小。例例7 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函數(shù)的解析式，求此函數(shù)的

13、解析式解：解：此函數(shù)圖象開(kāi)口應(yīng)向下，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為0所以應(yīng)滿足以下的條件組21041 322041mmmmm ，由解方程得121,22mm不合題意，舍去所求函數(shù)解析式為21111232 ,222yxx 。21122yxx 即 相等，則形狀相同。(1)a決定拋物線形狀及開(kāi)口方向，若aa0開(kāi)口向上；5拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0開(kāi)口向下。5拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置，由于拋物線yax2bxc的對(duì)稱軸是直線2bxa 若a，b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。，故若b0對(duì)稱軸為y軸，若a，b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

14、，5拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)x0時(shí)，yc，拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，c)， c0拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c0與y軸交于正半軸； c0與y軸交于負(fù)半軸。例例8 已知如圖是二次函數(shù)已知如圖是二次函數(shù)yax2bxc的圖的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負(fù)值象，判斷以下各式的值是正值還是負(fù)值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是幾何關(guān)系分析：已知的是幾何關(guān)系(圖形的位置、圖形的位置、形狀形狀)，需要求出的是數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)，需要求出的是

15、數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用解：解：(1)因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以a0；判斷判斷a的符號(hào)的符號(hào)(2)因?yàn)閷?duì)稱軸在因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸右側(cè)，所以軸右側(cè)，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判斷判斷b的符號(hào)的符號(hào)(3)因?yàn)橐驗(yàn)閤0時(shí)，時(shí)，yc，即圖象與，即圖象與y軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(0，c)，而圖中這一點(diǎn)在，而圖中這一點(diǎn)在y軸正軸正半軸，即半軸，即c0；判斷判斷c的符號(hào)的符號(hào)2404acba240acb240bac(4)因?yàn)轫旤c(diǎn)在第一象限，其縱坐標(biāo)因?yàn)轫旤c(diǎn)在第一象限，其縱坐標(biāo) ，且，且a0，所以，所以，故，故。判斷判斷b24ac的符號(hào)的符號(hào)

16、，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因?yàn)轫旤c(diǎn)橫坐標(biāo)小于因?yàn)轫旤c(diǎn)橫坐標(biāo)小于1，即，即12ba判斷判斷2ab的符號(hào)的符號(hào)(6)因?yàn)閳D象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為因?yàn)閳D象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正值，即的縱坐標(biāo)為正值，即a12b1c0，故故abc0；判斷判斷abc的符號(hào)的符號(hào)(7)因?yàn)閳D象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為因?yàn)閳D象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)值，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判斷判斷abc的符號(hào)的符號(hào)最大？最大？是多少時(shí)場(chǎng)地面積是多少時(shí)場(chǎng)地面積當(dāng)當(dāng)?shù)淖兓兓?，的變化而變化，隨矩形一邊長(zhǎng)隨矩形一邊長(zhǎng)矩形面積矩形面積的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，的籬

17、笆圍成矩形場(chǎng)地，用總長(zhǎng)為用總長(zhǎng)為例例sllsm.609求拋物線解析式求拋物線解析式過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)已知拋物線已知拋物線),6, 0(),0 , 3(),0 , 2(2 cbacbxaxy一般式一般式交點(diǎn)式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式1練習(xí)練習(xí)3222013222 x)(x)(xxy.的最大值和最小值的最大值和最小值數(shù)數(shù)分別在下列范圍內(nèi)求函分別在下列范圍內(nèi)求函)(cba),(p,x)a(cbxaxy.值為值為的的則則且經(jīng)過(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)是是的對(duì)稱軸的對(duì)稱軸拋物線拋物線 0320324321142303212120211000421212.d.c.b.a)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x

18、(xcbxaxy.的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為其其中中正正確確下下列列結(jié)結(jié)論論：軸軸交交于于點(diǎn)點(diǎn)與與兩兩點(diǎn)點(diǎn)，且且軸軸交交于于的的圖圖象象與與已已知知二二次次函函數(shù)數(shù) 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xy1 21xy軸相交于負(fù)半軸軸相交于負(fù)半軸且與且與圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圖象開(kāi)口向上，的圖象開(kāi)口向上，二次函數(shù)二次函數(shù)y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正確結(jié)論的序號(hào)是其中正確結(jié)論的序號(hào)是問(wèn)：給出四個(gè)結(jié)論：?jiǎn)枺航o出四個(gè)結(jié)論：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正確結(jié)論的序號(hào)其中正確結(jié)論的序號(hào)問(wèn)：給出四個(gè)結(jié)論：?jiǎn)枺航o出四個(gè)結(jié)論： acaba