二重積分的變量變換公式用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

1、 二重積分的變量變換公式二重積分的變量變換公式 用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分),(),(:vuyyvuxxtddvu),(滿(mǎn)足滿(mǎn)足上在dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式雅可比行列式上在d)2(;0),(),(),(vuyxvuj(3) 變換變換ddt:定理定理21.13,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉域在閉域設(shè)設(shè)dyxf變換變換:是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的 ,ovudoyxdt一、一、二重積分的變量變換公式二重積分的變量變換公式則則 dyxyxfdd),( dvuyvuxf),(),(vuvujdd),(oyxdovud證證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知

2、變換根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 t 可逆可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vou 直線分割區(qū)域直線分割區(qū)域 ,d任取其中一個(gè)小矩任取其中一個(gè)小矩t形形, 其頂點(diǎn)為其頂點(diǎn)為),(, ),(21vhumvum1mu4m3m2mhu vkv通過(guò)變換通過(guò)變換t, 在在 xoy 面上得到一個(gè)四邊面上得到一個(gè)四邊形形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為)4, 3, 2, 1(),(iyxmiii1m4m3m2m,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvumkvhum)(),(ohvuux14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(

3、ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy當(dāng)當(dāng)h, k 充分小時(shí)充分小時(shí),曲邊四邊形曲邊四邊形 m1m2m3m4 近似于平行四近似于平行四 邊形邊形, 故其面積近似為故其面積近似為4121mmmm14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuj),(vuvujdd),(d因此面積元素的關(guān)系為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式從而得二重積分的換元公式: dyxyxfdd),(dvuyvuxf),(),(vuvujdd),(例如例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), sin,cosryrx),(),(ryxjcossin

4、rsin cosrrdyxyxfdd),(drrrrfdd)sin,cos(例例1. 計(jì)算計(jì)算其中其中d 是是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所圍區(qū)域所圍區(qū)域. 解解則則令令 dyxyxyxdde, yxu , yxv ),(21vux ),(21uvy ),(vujxyo11vuo111 21212121 ,21 dyxyxyxdde dvuvudd21e vvvuuvded2110 10d| )e(21vvvvvu 101d)e-e (21vv4e-e1 例例2. 求拋物線求拋物線 y2 = mx, y2 = nx 和直線和直線所圍區(qū)域所圍區(qū)域 d 的面積的面積. xyx

5、y ,)0,0( nm解解令令,2xyu xyv vuo mn xyoxy xy nxy 2mxy 2dd 當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數(shù)或者被積函數(shù)含有含有 x2 + y2 時(shí)，采用極坐標(biāo)變換往往能簡(jiǎn)化二重時(shí)，采用極坐標(biāo)變換往往能簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算積分的計(jì)算. 此時(shí)此時(shí), sin,cosryrx ),(),( ryxj cos sinr sin cosrr dyxyxfdd),( drrrrf dd)sin,cos(二、二、用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 )(1 rr d)(2 rr ox )()(21d)sin,cos( rrrrrr

6、f,),()(:21 rrrd則則 drrrrf dd)sin,cos( d (ii) 若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 d 內(nèi)，則內(nèi)，則oxd)( rr )(0d)sin,cos( rrrrrf drrrrf dd)sin,cos( 20d (i) 若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 d 外，外， (iii) 若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 d 的邊界上，的邊界上， )(0d)sin,cos( rrrrrf drrrrf dd)sin,cos( doxd)( rr (iv) 若區(qū)域若區(qū)域 d 可表示為可表示為,),()(:2121rrrrrd dox )()(21d)sin,cos(rrrrf drrrrf dd)sin,cos( 11d

7、rrrr則則)(1r )(2r 2r2rr 1r1rr 例例3. 計(jì)算計(jì)算 dyxi221d 其中其中.:222ryxd 例例4. 求球體求球體 2222rzyx 被圓柱面被圓柱面xryx 22所截得的所截得的(含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的)立體的體積立體的體積. 解解由對(duì)稱(chēng)性可知由對(duì)稱(chēng)性可知 dyxrv d4222 20d4 cos022drrrrr d)sin1(342033 r)322(343 roxyzryxd drrrr dd422 cosrr 例例5. 計(jì)算計(jì)算 ,dde)(22 dyxyxi其中其中.:222ryxd 解解 drei2rerrrd02 rre02212 )1(2re 2xe 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無(wú)法用直角故本題無(wú)法用直角 ddrr 20d由于由于坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算.作極坐標(biāo)系變換，有作極坐標(biāo)系變換，有rr 例例6. 求橢球體求橢球體1222222czbyax解解: yxzvddd2yxcdb