第二章 隨機(jī)過(guò)程2-1

1、1隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 2本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容： v隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念 v隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 v隨機(jī)過(guò)程的微分和積分隨機(jī)過(guò)程的微分和積分v隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性和遍歷性隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性和遍歷性 v隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì) v復(fù)隨機(jī)過(guò)程復(fù)隨機(jī)過(guò)程 v離散時(shí)間過(guò)程離散時(shí)間過(guò)程 v正態(tài)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 32.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的基本概念及統(tǒng)計(jì)特性 一一 定義定義 在概率論中，我們對(duì)隨機(jī)變量及其特性進(jìn)行了在概率論中，我們對(duì)隨機(jī)變量及其特性進(jìn)行了研究，此時(shí)隨機(jī)變量在試驗(yàn)中的結(jié)果與時(shí)間研究，此時(shí)隨機(jī)變量在試驗(yàn)中的結(jié)

2、果與時(shí)間t t無(wú)無(wú)關(guān)。而在實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)遇到隨機(jī)變量會(huì)隨著關(guān)。而在實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)遇到隨機(jī)變量會(huì)隨著時(shí)間時(shí)間t t而變化，這時(shí)的隨機(jī)變量就稱為隨機(jī)過(guò)程。而變化，這時(shí)的隨機(jī)變量就稱為隨機(jī)過(guò)程。記為記為X(t,)X(t,)。隨機(jī)變量隨機(jī)變量 與時(shí)間無(wú)關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān) 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 與時(shí)間相關(guān)與時(shí)間相關(guān) 4 當(dāng)對(duì)接收機(jī)的噪聲電壓作當(dāng)對(duì)接收機(jī)的噪聲電壓作“單次單次”觀察時(shí)，觀察時(shí)，可以得到波形可以得到波形x x1 1(t),(t),也可能得到波形也可能得到波形x x2 2(t),(t),x x3 3(t) (t) 等等，每次觀測(cè)波形的具體形狀，雖然事先不知等等，每次觀測(cè)波形的具體形狀，雖然事先不知道，但

3、肯定為道，但肯定為所有可能所有可能波形中的一個(gè)。而這些所波形中的一個(gè)。而這些所有可能波形的集合有可能波形的集合x x1 1(t)(t)，x x2 2(t),(t),x xn n(t)(t)，就就構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)。 951.1.樣本函數(shù)樣本函數(shù)： ， ， ， ，都都是時(shí)間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。是時(shí)間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。 )(1tx)(2tx)(3tx)(txn2.隨機(jī)性：一次試驗(yàn)，隨機(jī)過(guò)程必取一個(gè)樣本隨機(jī)性：一次試驗(yàn)，隨機(jī)過(guò)程必取一個(gè)樣本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機(jī)性。因此，函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機(jī)性。因此，隨機(jī)過(guò)程不僅是時(shí)間隨機(jī)過(guò)程不僅是時(shí)間t t的函數(shù)，

4、還是可能結(jié)果的函數(shù)，還是可能結(jié)果的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為X(t,)X(t,)，簡(jiǎn)寫成，簡(jiǎn)寫成X(t)X(t)。 3.3.隨機(jī)過(guò)程的定義：隨機(jī)過(guò)程的定義： 6定義定義2 2：若對(duì)于每個(gè)特定的時(shí)間：若對(duì)于每個(gè)特定的時(shí)間 ， 都是隨機(jī)變量，則稱都是隨機(jī)變量，則稱 為隨機(jī)過(guò)程，為隨機(jī)過(guò)程， 稱為隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)過(guò)程 在在 時(shí)刻的狀態(tài)。時(shí)刻的狀態(tài)。 ), 2 , 1(iti),(itX),(tX),(itXitt )(tX定義定義1 1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間的樣本空間 ，若對(duì)，若對(duì)于每個(gè)元素于每個(gè)元素 ，總有一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)，總有一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù) 與它對(duì)應(yīng)，這樣，對(duì)于所有的與它對(duì)應(yīng)

5、，這樣，對(duì)于所有的 ，就可以得，就可以得到一簇時(shí)間到一簇時(shí)間t t的函數(shù)，稱它為隨機(jī)過(guò)程。簇中的的函數(shù)，稱它為隨機(jī)過(guò)程。簇中的每一個(gè)函數(shù)稱為樣本函數(shù)。每一個(gè)函數(shù)稱為樣本函數(shù)。 SSS),(tX7可從以下四個(gè)方面對(duì)定義進(jìn)行理解：可從以下四個(gè)方面對(duì)定義進(jìn)行理解： 1 一個(gè)時(shí)間函數(shù)族（一個(gè)時(shí)間函數(shù)族（ 和和 都是變量）都是變量） t2 一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)（一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)（ 是變量而是變量而 固定）固定） t3 一個(gè)隨機(jī)變量（一個(gè)隨機(jī)變量（ 固定而固定而 是變量）是變量） t4 一個(gè)確定值（一個(gè)確定值（ 和和 都固定）都固定） t4.4.定義的理解定義的理解 ： 8二二 分類分類 1 1 按隨機(jī)過(guò)

6、程的時(shí)間和狀態(tài)來(lái)分類按隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間和狀態(tài)來(lái)分類 連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻t1的取值的取值X(tX(t1 1) )都是連續(xù)型隨機(jī)變量，即都是連續(xù)型隨機(jī)變量，即時(shí)時(shí)間和狀態(tài)都是連續(xù)間和狀態(tài)都是連續(xù)。如圖。如圖2.12.1 離散型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻離散型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻t t1 1的取值的取值X(tX(t1 1) )都是離散型隨機(jī)變量，即都是離散型隨機(jī)變量，即時(shí)間是連續(xù)狀態(tài)是離散的時(shí)間是連續(xù)狀態(tài)是離散的( (如教材如教材p74p74圖圖2.2) 2.2) 。通常稱通常稱X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2) )為為X(t)X

7、(t)在在t=tt=t1 1和和t=tt=t2 2時(shí)時(shí)的狀態(tài)。的狀態(tài)。9 離散隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間離散隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間t只能取只能取某些時(shí)刻，如某些時(shí)刻，如 ， 2 ，.，n ，且這，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量時(shí)得到的隨機(jī)變量 是離散型隨機(jī)變是離散型隨機(jī)變量，即量，即時(shí)間和狀態(tài)都是離散的時(shí)間和狀態(tài)都是離散的。相當(dāng)于對(duì)。相當(dāng)于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程采樣后再量化連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程采樣后再量化 。 t t t )(tnX 連續(xù)隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間連續(xù)隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間t只能取只能取某些時(shí)刻，如某些時(shí)刻，如 ， 2 ，.，n ，且這，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量時(shí)得到的隨機(jī)變量 是連續(xù)型隨機(jī)變是連續(xù)型隨

8、機(jī)變量，即量，即時(shí)間是離散狀態(tài)是連續(xù)的時(shí)間是離散狀態(tài)是連續(xù)的。相當(dāng)于。相當(dāng)于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程的采樣。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程的采樣。 t t t )(tnX 102 2 按樣本函數(shù)的形式來(lái)分類按樣本函數(shù)的形式來(lái)分類 不確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本不確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)的未來(lái)值不能由過(guò)去的觀測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)函數(shù)的未來(lái)值不能由過(guò)去的觀測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。例如接收機(jī)噪聲電壓波形。測(cè)。例如接收機(jī)噪聲電壓波形。 確定的隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函確定的隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)的未來(lái)值能由過(guò)去的觀測(cè)值預(yù)測(cè)。例如，數(shù)的未來(lái)值能由過(guò)去的觀測(cè)值預(yù)測(cè)。例如，路程等于速度乘以時(shí)間路程等于速度乘以時(shí)

9、間為隨機(jī)過(guò)程至少有一個(gè)不為常數(shù)，為確定性過(guò)程為常數(shù)，)(X,)(X,)cos()(twAtwAwtAtX11 3 按概率分布的特性來(lái)分類按概率分布的特性來(lái)分類 這是一種更為本質(zhì)的分類方法，可分為：這是一種更為本質(zhì)的分類方法，可分為：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，馬爾可夫過(guò)程，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，馬爾可夫過(guò)程，獨(dú)立增量過(guò)程，獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程等等。獨(dú)立增量過(guò)程，獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程等等。 在工程技術(shù)中，按隨機(jī)過(guò)程有無(wú)平穩(wěn)性、在工程技術(shù)中，按隨機(jī)過(guò)程有無(wú)平穩(wěn)性、遍歷性，分成平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的，遍歷的和非遍歷性，分成平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的，遍歷的和非遍歷的；此外，還可按照隨機(jī)過(guò)程的功率譜特遍歷的；此外，還可按照隨機(jī)

10、過(guò)程的功率譜特性，分為寬帶或窄帶的。性，分為寬帶或窄帶的。12三三 隨機(jī)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程的概率分布 前面說(shuō)過(guò)，用定義前面說(shuō)過(guò)，用定義2 分析隨機(jī)過(guò)程方便，也就是說(shuō)，把隨機(jī)過(guò)程分析隨機(jī)過(guò)程方便，也就是說(shuō)，把隨機(jī)過(guò)程X(t)看成看成n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量X(t1 ), X(t2 ),.,X(tn ),. 的集合（的集合（ n 趨向無(wú)趨向無(wú)窮，且窮，且t = ti - ti-1 相當(dāng)?。?。這樣，就把多維隨機(jī)變量的研究代替隨相當(dāng)?。＿@樣，就把多維隨機(jī)變量的研究代替隨機(jī)過(guò)程的研究，這樣的代替足夠精細(xì)。機(jī)過(guò)程的研究，這樣的代替足夠精細(xì)。1 一維概率分布一維概率分布 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t

11、)在任意特定時(shí)刻在任意特定時(shí)刻t t1 1TT的取值的取值X(tX(t1 1) )是一維隨機(jī)變量。概率是一維隨機(jī)變量。概率PX(tPX(t1 1)x)x1 1 是取值是取值x1 1，時(shí)，時(shí)刻刻t t1 1的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為F Fx x(x(x1;1;t t1 1)=PX(t)=PX(t1 1)x)x1 1 ，稱作隨，稱作隨機(jī)過(guò)程機(jī)過(guò)程 X(t)X(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。 若若 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則有的偏導(dǎo)數(shù)存在，則有xtxFtxfXX),(),(),(txFX),(txFX常把常把 Fx(x1;t1)Fx(x1;t1)簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成132 二維概率分布二維概率分布 為了描述為了描

12、述RSRS在任意兩個(gè)時(shí)刻在任意兩個(gè)時(shí)刻t t1 1和和t t2 2的狀態(tài)間的內(nèi)的狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系在聯(lián)系, ,可以引入二維隨機(jī)變量可以引入二維隨機(jī)變量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2)的分布的分布函數(shù)函數(shù)F FX X(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2) )，它是二隨機(jī)事件，它是二隨機(jī)事件X(tX(t1 1)x)x1 1 和和X(tX(t2 2)x)x2 2 同時(shí)出現(xiàn)的概率，即同時(shí)出現(xiàn)的概率，即 F FX X(x(x1 1,x,x2;2;t t1,1,t t2 2)=P X(t)=P X(t1 1)x)x1 1,X(t,X(t2 2)x)x2 2 稱為隨機(jī)過(guò)程稱為

13、隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的二維分布函數(shù)。的二維分布函數(shù)。 若若F FX X(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2) )對(duì)對(duì)x x1 1，x x2 2的二階混合偏導(dǎo)存的二階混合偏導(dǎo)存在，則在，則 21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的二維概率密度的二維概率密度 143 n3 n維概率分布維概率分布)(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,( 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 在任意在任意n n個(gè)

14、時(shí)刻個(gè)時(shí)刻 的取的取值值)(tXnttt,21)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21ntXtXtX)(tX 構(gòu)成構(gòu)成n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 即為即為n n維空間的隨機(jī)矢量維空間的隨機(jī)矢量X X。類似的，可以定義。類似的，可以定義隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 的的n n維分布函數(shù)和維分布函數(shù)和n n維概率密度函維概率密度函數(shù)為數(shù)為15性質(zhì)：性質(zhì)： 10),;,(2121ninXttttxxxF21),;,(21nXtttF0),;,(2121nnXtttxxxf3451),;,(212121nnnnXdxdxdxtttxxxf重),;,(),;,(2121212121mnmmXnmm

15、nnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf重6 若若 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有 )(,),(),(21ntXtXtX);();();(),;,(22112121nnXXXnnXtxftxftxftttxxxf16四四 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 隨機(jī)變量隨機(jī)變量的數(shù)字特征通常是的數(shù)字特征通常是確定值確定值；隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征通常是的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)確定性函數(shù)。因此，對(duì)隨機(jī)過(guò)程。因此，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征可以采用對(duì)確定性信號(hào)的處理方法。的數(shù)字特征可以采用對(duì)確定性信號(hào)的處理方法。 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征計(jì)算方法隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征計(jì)算方法: :先把時(shí)間先把時(shí)間t t固定

16、，固定，然后用隨機(jī)變量的分析方法來(lái)計(jì)算然后用隨機(jī)變量的分析方法來(lái)計(jì)算 （這時(shí)隨機(jī)過(guò)（這時(shí)隨機(jī)過(guò)程可以理解為：程可以理解為：X(t)X(t)為隨機(jī)變量（為隨機(jī)變量（t t 為任意時(shí)為任意時(shí)刻）。刻）。 171 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t) -X(t) -在任意一時(shí)刻在任意一時(shí)刻t- t- 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(t)X(t)，將其，將其任一取值任一取值x(t)x(t)簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為x x，根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，得，根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，得dxtxxftXEtmXX);()()( 顯然，顯然， 是某一個(gè)平均函數(shù)，隨機(jī)過(guò)程的諸樣是某一個(gè)平均函數(shù)，隨機(jī)過(guò)程的諸樣本在它的附近起伏

17、變化，如圖所示：本在它的附近起伏變化，如圖所示： )(tmX如果隨機(jī)過(guò)程表示接如果隨機(jī)過(guò)程表示接收機(jī)的輸出電壓，那收機(jī)的輸出電壓，那么它的數(shù)學(xué)期望就是么它的數(shù)學(xué)期望就是輸出電壓的輸出電壓的瞬時(shí)瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)平均值。平均值。 182 2 均方值和方差均方值和方差 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t) X(t) 在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻t t的取值是一個(gè)隨的取值是一個(gè)隨機(jī)變量機(jī)變量X(t) X(t) 。我們把。我們把X(t)X(t)二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)過(guò)程的均方值，把二階中心矩記作隨機(jī)過(guò)程的過(guò)程的均方值，把二階中心矩記作隨機(jī)過(guò)程的方差。即：方差。即： dxtxfxtXEtXX);()()(222)(

18、)()()()(222tmtXEtXEtXDtXX)()()(222tmtXEtXX兩者之兩者之間關(guān)系間關(guān)系均方值均方值方方 差差19 物理意義：如果物理意義：如果 表示噪聲電壓，則表示噪聲電壓，則均方值均方值 和方差和方差 分別表示消耗在分別表示消耗在單位電阻上的單位電阻上的瞬時(shí)功率統(tǒng)計(jì)平均值瞬時(shí)功率統(tǒng)計(jì)平均值和和瞬時(shí)瞬時(shí)交交流流功率統(tǒng)計(jì)平均值功率統(tǒng)計(jì)平均值。 )(tX)(2tXE)(tXD標(biāo)準(zhǔn)差或均方差：標(biāo)準(zhǔn)差或均方差： )()()(2tXDttXX20 3 3 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 先比較具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。先比較具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 21 自相關(guān)函數(shù)

19、：用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程任意自相關(guān)函數(shù)：用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用的狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用 描述。描述。 ),(21ttRX)()(),(2121tXtXEttRX 21212121),;,(dxdxttxxfxxX當(dāng)當(dāng)t t1 1=t=t2 2時(shí)，自相關(guān)函數(shù)就是均方值時(shí)，自相關(guān)函數(shù)就是均方值 22若用隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻之間的若用隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻之間的二階混合中心矩二階混合中心矩來(lái)定義相關(guān)函數(shù)，我們稱之為自協(xié)方差。用來(lái)定義相關(guān)函數(shù)，我們稱之為自協(xié)方差。用 表示，它反映了任意兩個(gè)時(shí)刻的表示，它反映了任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值起伏值之間相關(guān)程度。之間相關(guān)程度

20、。 ),(21ttKX)()(),(2121tXtXEttKX)()()()(2211tmtXtmtXEXX212211);()()(2, 12, 1dxdxttxxftmxtmxXX 4 4 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)23自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 )()()()(),(21121tm t2XtmtXEttKXXX)()(),(2121tmtmttRXXX自協(xié)方差和方差的關(guān)系自協(xié)方差和方差的關(guān)系 )()(),(),(221tmtXEttKttKXXX)()(2ttXDXttt21令令則則)()()()()()()()(21122121tmtmtXEtmtXEtmtXt

21、XEXXXX24例：求隨機(jī)相位正弦波例：求隨機(jī)相位正弦波 的數(shù)學(xué)期望，方的數(shù)學(xué)期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，差及自相關(guān)函數(shù)。式中， 為常數(shù)，是區(qū)間為常數(shù)，是區(qū)間00， 上上均勻分布的隨機(jī)變量。均勻分布的隨機(jī)變量。解：由題可知解：由題可知（1 1）0( ) sin()x tt02000( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos( )cos02Efddsin0E同理同理( )0 xm tx25（2 2）22222( )( )( )( )( )xxxxttm

22、 ttE x t 200011sin ()1 cos(22 )1 cos(22 )22EtEtEt因?yàn)橐驗(yàn)?sin2 cos2 0EE21( )2xt2sin02sin2cos02cos1212sin02sin2cos02cos121tEtEtEtE0 20 101211cos()cos()22tttt12( , )xR t t12 ( ) ( )E x t x t122100001cos(2 )cos()2Etttt（3 3）)sin()sin(2010ttE26五五 隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù) 1 1 一維特征函數(shù)一維特征函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 在任一特定時(shí)刻在任一特定時(shí)刻t t

23、的取值是一維隨的取值是一維隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為機(jī)變量，其特征函數(shù)為: :)(tX dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(其反變換為：其反變換為： duetuCtxfjuxXX);(21);( 0);()();()(unXnnnnutuCjdxtxfXxtXE故隨機(jī)過(guò)程的故隨機(jī)過(guò)程的n n階原點(diǎn)矩函數(shù)為階原點(diǎn)矩函數(shù)為dxtxXfjuxenxnjnutuXCn);();(在特征函數(shù)兩邊對(duì)變量在特征函數(shù)兩邊對(duì)變量u u求求n n階偏導(dǎo)數(shù)，得階偏導(dǎo)數(shù)，得272 2 二維特征函數(shù)二維特征函數(shù) 12121122(,; ,)exp( )( )xCu ut tEju x tju x t

24、 212121)2211(),;,(dxdxttxxfeXxuxuj()1 12 2121212121221(,; ,)(,; ,)(2 )j u xu xxfx x x t tCu ut tedu du其反變換為：其反變換為： 1212121212( , )( ,; , )Rx t tx x fx x x t t dx dx 0212121221),;,(uuXuuttuuC在特征函數(shù)兩邊對(duì)變量在特征函數(shù)兩邊對(duì)變量u u1 1、u u2 2各求一次偏導(dǎo)數(shù)，得各求一次偏導(dǎo)數(shù)，得212121)2211(2122121212),;,(),;,(dxdxttxxfexxjuuttuuCxxuxujX

25、隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為283 n3 n維特征函數(shù)維特征函數(shù) nnnXxuxujdxdxttxxfenn111)(),;,(11)()(exp(),;,(1111nnnnXtXjutXjuEttuuC),;,(11nnXttxxfnxuxujnnXnduduettuuCnn1)(1111),;,()2 (1292.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的微分和積分隨機(jī)過(guò)程的微分和積分 隨機(jī)過(guò)程的微分和積分運(yùn)算類似于一般隨機(jī)過(guò)程的微分和積分運(yùn)算類似于一般的函數(shù)的微積分運(yùn)算，但由于涉及極限和收的函數(shù)的微積分運(yùn)算，但由于涉及極限和收斂問題，因而略有不同。斂問題，因而略有不同。一一 隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性

26、隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性 1 1 預(yù)備知識(shí)：對(duì)于確定性函數(shù)預(yù)備知識(shí)：對(duì)于確定性函數(shù)f(x)f(x)，若，若0)()(lim000 xfxxfx則則 在在 處連續(xù)。處連續(xù)。)(xf0 x302 2 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)連續(xù)性定義連續(xù)性定義 如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)滿足滿足 0)()(lim20tXttXEt則稱則稱X(t)X(t)依依均方均方意義下在點(diǎn)意義下在點(diǎn)t t連續(xù)，簡(jiǎn)稱隨機(jī)過(guò)連續(xù)，簡(jiǎn)稱隨機(jī)過(guò)程程X(t)X(t)在點(diǎn)在點(diǎn)t t均方連續(xù)均方連續(xù)( (或稱或稱m.sm.s連續(xù)連續(xù)) )。3 3 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則X(t)X(

27、t)連續(xù)連續(xù))()(2tXttXE),(),(),(),(ttRtttRtttRttttRXXXX 因此，如果對(duì)因此，如果對(duì)t t1 1,t,t2 2時(shí)刻，函數(shù)時(shí)刻，函數(shù)R RX X(t(t1 1,t,t2 2) )在在t t1 1=t=t2 2=t=t點(diǎn)上連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程點(diǎn)上連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)必在點(diǎn)必在點(diǎn)t t上連續(xù)。上連續(xù)。 314 4 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù)均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù) 證：設(shè)證：設(shè) 2222YEYEYEY)()()()(22tXttXEtXttXE 由均方連續(xù)的定義，由均方連續(xù)的定義，t0t0，則不等式左端趨于，則不等式左

28、端趨于0 0，那么不等式的右端也必趨于，那么不等式的右端也必趨于0 0（均值的平方不可（均值的平方不可能小于能小于0 0）。即）。即 EX(t+ EX(t+t)-X(t)= EX(t+t)-X(t)= EX(t+t)-EX(t)0t)-EX(t)0)()(tXttXY注意：注意：EX(t)EX(t)為確定性函數(shù)，由預(yù)備知識(shí)其值連續(xù)。為確定性函數(shù)，由預(yù)備知識(shí)其值連續(xù)。可將此結(jié)果寫成可將此結(jié)果寫成)(lim)(lim00ttXEttXEtt32二二 隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù) 預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)： 對(duì)于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的對(duì)于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的可導(dǎo)定義如下：可導(dǎo)定義如下：一

29、階可導(dǎo)：一階可導(dǎo)： 如果如果 存在，則存在，則 在在t t處可處可導(dǎo)，記為導(dǎo)，記為 。 ttfttft)()(0lim)(tf)(tf 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo): : 若若 hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(00lim存在，則存在，則 二階可導(dǎo)，記為二階可導(dǎo)，記為 ),(tsftstsf ),(2331 1 隨機(jī)過(guò)程可導(dǎo)的定義隨機(jī)過(guò)程可導(dǎo)的定義 如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程 滿足滿足 )( tX0)( )()(lim20tXttXttXEt則稱則稱 在在t t 時(shí)刻具有均方倒數(shù)時(shí)刻具有均方倒數(shù) ，表示為，表示為 )(tX)( tXttXttXdttdXtXt)()(lim)(

30、)( 0342 2 判別方法判別方法 0)()()()(lim2222211110,21 ttXttXttXttXEtt)()()()(222221111ttXttXttXttXE ),(),(),(),(2),(),(),(),(1),(),(),(),(1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX 由于上面由于上面的的X(t)是未知是未知的，判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是的，判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否均方可微的方法是采用柯西準(zhǔn)則。即下面式子

31、成立，否均方可微的方法是采用柯西準(zhǔn)則。即下面式子成立，則隨機(jī)過(guò)程均方可微。則隨機(jī)過(guò)程均方可微。而而35若若 時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)12ttt21212( ,)Rx t ttt 則則)()()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt 可見，隨機(jī)過(guò)程可見，隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)在在t t處均方可微的充分條處均方可微的充分條件為：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時(shí)，存在二階件為：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在混合偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在 2121212),(ttXttttR0),(2),(),(21212122222211112t

32、ttXXXttttRttttRttttR363 3 數(shù)字特征數(shù)字特征 （1 1）隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望）隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(tXEdtddttdXE證明：證明： )()(lim)(0ttXttXEdttdXEt ttmttmttXttXEXXtt)()(lim)()(lim00dttdmtmXX)()(37（2 2）隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機(jī)過(guò)程的）隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù) 2121221),()()(ttttRtXtXEX 證明：證明： )()(.)()(lim22221111

33、0021ttXttXttXttXEtt)()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt21212),(ttttRX)()(21tXtXE（由確定性函數(shù)二階可導(dǎo)定義）（由確定性函數(shù)二階可導(dǎo)定義）38三三 隨機(jī)過(guò)程的積分隨機(jī)過(guò)程的積分 1 1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 對(duì)于確定性函數(shù)對(duì)于確定性函數(shù) ，)(xf baniiixfdxxf10)(lim)( 其中其中 ，1 iiixxx nixi,.,2 , 1,max 392 2 隨機(jī)過(guò)程積分隨機(jī)過(guò)程積分 隨機(jī)過(guò)程隨

34、機(jī)過(guò)程X(t)X(t)在確定區(qū)間在確定區(qū)間a,ba,b上的積分上的積分為一個(gè)隨機(jī)變量，即為一個(gè)隨機(jī)變量，即 badttXY)(若有若有 0)(lim120niiitttXYEi則稱則稱 為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t) X(t) 在在a,ba,b上的均方積分上的均方積分niiiitbattXdttXY10)(lim)(40推廣到帶有推廣到帶有“權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)”的隨機(jī)過(guò)程的積分的隨機(jī)過(guò)程的積分 badthXtY),()()(式中式中“權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)”h(,t)”h(,t)是個(gè)普通函數(shù)，而是個(gè)普通函數(shù)，而Y(t)Y(t)是一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程均方可積的充分條件均方可積的充分條件 babaXd

35、2121dtt)t ,t (R413 3 數(shù)字特征數(shù)字特征 （1 1）隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)）隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望的積分。期望的積分。 badttXEYE)(niiiitttXE10)(limniiittXE10)(limbadttXE)(baXdttm)(證明：證明：即即babadttXEdttXE)()(42（2 2）隨機(jī)過(guò)程積分的均方值和方差）隨機(jī)過(guò)程積分的均方值和方差 隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；其方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二函數(shù)的二重積分；其方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二重積分。重積分。 ba

36、badttXdttXEYE22112)()( babadtdttXtXE2121)()( babadtdttXtXE2121)()( babadtdttXtXE2121)()( babaXdtdtttR2121),(43222YEYEY babababaXdttXEdttXEdtdtttR22112121)()(),( babaXXXdtdttmtmttR212121)()(),( babaXdtdtttK2121),(44(3) (3) 隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù)：等于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù)：等于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)t t1 1,

37、,后對(duì)后對(duì)t t2 2積分）積分） 101)()(tdXtY202)()(tdXtY120021)()(),(ttYdXdXEttR 1200)()(ttddXXE 1200),(ttXddR為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程452.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和遍歷性過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和遍歷性過(guò)程 在通信中，常常把穩(wěn)定狀態(tài)下的隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)作在通信中，常常把穩(wěn)定狀態(tài)下的隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)作平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)處理，這樣，對(duì)這個(gè)隨機(jī)過(guò)程任何平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)處理，這樣，對(duì)這個(gè)隨機(jī)過(guò)程任何時(shí)候來(lái)測(cè)量，都會(huì)得到同樣的結(jié)果，從而大大簡(jiǎn)化時(shí)候來(lái)測(cè)量，都會(huì)得到同樣的結(jié)果，從而大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)模型。對(duì)一些非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，在較短的了數(shù)學(xué)模型。對(duì)

38、一些非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，在較短的時(shí)間內(nèi)，常常把它作為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)處理。時(shí)間內(nèi)，常常把它作為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)處理。 然而，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，計(jì)算其一階和二階統(tǒng)然而，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，計(jì)算其一階和二階統(tǒng)計(jì)特性是很困難的，而計(jì)算其一定時(shí)間內(nèi)的算術(shù)平計(jì)特性是很困難的，而計(jì)算其一定時(shí)間內(nèi)的算術(shù)平均值相對(duì)容易。如果其統(tǒng)計(jì)特性與算術(shù)平均特性在均值相對(duì)容易。如果其統(tǒng)計(jì)特性與算術(shù)平均特性在概率意義下相等，我們稱之為遍歷性，也叫各態(tài)歷概率意義下相等，我們稱之為遍歷性，也叫各態(tài)歷經(jīng)性。經(jīng)性。46 一一 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可以分為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和寬平平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可以分為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和寬平 穩(wěn)隨機(jī)過(guò)

39、程兩種。穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程兩種。1 1 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(1) (1) 定義定義 如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的n n和和 ，隨機(jī)過(guò)程，隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的的 n n維概率密度滿足：維概率密度滿足：)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X則稱則稱X(t) X(t) 為嚴(yán)平穩(wěn)（或狹義）隨機(jī)過(guò)程為嚴(yán)平穩(wěn)（或狹義）隨機(jī)過(guò)程 。47(2) (2) 一、二維概率密度及數(shù)學(xué)特征一、二維概率密度及數(shù)學(xué)特征 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)111( )()XXE X tx fx dxm222111( )

40、( )XXE Xtx fx dx 22111( )()( )XXXD X txmfx dx);();(1111txftxfXX)()0;(111xfxfXXt48 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度只與嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度只與t t1 1,t,t2 2的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān) );,(), 0 ;,(),;,(),;,(),;,(,2112212121,21212121121xxfttxxfttxxfttxxfttxxfXXXtttXX)();,(),(21212121XXXRdxdxxxfxxttR)()()()(),(),(212121XXXXXX

41、XXKmmRtmtmttRttK49(3)(3)嚴(yán)平穩(wěn)的判斷嚴(yán)平穩(wěn)的判斷 按照嚴(yán)平穩(wěn)的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否按照嚴(yán)平穩(wěn)的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其n n維概率密度，可是求維概率密度，可是求n n維維概率密度是比較困難的。不過(guò)，如果有一個(gè)反例，概率密度是比較困難的。不過(guò)，如果有一個(gè)反例，就可以判斷某隨機(jī)過(guò)程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法就可以判斷某隨機(jī)過(guò)程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法有兩個(gè)有兩個(gè)(1) (1) 若若X(t)X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，為嚴(yán)平穩(wěn)，k k為任意正整數(shù)，則為任意正整數(shù)，則 與時(shí)間與時(shí)間t t無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 )(tXEk(2) (2) 若若X(t)X(t

42、)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對(duì)于任一時(shí)刻為嚴(yán)平穩(wěn)，則對(duì)于任一時(shí)刻t t0 0，X(tX(t0 0) )具具有相同的統(tǒng)計(jì)特性。有相同的統(tǒng)計(jì)特性。502 2 寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程XXmtm)()()(22tXEtX若隨機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程 X(t)X(t)滿足滿足)()()(),(2121XXRtXtXEttR則稱則稱X(t)X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的均方值有嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的均方值有界，則此過(guò)程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對(duì)于正界，則此過(guò)程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對(duì)于正態(tài)過(guò)程，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。態(tài)過(guò)程，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)

43、。 求求n n維概率密度比較困難，有時(shí)只用到一、二階維概率密度比較困難，有時(shí)只用到一、二階矩，例如功率（均方值和方差）和功率譜密度（自相矩，例如功率（均方值和方差）和功率譜密度（自相關(guān)函數(shù)），因此，平穩(wěn)性的定義不需要那么嚴(yán)格。關(guān)函數(shù)），因此，平穩(wěn)性的定義不需要那么嚴(yán)格。51二二 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1 0)()0(22XXtXER平均功率平均功率 性質(zhì)性質(zhì)2 2 )()(XXRR)()(XXKK偶對(duì)稱性偶對(duì)稱性 性質(zhì)性質(zhì)3 3 )()0(XXRR)()0(2XXXKK極值性極值性證：證：任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即0)()(

44、2tXtXE0)()()(2)(22tXtXtXtXE對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程X(t)X(t)，有，有)0()()(22XRtXEtXE代入前式，可得代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是于是)()0(XXRR同理同理)()0(2XXXKK52性質(zhì)性質(zhì)4 4 對(duì)周期性平穩(wěn)過(guò)程對(duì)周期性平穩(wěn)過(guò)程X(t)=X(t+T)X(t)=X(t+T)，T T為周為周 期，有期，有 。 )()(TRRXX證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR性質(zhì)性質(zhì)5 5 若平穩(wěn)過(guò)程含有一個(gè)周期分量，若平穩(wěn)過(guò)程含有一個(gè)

45、周期分量，則則 含有同一個(gè)周期分量。含有同一個(gè)周期分量。 )(XR53若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)不含有任何周期分量不含有任何周期分量，則，則性質(zhì)性質(zhì)6 6 2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK對(duì)于此類非周期的平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)增大對(duì)于此類非周期的平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)增大 時(shí)，隨機(jī)時(shí)，隨機(jī)變量變量X(t)X(t)與與X(t+)X(t+)之間的相關(guān)性會(huì)減弱；在之間的相關(guān)性會(huì)減弱；在 的極限情況下，兩者相互獨(dú)立，故有的極限情況下，兩者相互獨(dú)立，故有證：證：)()(lim)(limtXtXERX2)()(limXmtXEtXE亦即亦即2)()(limXXXmRR同理，可求得同理，可

46、求得0)()(limXXKK54性質(zhì)性質(zhì)7 7 若平穩(wěn)過(guò)程若平穩(wěn)過(guò)程含有平均分量含有平均分量( (均值均值) ) ，則相，則相關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于 , , 即即2XmXm2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若若X(t)X(t)是非周期的，則是非周期的，則由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEK由此由此2)()(XXXmKR若若X(t)X(t)是非周期，則有是非周期，則有2)(XXmR證：證：)()0()0(2XXXXRRK且在且在t=0t=0時(shí)時(shí), ,可得可得55平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必須滿足平穩(wěn)隨機(jī)

47、過(guò)程必須滿足對(duì)所有對(duì)所有 均成立。均成立。 性質(zhì)性質(zhì)8 8 0)(deRjX自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負(fù)，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負(fù)，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。注注：平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差的典型曲線平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差的典型曲線56平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間此值在此值在 1 1，11之間之間 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)22)()0()()(XXXXXXmRKKr0)(Xr1)(Xr0)(Xr0)(Xr表示不相關(guān)表示不相關(guān)表示完全相關(guān)。表示完全相關(guān)。表示正相關(guān)，表明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨表示正相關(guān)，表明

48、兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號(hào)相同可能性大。機(jī)變量與均值之差）之間符號(hào)相同可能性大。表示負(fù)相關(guān)，表明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨表示負(fù)相關(guān)，表明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號(hào)相反可能性大。機(jī)變量與均值之差）之間符號(hào)相反可能性大。57相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間定義：定義：當(dāng)相關(guān)系數(shù)中的時(shí)間間隔大于某個(gè)值，可以認(rèn)為兩當(dāng)相關(guān)系數(shù)中的時(shí)間間隔大于某個(gè)值，可以認(rèn)為兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值不相關(guān)了，這個(gè)時(shí)間就稱為相關(guān)時(shí)間。個(gè)不同時(shí)刻起伏值不相關(guān)了，這個(gè)時(shí)間就稱為相關(guān)時(shí)間。 通常把相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于通常把相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于0.050.05的時(shí)間間隔的時(shí)間間隔 ，記，記做相關(guān)時(shí)間做相關(guān)時(shí)間,

49、 , 即即: : 時(shí)的時(shí)間間隔時(shí)的時(shí)間間隔 為相關(guān)時(shí)間為相關(guān)時(shí)間。05. 0)(0Xr0 有時(shí)我們用矩形（高為有時(shí)我們用矩形（高為 , ,底為底為 的矩形）面的矩形）面積等于陰影面積積等于陰影面積( ( 積分的一半）來(lái)定義相關(guān)時(shí)間，即積分的一半）來(lái)定義相關(guān)時(shí)間，即1)0(Xr0)(Xr00)( drX物理意義物理意義相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間 越小，就意味著相關(guān)系數(shù)越小，就意味著相關(guān)系數(shù) 隨隨 增加而降落增加而降落的越快，這表明隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化越劇烈。反之，的越快，這表明隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化越劇烈。反之， 越越大，則表時(shí)隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化越慢。大，則表時(shí)隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化越慢。0)(Xr05805010

50、0-4-2024050100-10-50510兩個(gè)不同相關(guān)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù) 10100059例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 R RX X( ( )=100e)=100e-10|-10| | |+100cos10+100cos10 +100+100 求求X(t)X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。 R RX X( ( )=)=（100cos10100cos10 ）+ +（100e100e-10|-10| | |+100+100） = R= RX1X1( ( )+ R)+ RX2X2( ( ) )式中，式中，R RX1X

51、1( ( )=100cos10)=100cos10 是是X(t)X(t)中周期分量的自相中周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值關(guān)函數(shù)，此分量的均值m mx1x1=0; R=0; RX2X2( ( )=100e)=100e-10|-10| | |+100+100是是X(t)X(t)的非周期分量的自相關(guān)函數(shù)，的非周期分量的自相關(guān)函數(shù)，由性質(zhì)由性質(zhì)6 6，可得，可得22( )10XXmR 所以有所以有解：解：200)0(300)0()(1022221XXXXXXXmRRtXEmmm60三三 遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性 隨機(jī)過(guò)程是一族樣本函數(shù)的集合，因此，要得隨機(jī)過(guò)程是一族樣本函數(shù)的集合，因此

52、，要得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，需對(duì)大量的樣本函數(shù)進(jìn)行到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，需對(duì)大量的樣本函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均或綜合平均，很不方便。統(tǒng)計(jì)平均或綜合平均，很不方便。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，對(duì)一個(gè)樣本函平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，對(duì)一個(gè)樣本函數(shù)進(jìn)行時(shí)間平均是否能得到概率意義下的統(tǒng)計(jì)平均數(shù)進(jìn)行時(shí)間平均是否能得到概率意義下的統(tǒng)計(jì)平均呢？呢？ 答案是肯定的答案是肯定的這樣的隨機(jī)過(guò)程稱為遍歷過(guò)這樣的隨機(jī)過(guò)程稱為遍歷過(guò)程或各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。這樣，由任一樣本函數(shù)就可以程或各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。這樣，由任一樣本函數(shù)就可以得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。61定義定義如果它依概率如果它依概率1 1收斂于集合均值，

53、收斂于集合均值，即即則稱則稱X(t)X(t)的均值具有遍歷性。的均值具有遍歷性。則稱則稱X(t)X(t)自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性 。如果它依概率如果它依概率1 1收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，即即TTTdttXTtXtXA)(21lim)()(TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),(XmtXEtXtXA)()()()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt為時(shí)間均值，為時(shí)間均值，定義時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為定義時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為 62 如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 X(t),X(t),它的它的各種時(shí)間平均各種時(shí)間平均（時(shí)間足夠長(zhǎng)）依

54、概率（時(shí)間足夠長(zhǎng)）依概率1 1收斂于相應(yīng)的集合平均收斂于相應(yīng)的集合平均, ,則稱則稱X(t)X(t)具有嚴(yán)格遍歷性具有嚴(yán)格遍歷性, ,并稱它為嚴(yán)遍歷過(guò)程。并稱它為嚴(yán)遍歷過(guò)程。 嚴(yán)遍歷性的定義嚴(yán)遍歷性的定義 寬遍歷性的定義寬遍歷性的定義 設(shè)設(shè)X(t)X(t)是一個(gè)是一個(gè)平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程, ,如果其如果其均值均值和和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性都具有遍歷性, ,則稱則稱X(t)X(t)為寬為寬( (或廣義或廣義) )遍歷過(guò)程遍歷過(guò)程, ,或簡(jiǎn)稱遍歷過(guò)程?；蚝?jiǎn)稱遍歷過(guò)程。632 2 遍歷過(guò)程的實(shí)際應(yīng)用遍歷過(guò)程的實(shí)際應(yīng)用 一般隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均是隨機(jī)變量，但遍歷一般隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均是隨機(jī)變量

55、，但遍歷過(guò)程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)過(guò)程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作的時(shí)間平均代替整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作中，時(shí)間中，時(shí)間T T不可能無(wú)限長(zhǎng)，只要足夠長(zhǎng)即可。不可能無(wú)限長(zhǎng)，只要足夠長(zhǎng)即可。 遍歷過(guò)程的遍歷過(guò)程的物理意義物理意義：若遍歷過(guò)程代表是噪聲電：若遍歷過(guò)程代表是噪聲電壓，則均值就是它的直流分量，壓，則均值就是它的直流分量，TTTXdttxTR)(21lim)0(2TTxTXdtmtxT22)(21lim方差表示噪聲電壓消耗在方差表示噪聲電壓消耗在1 1歐電阻上歐電阻上交流平均功率交流平均功率，標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)差代表交流電壓的有效值。差代表交流電壓的有效值。對(duì)自相關(guān)函數(shù)，令對(duì)自相關(guān)函數(shù)，令t t0 0，則