梅涅勞斯定理

1、課題引入課題引入 幾何主要研究平面幾何圖形和空間幾何幾何主要研究平面幾何圖形和空間幾何圖形的度量性質(zhì)及位置關(guān)系。圖形的度量性質(zhì)及位置關(guān)系。研究問題，研究問題，先簡單后復(fù)雜先簡單后復(fù)雜，對于，對于三點，我們研究三點，我們研究平面圖形中邊數(shù)平面圖形中邊數(shù)最少的封閉圖形三角形中三點共最少的封閉圖形三角形中三點共線的問題線的問題. . 對于給定的三點或四點對于給定的三點或四點,更多的點更多的點的位置關(guān)系是什么情況呢？的位置關(guān)系是什么情況呢？梅涅勞斯梅涅勞斯（ menelaus ）定理定理共線的充要條件是延長線上的點，則它們或其三邊分別為設(shè)abca,bc,abczy,x,1zbazyacyxcbxbac

2、xyz說明：本節(jié)出現(xiàn)的比值都是指有向線段的比說明：本節(jié)出現(xiàn)的比值都是指有向線段的比1zbzayaycxcxb或或證明：（必要性）證明：（必要性） dab/于交作過點xyzcdcbacxyzdxcbxyacyzbazyacyxcbx從而從而zbazzadzzdbz1zdbzzadz（充分性） 設(shè)直線設(shè)直線xy與與ab相交于點相交于點z，由上述定，由上述定理有：理有：zbacxyz1bzzayacyxcbx1zbazyacyxcbx又已知又已知bzzazbaz重合和 zz說明： 在證明的過程中，假設(shè)了點在證明的過程中，假設(shè)了點z的存在的存在，若若z不存在不存在,則則xyab，bacxy我們稱我們稱

3、xy交交ab于于ab上的無窮遠點上的無窮遠點z，并且約定，并且約定1bzza這樣，命題依然成立這樣，命題依然成立 定理的結(jié)構(gòu)分析。定理的結(jié)構(gòu)分析。1zbzayaycxcxb1zbazyacyxcbxbacxyz或或 利用梅涅勞定理證明時，利用梅涅勞定理證明時， 必須先找一個三角形，必須先找一個三角形， 使得使得x x、y y、z z剛好在我們剛好在我們 要找的三角形三邊所在要找的三角形三邊所在 的直線上的直線上. .bacxyzacxabxssxcbxxacaxacbaxaxabsin21sin211sinsinsinsinsinsinzcbaczybacbyxacbax梅涅勞斯定理（角元形式）梅涅勞斯定理（角元形式）bacxyz 定理的變形。定理的變形。定理的推廣研究定理的推廣研究 思考思考1：對于任意的凸四邊形，凸五邊：對于任意的凸四邊形，凸五邊形呢？形呢？1a2a3a4a1b2b3b4b?1444433332222111abbaabbaabbaabba思思考考2：,321eacedcbdfbafabcabcabcfed且上，邊的分別在三角形設(shè)3