公務(wù)員考試——數(shù)量關(guān)系公式

1、數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)一、數(shù)列1.等差數(shù)列： 中項(xiàng)求和公式n為奇數(shù)時(shí)： n為偶數(shù)時(shí)： 2.等比數(shù)列： 3.某些數(shù)列的前n項(xiàng)和 奇數(shù)項(xiàng)和：1+3+5+(2n-1)=n2 【項(xiàng)數(shù)為時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和減偶數(shù)項(xiàng)和為數(shù)列中項(xiàng)】 偶數(shù)項(xiàng)和：2+4+6+(2n)=n(n+1) 平方數(shù)列求和：12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1) 立方數(shù)列求和：13+23+33+n3=n(n+1)2 二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公式1.乘法公式立方和：a+b=(a+b)(a-ab+b) 立方差：a- b=(a-b)(a+ab+b)完全立方和/差：(ab)=a3ab+3abb 裂項(xiàng)公式：加權(quán)平均數(shù)： 調(diào)和平均數(shù)：二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

2、：分期付款(按揭貸款) ：每次還款元（貸款a元，n次還清，每期利率為b）2.幾何公式 扇形：周長(zhǎng)L=(nr/180)+2r 面積S=nr2/360 圓柱：表面積S=2rh+2r2 體積V=r2h 球體：表面積S=4r2 體積V=r3 圓錐：表面積S=r2+r2R【R為母線】 體積V=r2h 正四面體：表面積 體積 3.幾何問題其他結(jié)論：所有表面積相等的立體圖形中，球的體積最大，越接近球體，體積越大。n條直線最多可以將平面分為1+ n(n+1)個(gè)區(qū)域。n個(gè)圓相交最多可以有 n(n-1)個(gè)交點(diǎn)。一個(gè)正方形被分割成若干小正方形，除了不能分為2個(gè)、3個(gè)、5個(gè)，其他數(shù)量都可完成。 滿足勾股定理的三邊有：

3、【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】已知三角形最長(zhǎng)邊為n，三邊均為整數(shù)，這樣的三角形有多少個(gè)? n=2k-1時(shí)，為k2個(gè)三角形； n=2k時(shí)，為(k+1)k個(gè)三角形。已知邊長(zhǎng)為a、b、c的長(zhǎng)方體由邊長(zhǎng)為1的小立方體組成。則一共有abc個(gè)小立方體； 內(nèi)部看不見的立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面的小立方體有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)歐拉定理：VFE=2 (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F) E=各面多邊形邊數(shù)和的一半。若每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂

4、點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：立體涂色問題：一個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方體，由n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成。最外層涂色，則：3面被涂色的小正方體有8個(gè) 2面被涂色的小正方體有(n-2)12個(gè) 1面被涂色的小正方體有(n-2)6個(gè) 0面被涂色的小正方體有(n-2)個(gè) 總共被涂色的有n(n-2)個(gè)3、 數(shù)字特性1.倍數(shù)關(guān)系 若ab=mn(m，n互質(zhì))，則a是m的倍數(shù)；b是n的倍數(shù)；ab是mn的倍數(shù)。若x=mny(m，n互質(zhì))，則x是m的倍數(shù)；y是n的倍數(shù)。2. 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的關(guān)系：最大公約數(shù)最小公倍數(shù)=兩數(shù)的積3.奇偶運(yùn)算法則 加減規(guī)律：奇奇=偶偶=偶；奇偶=奇； 乘法規(guī)律：奇偶=偶偶=偶；奇奇=奇

5、；【有奇為偶，無偶為奇】4.基本冪數(shù)周期 2n的尾數(shù)周期為4，分別為2，4，6，8 3n的尾數(shù)周期為4，分別為3，9，7，1 4n的尾數(shù)周期為2，分別為4，6 5n，6n的尾數(shù)不變； 7n的尾數(shù)周期為4，分別為7，9，3，1 8n的尾數(shù)周期為4，分別為8，4，2，6 9n的尾數(shù)周期為2，分別為9，1 nn(n10)的尾數(shù)為n末位的冪的尾數(shù)。4.整除判定法則能被2、4、8、5、25、125整除的數(shù)的數(shù)字特性能被2(或5)整除的數(shù)，末一位數(shù)能被2(或5)整除；能被4(或 25)整除的數(shù)，末兩位數(shù)能被4(或25)整除；能被8(或125)整除的數(shù)，末三位數(shù)能被8(或125)整除；一個(gè)數(shù)被2(或5)除得

6、的余數(shù)，就是其末一位數(shù)被2(或5)除得的余數(shù)；一個(gè)數(shù)被4(或 25)除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)被4(或 25)除得的余數(shù)；一個(gè)數(shù)被8(或125)除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)被8(或125)除得的余數(shù)。能被3(或9)整除的數(shù)，各位數(shù)字和能被3(或9)整除；一個(gè)數(shù)被3(或9)除得的余數(shù)，就是其各位相加后被3(或9)除得的余數(shù)。 能被7整除的數(shù)，其末一位數(shù)的2倍與剩下數(shù)之差，能被7整除；其末三位數(shù)與剩下數(shù)之差，能被7整除。如362，末一位的2倍為4，與剩下數(shù)36之差為32不能被7整除如12047，末三位047與剩下數(shù)12之差為35能被7整除能被11整除的數(shù)，奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和之差，能被11整除。當(dāng)

7、且僅當(dāng)其末三位數(shù)與剩下數(shù)之差，能被11整除。 如7394，奇數(shù)位和7+9=16，偶數(shù)位和3+4=7，16-7=9不能被11整除 如15235，末三位235與剩下數(shù)15之差為220能被11整除111 能被7(11或13)整除的數(shù)，其末三位數(shù)與剩下數(shù)之差，能被7(11或13)整除。將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組分段，奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差能被7(11或13)整除。5.剩余定理 余同加余：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，因?yàn)橛鄶?shù)都是1，則取1，公倍數(shù)做周期，則這個(gè)數(shù)為60n+1 和同加和：一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，因?yàn)?+3=5+2=6+1，則取7，公倍數(shù)

8、做周期，則這個(gè)數(shù)為60n+7 差同減差：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，因?yàn)?-1=5-2=6-3，則取3，公倍數(shù)做周期，則這個(gè)數(shù)為60n-3【例題】：三位的自然數(shù)N滿足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，則符合條件的自然數(shù)n有幾個(gè)?A.8 B.9 C.15 D.16【解析】4、5、6的最小公倍數(shù)是60，可以算出這個(gè)數(shù)為60n+3，已知的條件n是一個(gè)三位數(shù)，所以n可以取2到16的所有整數(shù)，共15個(gè)。6.余數(shù)定理定理1：兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和（1）73=1，53=2，則（7+5）3的余數(shù)就等于1+2=3，所以余0（2）83=2，53=2，2+2=43，4

9、31，則（8+5）3的余數(shù)就等于1【例題】有8個(gè)盒子分別裝有17個(gè)、24個(gè)、29個(gè)、33個(gè)、35個(gè)、36個(gè)、38個(gè)和44個(gè)乒乓球，小趙取走一盒，其余的被小錢、小孫、小李取走，已知小錢和小孫取走的乒乓球個(gè)數(shù)相同，并且是小李取走的兩倍，則小趙取走的各個(gè)盒子中的乒乓球最可能是（）。A.29個(gè) B.33個(gè) C.36個(gè) D.38個(gè)【解析】小錢和小孫都是小李的兩倍，即小李是1份，小錢和小孫都是2份，三個(gè)人加起來是5份，也就是說三個(gè)人的和是5的倍數(shù)。因此，小李+小錢+小孫=總數(shù)量-小趙=5的倍數(shù)，總數(shù)量與小趙關(guān)于5同余。用定理1計(jì)算總數(shù)量除以5的余數(shù)，17個(gè)、24個(gè)、29個(gè)、33個(gè)、35個(gè)、36個(gè)、38個(gè)、

10、44個(gè)除分別余2、余4、余4、余3、余0、余1、余3、余4。2+4+4+3+0+1+3+4=215=41，總數(shù)量除以5余1，因此小趙除以5也余1。選C定理2：兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積（1）73余1，53余2，則（75）3的余數(shù)就等于12=2，所以余2（2）83=2，53=2，2+2=43，431，則（85）3的余數(shù)就等于1 【例題】有一條長(zhǎng)1773mm的鋼管，把它鋸成長(zhǎng)度分別為41mm和19mm兩種規(guī)格的小鋼管，結(jié)果恰好用完，則可能鋸成41mm的鋼管（）段。A.20 B.31 C.40 D.52【解析】設(shè)長(zhǎng)度為41mm的鋼管x段，19mm的鋼管y段，可列方程41x+1

11、9y=1773，19y顯然能被19整除，而177319=936，因此41x19一定也余6，又4119余3，根據(jù)定理2，x19只能余2，選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)滿足此條件，應(yīng)選C數(shù)量關(guān)系經(jīng)典題型1、 日期問題1.每個(gè)世紀(jì)前99年，能被4整除的是閏年；每個(gè)世紀(jì)最后一年，能被400整除的是閏年。2.平年有52個(gè)星期零1天，一年后的這一天星期數(shù)變化加1；閏年有52個(gè)星期零二天。3.月歷分析：七月前單月為大月，雙月為小月【1，3，5，7，8，10，12】 八月后單月為小月，雙月為大月【4，6，9，11】每月1，2，3日對(duì)應(yīng)的星期數(shù)可能出現(xiàn)5次。大月當(dāng)月1，2，3日對(duì)應(yīng)的星期數(shù)出現(xiàn)5次；小月當(dāng)月1，2日對(duì)應(yīng)的星期

12、數(shù)出現(xiàn)5次；閏年2月有29天，當(dāng)月1日對(duì)應(yīng)的星期出現(xiàn)5次。二、年齡問題：利用年齡差不變，可列方程求解。三、植樹問題1.不封閉路線兩端植樹：顆樹=全長(zhǎng)/間距1 兩端不植樹：顆數(shù)=全長(zhǎng)/間距1 2.封閉路線：顆數(shù)=全長(zhǎng)/間距4、 方陣問題1. 從內(nèi)向外：每層人數(shù)依次增加8 每層總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)442. 空心方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)中間層人數(shù)=每邊最外層人數(shù)2(最內(nèi)層每邊人數(shù)2)25、 鐘表問題1.分針每分鐘走36060=6，時(shí)鐘每分鐘走6060=0.5，每分鐘兩者角度差為5.52.時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格，時(shí)針每分鐘走1格，每分鐘兩者路程差為11/12格。3.分針追擊時(shí)針問題：追及時(shí)間=在初始時(shí)刻

13、需追趕的格數(shù)(11/12) 時(shí)針?biāo)俣仁欠昼姷?/12，分鐘每走60（11/12）=（分）與時(shí)鐘重合一次。3. 壞鐘問題：壞鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快n分鐘，則壞鐘/標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間=(60+n)/60。當(dāng)壞鐘顯示過了x分鐘，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間相當(dāng)于過了60x/(60+n)分鐘。4.時(shí)針成角度問題把12點(diǎn)方向作為角的始邊，把兩指針在某一時(shí)刻時(shí)針?biāo)阜较蜃鳛榻堑慕K邊，則m時(shí)n分這個(gè)時(shí)刻時(shí)針?biāo)傻慕菫?0（m+n/60）度，分針?biāo)傻慕菫?n度，而這兩個(gè)角度的差即為兩指針的夾角。用表示此時(shí)兩指針夾的度數(shù)，則=30（m+n/60）-6n則=|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|?！纠纭壳?時(shí)40分兩指針?biāo)鶌A的

14、角。 【解析】把m =5，n =40代入上式，得=|150-220|=70此公式也可計(jì)算何時(shí)兩指針重合問題和兩指針成任意角問題。 時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180也是22次?！纠纭壳?時(shí)多少分兩指針重合?！窘馕觥堪?0，m=3代入公式得：0=|303-5.5n|，解得n=180/11，即3時(shí)180/11分時(shí)兩針重合。6、 濃度問題1. 基本公式：m溶液=m溶質(zhì)+m溶劑 c=m溶質(zhì)/m溶液2. 等溶質(zhì)遞減溶劑問題公式： ci為第i次的溶液濃度，i=1，2，33.溶液混合普通問題m1c1+m2c2=(m1+m2+)c混 m為溶液質(zhì)量，c為溶液濃度有某溶液質(zhì)量為m，每次先倒出該溶液

15、m0，再倒入清水m0，經(jīng)過n次操作后，溶液濃度由c0變?yōu)閏n。 則cn=c0(m-m0)/mn有某溶液質(zhì)量為m，每次先倒入清水m0，再倒出該溶液m0，經(jīng)過n次操作后，溶液濃度由c0變?yōu)閏n。 則cn=c0m/(m+m0)n【例題】從裝滿1000克濃度為50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入純酒精將瓶加滿。這樣反復(fù)三次后，瓶中的酒精濃度是多少？【解析】將題中酒精視為溶劑，清水視為溶質(zhì)，則杯中原有清水濃度為1-50%=50%，根據(jù)多次混合公式，可得到多次混合之后清水的濃度為50%(1000-200)/10003=25.6%，所以多次混合后酒精的濃度為1-25.6%=74.4%。3.十字交叉法與濃

16、度問題 濃度問題中的混合問題，一般主要采用十字交叉法來實(shí)現(xiàn)多的量和少的量保持平衡。已知一瓶溶液的濃度為a%，另外一瓶的溶液濃度為b%，分別取m和n份進(jìn)行混合，求混合溶液的濃度？(mn)第一部分 a% x-b% m x 則 第二部分 b% a%-x n十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)還常用于增長(zhǎng)率問題。已知兩個(gè)量的增長(zhǎng)率，求兩個(gè)量混合后的增長(zhǎng)率?！纠}】某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成績(jī)?yōu)?5 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，則此班女生的平均分是( )?！窘馕觥吭O(shè)男生平均分x，女生1.2x。(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8得x=70，則女生平均

17、分為844.溶液交換濃度相等問題設(shè)兩個(gè)溶液的濃度分別為a%，b%，且 ab，設(shè)需要交換溶液為x。則有：(b-x)：x=x：(a-x) x=ab/a+b【例題】?jī)善繚舛炔煌名}水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得兩個(gè)瓶子的溶液濃度相同，則需要相互交換( )克的溶液?A.36 B.32 C.28 D.24【解析】設(shè)交換的溶液為x克，混和后的標(biāo)準(zhǔn)濃度c。先對(duì)60%的溶液研究，采用十字交叉法來得：40-x ：x=(c-40% ) ：(60%-c) 再對(duì)40%的溶液進(jìn)行研究，同理得：60-x ：x=(60%-c) ：(c-40%) 由上面兩式得40-x ：x=x ：60-x 即推

18、出x=(4060)/(40+60)=24七、盈虧問題：核心思想即 人數(shù)=盈虧差分配差1.一次盈，一次虧：(盈+虧)(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)2.兩次都有盈： (大盈-小盈)(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)3.兩次都是虧： (大虧-小虧)(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)4.一次虧，一次剛好：虧(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)5.一次盈，一次剛好：盈(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)【例題1】用繩測(cè)井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長(zhǎng)多少米？ 【解析】井深=(32+41)/(4-3)=10米，繩長(zhǎng)=(10+2)3=36米。 【例題2】有一個(gè)班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果

19、增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個(gè)人。那么這個(gè)班共有多少名同學(xué)？ 【解析】增加一條和減少一條，前后相差2條，可理解為每條船坐6人正好，若坐9人則空出兩條船。這樣就是一個(gè)盈虧問題的標(biāo)準(zhǔn)形式了。 解答：增加一條船后的船數(shù)=92/(9-6)=6條，這個(gè)班共有66=36名同學(xué)。或者也可以理解為每條船坐9人正好，若坐6人則還缺兩條船。增加一條船后的船數(shù)=62/(9-6)=4條，這個(gè)班共有49=36名同學(xué)。8、 雞兔同籠問題假設(shè)全是雞，則兔子數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)總只數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）假設(shè)全是兔子，則雞數(shù)=（兔腳數(shù)總只數(shù)-總腳數(shù)-）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）【例題】燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工

20、人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分，每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個(gè)燈泡不合格？”【解析】假設(shè)全部合格，則不合格的有(41000-3525)(4+15)=47519=25（個(gè)） 假設(shè)全部不合格，不合格的有1000-(151000+3525)19=1000-1852519=25（個(gè)）9、 牛吃草問題：草生長(zhǎng)速度=總量差時(shí)間差=（吃草速度1時(shí)間1吃草速度2時(shí)間2）時(shí)間差原有草量=（牛數(shù)每天長(zhǎng)草量）天數(shù) 一般設(shè)每天長(zhǎng)草量為x草的總量=原有草量+新生草量十、利潤(rùn)問題利潤(rùn)率利潤(rùn)/成本(售價(jià)成本)/成本售價(jià)/成本1售價(jià)成本

21、(利潤(rùn)率) 成本售價(jià)/（利潤(rùn)率)【例題】一商品的進(jìn)價(jià)比上月低了5%，但超市仍按上月售價(jià)銷售，其利潤(rùn)率提高了6個(gè)百分點(diǎn)，則超市上月銷售該商品的利潤(rùn)率為多少？A.12% B.13% C.14% D.15%【解析】本題中始終不變的是售價(jià)，根據(jù) 售價(jià)成本(利潤(rùn)率) ，設(shè)商品進(jìn)價(jià)為100，上月利潤(rùn)率為x。則有100(1+x)=95(1+x+6%) 解得x=14%，選C十一、抽屜原理：原理1：把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。原理2：把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+1個(gè)的物體。第二抽屜原理：把（mn1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其

22、中必有一個(gè)抽屜中至多有（m1）個(gè)物體。注意：抽屜原理類題也可用“最不利原則”來思考，答案為“最不利+1”?！纠}】體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？【解析】最多有同學(xué)拿球的配組方式共有C(1，3)+2C(2，3)=9種(足球、籃球、排球、足足、籃籃、排排、排籃、足排、足籃)。以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜，將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果50955。由抽屜原理2，k（m/n）1可得，至少有6人，他們所拿的球相同。12、 容斥問題1.三者容斥問題問題的兩個(gè)不同公式ABC=A+B+CABBCACABCAB

23、C=A+B+C重疊一次的2重疊兩次的 ABC=K1+K2+K3 K1為第一層，K2為第二層，K3為第三層 A+B+C=K1+2K2+3K3=ABC+K2+2K3【例題】五年級(jí)一班共有55個(gè)學(xué)生，在暑假期間都參加了特長(zhǎng)培訓(xùn)班，35人參加書法班，28人參加美術(shù)班，31人參加舞蹈班，其中以上三種特長(zhǎng)培訓(xùn)班都參加的有6人，則有（ ）人只參加了一種特長(zhǎng)培訓(xùn)班。A.45 B.33 C.29 D.22【解析】根據(jù) A+B+C=ABC+K2+2K3=55+K2+26=35+28+31解得K2=27,根據(jù)ABC=K1+K2+K3 解得K1=22。K1即表示為只參加一種特長(zhǎng)班的人數(shù)。2.容斥問題其他類型求兩個(gè)集合

24、的交集的最小值：A+B-I求三個(gè)集合的交集的最小值：A+B+C-2I【例題】小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì)了68題，小剛做對(duì)了58題，小紅做對(duì)了78題。問三人都做對(duì)的題目至少有幾題?A.4題 B.8題 C.12題 D.16題【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2100=4，選擇A。解法二：由題意知，小明、小剛，小紅做錯(cuò)的題分別為32，42，22，三人做錯(cuò)的題共有32+42+22=96道，利用最不利原則，即三人最多做錯(cuò)96道，則至少做對(duì)100-96=4道13、 工程問題1.基本工程問題： (1)已知每個(gè)人完成工作的時(shí)間，設(shè)工作總量為工作效率的

25、最大公倍數(shù)，求出每人的工作量。 (2)抓住單獨(dú)工作效率或者合作工作效率為解題關(guān)鍵。常見兩種題型： 合作過程中有人休息：一般假設(shè)不休息來算。 輪流工作時(shí)：一般用周期來算。計(jì)算每輪工作的效率，算出最后一輪的實(shí)際工作量，以及最后剩余工作量如何分配。 (3)某些題型，無論合作還是輪流，按照兩人的工作效率，甲做的天數(shù)可以轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于乙做了多少天?！纠}1】一件工作，甲單獨(dú)做12天完成，乙單獨(dú)做9天完成。按照甲先乙后的順序每人每次1天輪流，完成需幾天？A.31/3 B.32/3 C.11 D.10【解析】設(shè)工作總量為36，則甲每天做3份，乙每天做4份，輪流2天可做7份。36751，即甲乙輪流工作10天余1

26、份，第11天時(shí)，甲完成剩余的1/3即可，所以共需31/3天。【例題2】一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【解析】解法一：甲乙合作30天可做完；現(xiàn)在甲做6天，乙做46天可做完，前后對(duì)比甲少做24天，乙多做16天，所以甲乙的效率之比為6：4。所以乙做30天相當(dāng)于甲做了45天，所以乙獨(dú)做需75天；甲做30天相當(dāng)于乙做20天，所以乙獨(dú)做需要50天。 解法二：共同做了6天后，還成4/5的工作量，乙做4/5的工作量需要40天，所以乙獨(dú)做需要50天，即乙每天做1/50，甲乙合作時(shí)乙做了30/50=3/5，甲做

27、了2/5，甲做2/5的工作量需30天，所以甲獨(dú)做需75天?！纠}3】一件工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲休息了2天，乙休息了8天。問開始到完工共用了多少天時(shí)間？【解析】解法一：設(shè)工作總量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲單獨(dú)做8天，乙單獨(dú)做2天后，還需兩隊(duì)合作(30-38-12)(3+1)= 1天，所以共需8+2+1=11天【例題4】甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天，從開始到完成共用了16天。問乙隊(duì)休息了多少天？【解析】解法一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是16(1/2

28、0+1/30)=4/3則兩隊(duì)休息期間未做的工作量為1/3，乙隊(duì)休息期間未做的工作量1/3-3(1/20)=11/60，乙隊(duì)休息的天數(shù)是 11/60(1/30)=5.5天 解法二：甲乙效率之比為3:2，甲單獨(dú)做需20天，現(xiàn)在甲休息了3天，即甲做了13天，甲若再做7天即可完成，轉(zhuǎn)化為乙做了10.5天，所有乙休息了16-10.5=5.5天。2.工程問題水管問題【例題3】甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池。現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池。已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？ 【解析】解法一：甲每分鐘注入水量是：(1-1/93)10=1/

29、15，乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45。因此水池容積是：0.6(/15-2/45)=27m3 解法二：甲管9分鐘，乙管9分鐘可注滿；甲管13分鐘，乙管3分鐘注滿。前后對(duì)比甲管多進(jìn)水4分鐘，乙管少進(jìn)水6分鐘，即甲管和乙管的效率之比為4：6。已知甲管比乙管每分鐘多注水0.6m3，所以兩管每分鐘共進(jìn)水3m，所以水池容積為39=27m3十四、行程問題(1)相遇問題：路程和=速度和時(shí)間 （S1+S2）=（v1+v2）t(2)追及問題：路程差=速度差時(shí)間 （S1+S2）=（v1+v2）t(3)直線多次相遇問題：兩人相向而行，第n次相遇時(shí)兩人行走的總路程S總=(2n-1)S(4)環(huán)形運(yùn)動(dòng)問題：

30、圓形跑道長(zhǎng)為S，兩人走的路程分別為S1、S2同地異向而行，相鄰兩次相遇間所走的路程和為周長(zhǎng)，第n次相遇時(shí)兩人走的總路程為nS同地同向而行，相鄰兩次相遇間所走的路程差為周長(zhǎng)，第n次追上時(shí)兩人走的路程差為nS1.沿途數(shù)車問題發(fā)車時(shí)間間隔T=(2t1t2)/ (t1+t2)車速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1) t1為迎面來一輛車所需時(shí)間，t2為從身后超過一輛車所需時(shí)間【例題】小紅沿某路公共汽車路線以不變速度騎車去學(xué)校，該路公共汽車也以不變速度不停地運(yùn)行，每隔6分鐘就有輛公共汽車從后面超過她，每隔10分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車，公共汽車的速度是小紅騎車速度的（ ）倍？A. 3 B.4 C

31、. 5 D.6【解析】車速/人速=(10+6)/(10-6)=4 2.公交車超騎車人和行人問題【例題】一條街上，一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車超過一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車超過一個(gè)騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車? t人=超行人時(shí)間，t車=超自行車時(shí)間，v人=人的速度，v車=自行車的速度通解公式：發(fā)車時(shí)間間隔T=t人t車(v車-v人)/(v車t車-v人t人)上題代入解得T=83.隊(duì)伍行走問題：已知：v1為傳令兵速度，v2為隊(duì)伍速度，L為隊(duì)伍長(zhǎng)度。從隊(duì)尾到隊(duì)首的時(shí)間為：L/(v1-v2

32、) 從隊(duì)首到隊(duì)尾的時(shí)間為：L/(v1+v2 )4.行程問題停留問題，化靜為動(dòng)看待問題。我們可以假設(shè)停留的時(shí)間沒有停留，把它們兩者的停留時(shí)間按照原速度計(jì)入總路程中。【例題1】快慢兩車同時(shí)從甲乙兩站相對(duì)開出，6小時(shí)相遇，這時(shí)快車離乙站還有240千米，已知慢車從乙站到甲站需行15小時(shí)，兩車到站后，快車停留半小時(shí)，慢車停留1小時(shí)返回，從第一次相遇到返回途中再相遇，經(jīng)過多少小時(shí)?【解析】相遇時(shí)快車距離乙站240km，即為相遇時(shí)慢車走了240km，則v慢=40km/h，甲乙兩地總路程為4015=600km，所以，相遇時(shí)快車走了360km，則v快=60km/h從第一次相遇到返回途中再相遇，兩車共行的路程為甲

33、乙兩站距離的2倍，假設(shè)快車不在乙站停留0.5小時(shí)，慢車不在甲站停留1小時(shí)，則兩車從第一次相遇到第二次相遇所行總路程為6002+600.5+401=1270km，兩次相遇期間所經(jīng)時(shí)間為1270(60+40)=12.7h【例題2】甲乙兩人同時(shí)從東鎮(zhèn)出發(fā)，到相距90千米的西鎮(zhèn)辦事，甲騎自行車每小時(shí)行30千米，乙步行每小時(shí)行10千米，甲到西鎮(zhèn)用1小時(shí)辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問這時(shí)乙走了多少千米?【解析】甲從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)，返回時(shí)與乙相遇，故兩人所行路程總和為902=180km，但因甲到西鎮(zhèn)用了1小時(shí)辦事。倘若甲在這1小時(shí)中沒有停留，而是繼續(xù)騎行，這樣兩人所行總路程應(yīng)為：902+30=210km，

34、則相遇時(shí)間為：210(30+10)=5.25h，則乙行了105.25=52.5km。十五、流水行船問題 v順=v船+v水 v逆=v船-v水v船=(v順+v逆)/2 v水=(v順-v逆)/2 v船/v水=(v順+v逆)/(v順-v逆) 已知：A、B兩地由一條河流相連，輪船勻速前進(jìn)，從A到B順流需時(shí)間T順，從B到A逆流需時(shí)間T逆。(1)漂流時(shí)間=2T順T逆/(T逆-T順)(2) 輪船在靜水中從A到B的時(shí)間=2T順T逆/(T逆+T順)【例題1】輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天.從A城放一個(gè)無動(dòng)力的木筏，它漂到B城需多少天? 【解析】代入公式：234(4-3)=24天【例題2】輪船從A

35、城到B城需行3天，而從B城到A城需行6天，若輪船在靜水中從A到B需要多長(zhǎng)時(shí)間? 【解析】代入公式：236(3+6)=4天(3)多次相遇公式：S1為第一次相遇時(shí)的距離，S2為第二次相遇時(shí)的距離。S1和S2相對(duì)的是同一地點(diǎn)，則為單岸型，不同地點(diǎn)則為雙岸型。單岸型：S=(3S1-S2)/2 雙岸型：S=3S1-S2(4)行船復(fù)雜問題【例題】一只游輪從甲港順流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用8小時(shí)，順?biāo)啃r(shí)比逆水每小時(shí)多行12千米，前4小時(shí)比后4小時(shí)多行30千米。甲、乙兩港相距多少千米?A.72 B.60 C.55 D.48【解析】全程共用8小時(shí)，所以逆水行船花的時(shí)間過半，后4小時(shí)全部是逆水行船，前

36、4小時(shí)有一部分是順?biāo)?，一部分是逆水。解法一：由于逆水速度不變，所以?小時(shí)比后4小時(shí)多行駛的距離就是順?biāo)畷r(shí)多行的距離，可以得出：t順=30/12=2.5h，t逆=5.5h則v順/v逆=5.5/2.5=2.2倍，v順-v逆=1.2v逆=12km/h，則v逆=10km/h，甲乙兩港的距離就是105.5=55km。解法二：v逆=v順-12 S逆=4v順-48 S=S逆+15=4v順-33 由S/v順+15/v逆=S逆/v逆 代入解得v順=22 則S=55km16、 排列組合1. 2.“在位”與“不在位”：n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列 某元素必在某位有種 某元素不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元

37、素）種【例題】5本書從左到右依次擺在書架上，其中一本書既不能擺在排頭，也不能擺在排尾，一共有多少種擺法？【解析】解法一：補(bǔ)集思想。5本書排列，若不限制條件，共有種排法；其中某種書排在排頭或排尾有種，它不符合條件，故符合條件的排法有=72種解法二：插空法。先把不能擺在排頭也不能擺在排尾的的書拿開，讓其余4本書做全排列，有種，然后再把那本書插入中間3個(gè)空隙處，有種。所有共有=72種解法三：看眼位置。某本書既不能擺在排頭，也不能擺在排尾，這兩個(gè)位置只能擺其余4本書，有種；中間3個(gè)位置只能排余下的3本書，有種。所以共有=723.排列組合基本問題 捆綁法：n個(gè)元素的全排列，k個(gè)元素必須相鄰的排法有種。應(yīng)

38、用于不相鄰問題，先將相鄰元素全排列，然后視為一個(gè)整體與剩余元素全排列 插空法：n個(gè)元素的全排列，k個(gè)元素不能相鄰的排法有種。應(yīng)用于相鄰問題，先將剩余元素全排列，然后將不相鄰元素有序插入所成間隙中 兩組元素各相同的插空：m個(gè)A類元素n(nm+1)個(gè)B類元素排成一列，B類元素必須分開，有種排法 插板法：n個(gè)元素分成m組，每組至少一個(gè)元素，可用m-1個(gè)“擋板”插入n個(gè)元素形成的n-1個(gè)空隙中，將元素分成m組，有種。5.平均分組問題：將mn個(gè)元素平均分成n組，每組m個(gè)，分法有6.環(huán)線排列問題：n元素排成一圈，排法有種 注意：n個(gè)珍珠串成一條項(xiàng)鏈，有種/2n=(n-1)! 種串法。7.多人傳球問題：n人

39、傳接球m次，則傳球種數(shù)x=(n-1)m/n 最接近x的整數(shù)為末次傳他人次數(shù)，第二接近x的整數(shù)為末次傳給自己的次數(shù) 【例題】四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式（ ）。A.60種 B.65種 C.70種 D.75種【解析】 (4-1)5 / 4=60.75 最接近的是61為最后傳到別人次數(shù)，第二接近的是60為最后傳給自己的次數(shù)。即選A8.比賽場(chǎng)次問題：已知n人參賽人數(shù)單循環(huán)場(chǎng)次= 雙循環(huán)場(chǎng)次=淘汰賽(僅需決出冠亞軍)：比賽場(chǎng)次=n-1淘汰賽(需決出冠亞季軍)：比賽場(chǎng)次=n【例題】8支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每

40、兩支球隊(duì)都比一場(chǎng)，勝者得2分，敗者得0分，平局各得1分，比賽結(jié)束后，所有球隊(duì)的總分和是( )。A.28 B.56 C.84. D.112【解析】單循環(huán)比賽共需比賽場(chǎng)次=87/2=28，每場(chǎng)不管勝負(fù)，還是平平，都是每場(chǎng)產(chǎn)生2分的分值，則總分和為282=56分。9.錯(cuò)位重排問題(伯努利-歐拉問題)，指把n個(gè)元素的位置重新排列，使每個(gè)元素都不在原來位置上的排列問題。遞推公式：n封信的錯(cuò)位重排方數(shù)：Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1) Dn=0，1，3，9，44牢記【例題】小明要給自己的6位好朋友分別寫一封信，在裝信的時(shí)候一不小心只有2個(gè)信封上寫對(duì)了地址，問寫錯(cuò)的可能情況有多少種?A.90種 B.1

41、15種 C.125種 D.135【解析】只有2封寫對(duì)了地址，說明有4封寫錯(cuò)了，先選出哪4封寫錯(cuò)了，即=15種，4封寫錯(cuò)了相當(dāng)于是4個(gè)元素的錯(cuò)位重排，有9種情況，再利用分布相乘159=135種10.排列組合之涂色問題將一個(gè)圓環(huán)分成n(n2)個(gè)扇形區(qū)域，現(xiàn)用k(k2)種不同顏色對(duì)這n個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色不同，染色方法有多多少種？An=(k-1)n+(-1)n(k-1)n為區(qū)域數(shù)，k為顏色種類數(shù)【例題】將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色。只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法有()種。【解析】將四棱錐轉(zhuǎn)化為圓環(huán)染色問題，中間區(qū)域P的染色方法有=4種；其余4個(gè)區(qū)域還剩3

42、種顏色可供選擇，根據(jù)公式有(3-1)4+(-1)4(3-1)=18種。所以共有184=72種11.賀卡問題了解 同寢室4人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式有（ ）種? 該類問題公式，也常用于取球時(shí)不取到屬于自己的球。 此題代入公式十七、概率問題 總體概率=滿足條件的各種情況概率之和 分布概率=滿足條件的每個(gè)步驟概率之積 某條件成立概率=總概率該條件不成立的概率1.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率和P(AB)=P(A)P(B) n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)2.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(

43、AB)= P(A)P(B) n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2An)=P(A1) P(A2) P(An)3.條件概率：事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率。條件概率表示為P（A|B），讀作“在B條件下A的概率”。P(A|B)=P(AB)/P(B)4.全概率公式P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.+P(Bn)P(A|Bn)=P(Bi)P(A|Bi)5.伯努利概率模型如果實(shí)驗(yàn)A有只有兩個(gè)基本事件A及，P(A)=p，P()=1-p(0p1)。每次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率【

44、例題】小王開車上班需經(jīng)過4個(gè)交通路口，假設(shè)經(jīng)過每個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為0.1、0.2、0.25、0.4，則他上班經(jīng)過4個(gè)路口至少有一處遇到綠燈的概率是()。A.0.899 B.0.988 C.0.989 D.0.998【解析】利用逆向思維，“至少有一次遇到綠燈”的反面情況就是“一次綠燈都遇不到”，即“全遇到紅燈”，而全遇到紅燈的概率為0.10.20.250.4=0.002，所以答案是是10.002=0.998，因此選D。 十八.其他數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)1.剪繩問題一根繩連續(xù)對(duì)折n次，從中剪m刀，則被剪成段數(shù)=2nm+12.握手問題：n個(gè)人彼此握手，則總握手?jǐn)?shù)N=n(n-1)/2 該類問題思想：如直

45、線交點(diǎn)問題，有以下分析： 要產(chǎn)生最多交點(diǎn)時(shí)，每條直線必須與其他的直線都有交點(diǎn)； 當(dāng)有n條直線相交時(shí)，每條直線與其他的直線(n-1)個(gè)交點(diǎn)，共產(chǎn)生n(n-1)個(gè)交點(diǎn)，但是均重復(fù)一次，所以產(chǎn)生的交點(diǎn)數(shù)最多有n(n-1)/2【例題】某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次， 請(qǐng)問這個(gè)班的同學(xué)有( )人。A.16 B.17 C.18 D.19【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的多邊形對(duì)角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為x人，則=152。但是計(jì)算想當(dāng)麻煩。若以某個(gè)人為研究對(duì)象，則這個(gè)人需要握x-3次手。每個(gè)人都是這樣。則

46、總共握了x(x-3)次手，但是沒2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際的握手次數(shù)是x(x-3)/2=152，計(jì)算的x=19人。3.過河爬井問題M個(gè)人過河，船上能載N個(gè)人，由于需要n人劃船，故共需過河次數(shù)=(M-N)/(N-n)+1=M-n/N-n青蛙從井底向上爬，井深M米，青蛙每跳上N米，又滑下n米，這樣青蛙需跳出井需要次數(shù)=(總長(zhǎng)-單長(zhǎng))/實(shí)際單長(zhǎng)+1=(M-N)/(N-n)+1=M-n/N-n【例題】有37名戰(zhàn)士渡河，現(xiàn)在只有一條小船，每次只能載5人，需要幾次才能渡完？（ ）A.7 B. 8 C.9 D.10【解析】(37-1)/(5-1)=9 選C。4黑夜過橋問題：過河時(shí)間最短的人先過

47、；已過的人中最短時(shí)間的人返回；剩下的人過河時(shí)間最長(zhǎng)的過河5.頁碼問題一本書的頁碼一共用了270個(gè)數(shù)字，求這本書的頁數(shù)。頁數(shù)=(270+129)/3=126頁公式：10-99頁：頁數(shù)=(數(shù)字+19)/2 100-999頁：頁數(shù)=(數(shù)字+129)/3 1000-9999頁：頁數(shù)=(數(shù)字+1239)/46. 數(shù)據(jù)分配與和定極值問題【例題】有4支隊(duì)伍進(jìn)行4項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到5，3，2，1分。每隊(duì)的4項(xiàng)比賽的得分之和算作總分，如果已知各隊(duì)的總分不相同，并且A隊(duì)獲得了三項(xiàng)比賽的第一名，問總分最少的隊(duì)伍最多得多少分?A.7 B.8 C.9 D.10【解析】要讓總分最少的隊(duì)

48、伍的得分最多，其他隊(duì)伍的得分要盡量的少。已知4項(xiàng)比賽的總分共為44分。A隊(duì)已獲得了三項(xiàng)比賽的第一名，那么要想讓A隊(duì)的得分盡量少，最后一項(xiàng)比賽得第四名，即：A隊(duì)的總分為35+1=16分。設(shè)總分最少的隊(duì)伍的得分為x，則剩下的兩個(gè)隊(duì)伍比它多但要盡量和它接近，只能是x+1， x+2。所以16+x+x+1+x+244，x8.3，因?yàn)榈梅种荒転檎麛?shù)，那么x=8。7.電梯問題順行能看到級(jí)數(shù)=（v人+v電）t順逆行能看到級(jí)數(shù)=（v人-v電）t逆【例題】甲、乙兩人在勻速上升的自動(dòng)扶梯從底部向頂部行走，甲每分鐘走扶梯的級(jí)數(shù)是乙的2倍；當(dāng)甲走了36級(jí)到達(dá)頂部，而乙則走了24級(jí)到頂部。那么，自動(dòng)扶梯有多少級(jí)露在外面？

49、（ ）【解析】甲乙二人的速度比為2：1，所以當(dāng)甲到達(dá)扶梯頂部時(shí)也就是甲走了36級(jí)時(shí)，乙走了18級(jí)，由于二人乘坐的電梯速度相同又同步，所以兩種方式電梯走過的路程相同，此時(shí)乙距離頂部還有36-18=18級(jí)。而乙走了24級(jí)到達(dá)頂部，已經(jīng)走了18級(jí)，還需要再走24-18=6級(jí)，而距離頂部還有18級(jí)，說明還有18-6=12級(jí)是扶梯走的。由此可以推斷扶梯和乙的速度比為12：6=2：1，因?yàn)闀r(shí)間相同時(shí)路程比等于速度比，也就說明了扶梯的速度和甲的速度相等，那么相同時(shí)間甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的級(jí)數(shù)為362=72。8. 調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用等距離平均速度問題：v=1v2/(v1+v2)等價(jià)格平均價(jià)格問題： 均

50、價(jià)p=n /（1/p1）+(1/p2)+(1/pn)【例題】某店購(gòu)進(jìn)甲、乙、丙三種不同的糖，所有費(fèi)用相等，甲、乙、丙三種糖每千克費(fèi)用分別為4.4元，5元，6.6元，把三種糖混在一起后每千克成本多少元？【解析】解法一：代入公式，均價(jià)A=3/(1/4.4)+(1/6)+(1/6.6)=5.5元解法二：設(shè)所用費(fèi)用均為66元，則甲、乙、丙重量分別為15，11，10?；旌铣杀?（663）/(15+11+10)=5.5元等溶質(zhì)增減問題： ci為第i次的溶液濃度，i=1，2，3【例題】沿途數(shù)車問題：發(fā)車時(shí)間間隔T=(2t1t2)/ (t1+t2)車速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1) t1為迎面來一輛車所需時(shí)間，t2為從身后超過一輛車所需時(shí)間推導(dǎo)資料分析基礎(chǔ)公式1.同(環(huán))比增長(zhǎng) 已知本期數(shù)為A，上年同期(上期)數(shù)為B，同(環(huán))比增長(zhǎng)率為a%，同