函數(shù)思想在不等式的應(yīng)用

1、函數(shù)思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)思想的核心內(nèi)容，正確理解并掌握函數(shù)思想對提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助，尤其是在不等式中的應(yīng)用.函數(shù)思想與不等式都是數(shù)學(xué)的基本思想，我們可以應(yīng)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)去轉(zhuǎn)化、分析、解決不等式問題.不等式問題常常是函數(shù)問題的局部，構(gòu)建函數(shù)證明不等式常常能抓住問題的本質(zhì)，導(dǎo)數(shù)工具的靈活運用，使用函數(shù)證明不等式這一方法如虎添翼、魅力巨大，這從高考試題中略見一斑.特別指出函數(shù)最值在解決不等式恒成立問題中常起著一錘定音的作用.函數(shù)常常是不等式問題的母體，利用函數(shù)看均值不等式能更深刻，依托函數(shù)我們常能改進、加強一些不等式，自己發(fā)現(xiàn)一些不等式，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力很有意義.1、利

2、用函數(shù)解不等式利用函數(shù)解不等式的依據(jù)是：不等式的解集，就是函數(shù)位于上方的圖象部分的點的橫坐標的值的集合. 特別地，的解集就對應(yīng)于的圖象位于軸上方的部分. 此外，求解“抽象不等式”往往需借助函數(shù)的單調(diào)性或圖象.yx031例1：解不等式.解：令.在同一坐標系中，分別畫出的圖象（如圖1），解方程可得.結(jié)合圖象知，原不等式的解集為. 圖1例2：已知,求滿足不等式的的取值范圍.解:構(gòu)造函數(shù),注意到,所以在上遞增.所以原不等式.又因為,所以.2、利用函數(shù)解決不等式的“恒成立”問題利用函數(shù)處理“恒成立”問題的依據(jù)是：恒成立； 恒成立.解題時常用到“分離參數(shù)法”. 此外，利用基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解決不等式

3、恒成立問題的另一重要方法.例3：設(shè)是定義在上的減函數(shù)，已知對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：由題意 恒成立 恒成立 恒成立 恒成立令，則有，解得. (1)令易知，故有，解得 或. (2)由(1)，(2)得. 3、利用函數(shù)處理不等式的“有解”問題利用函數(shù)處理不等式“有解”問題的依據(jù)是：有解； 有解. 此外，“不等式的解集不為”的反面為“的解集為，即恒成立”，故也可轉(zhuǎn)化“恒成立”問題解決.例4：若不等式的解集不為,則的取值范圍.解: 記,則由題意,的解集不為.又(當(dāng)取等號),可得，所以.4、構(gòu)造函數(shù)解不等式例5：若不等式的解集為,求的范圍.解: 由題意可知,求恒成立,可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值大于1即可.因為 所以,函數(shù)恒成立,只要,所以.例6：解不等式.解: 由不等式的結(jié)構(gòu)特征,對其稍作變形可得: (3)于是可構(gòu)造函數(shù),則不等式(3)化為 (4) 由于在上是增函數(shù),所以不等式(3)與(