根據(jù)遞推公式,求數(shù)列通項公式的常用方法總結(jié)歸納

1、求遞推數(shù)列通項公式的常用方法歸納目錄一、概述二、等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式1、等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程2、等差數(shù)列前n 項和公式的推導(dǎo)過程三、一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法1、公式法2、歸納猜想法3、累加法4、累乘法5、構(gòu)造新函數(shù)法(待定系數(shù)法）6、倒數(shù)變換法7、特征根法8、不動點法9、換元法10、取對數(shù)法11、周期法一、概述在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的作用，同時，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、 猜想、邏輯推理以及運用數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑。數(shù)列這一章蘊含著

2、多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念、公式的理解， 而且運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：1、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效的解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)的過程就用到了不完全歸納法。2、倒敘相加法 等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點，很好的應(yīng)用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。3、錯位

3、相減法錯位相減法是另一類數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前n 項和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。4、函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時，可以將它們看成一個函數(shù)，運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題。進而5、方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個關(guān)于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第n 項和前n 項和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過程中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題變

4、得清晰、明了，而且簡化了解題過程。二、等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式第一節(jié)：等差數(shù)列前n 項和的推導(dǎo)過程1、等差數(shù)列通項公式：(1)可以從等差數(shù)列特點及定義來引入。定義： n2時，有 ana(n 1)=d，則：a2=a1 da3=a2d=a12da4=a3d=a13da5=a4d=a14dan=2a2a1=da3a2=da4a3=dana(n1)=dana1=(n1)dan=a1(n1)d2n1 + 2 + 3 +50+51+98+99+100=1+100=101 2+99=101,50+51=101=501+101 =5050a1a 2a 3.a n 2a n 1a n? a1a na 2

5、a n 1a 3a n 2.若 mnpq ,則 a ma na pa q這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：問題是一共有多少個a1an，學(xué)生自然想到對n 取奇偶進行討論。（1）當(dāng)n 為偶數(shù)時：Sna1anan1an22Snn (aan)21（2）當(dāng) n 為奇數(shù)時：Sn a1a n 1 1a n 1an 1 1an222分析到這里發(fā)現(xiàn)a n 1 “落單”了，似乎遇到了阻礙，此時鼓勵學(xué)生不能放棄，在2老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，不難發(fā)現(xiàn)，an 1 的角標與 ( a1an ) 角標的關(guān)系2Snn 1(a1an ) an 122n 1an 1an 1an )22(a122nan )(a12從而得到，無論n 取奇數(shù)還是偶數(shù)

6、，Snn ( a1 an )2總結(jié)：（ 1）類比高斯算法將首尾分組進行“配對” ，發(fā)現(xiàn)需要對 n 取奇偶進行討論，思路自然，容易掌握。（ 2）不少資料對 n 取奇數(shù)時的處理辦法是，當(dāng)討論進行不下去時轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法，進而引出倒序相加求和法。方法二：對 n 的奇偶進行討論有點麻煩，能否回避對n 的討論呢接下來給出實際問題：伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數(shù)呢由此引入倒序相加求和法。Sna1 a2an 1 anSnan an 1a2 a1兩式相加得：2Snn(a1an )Sn (aa )n21n總結(jié)：（ 1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生在解決問題

7、的同時也體會到同一個問題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。（ 2）倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。（ 3）在過程中體會數(shù)學(xué)的對稱美。三、一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例 1、 已知無窮數(shù)列a n的前 n 項和為 Sn ，并且 anSn1(nN * ) ，求 a n 的通項公式【解析】：Q Sn 1an ，an 1 Sn 1 Snanan 1 ，an 11 an ，又 a11，22nan1.2反思：利用相關(guān)數(shù)列an 與 Sn 的關(guān)系： a1S1 , an SnSn 1(n2) 與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解

8、的關(guān)鍵 .二、 歸納猜想法 ：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法 .例 2、 已知數(shù)列a n 中， a11， an2an 11(n2) ，求數(shù)列a n 的通項公式 .【解析】：Qa1 1 ， an 2an 1 1(n 2) ，a2 2a1 13 ， a3 2a2 1 7猜測 an 2n1 ( n N * ) ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思： 用歸納法求遞推數(shù)列， 首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性 .三 、累加法 ：利用 ana1 ( a2 a1 )(an an 1 ) 求通項公式的方法稱為累加法。累加

9、法是求型如 an 1 anf (n) 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（f (n) 可求前 n 項和） .1n例 3 、 已 知 無 窮 數(shù) 列 an的 的 通 項 公 式 是 an， 若 數(shù) 列 bn滿 足 b11 ，2nbn 11(n1) ，求數(shù)列bn 的通項公式 .bn21n1【解析】： 1, bb( n 1),bn b1(b2b1 )(bn bn 1 )=1+ +.+b 1n 1n22n 1n 11=21.22反思 :用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an 1anf (n) 。四、累乘法 : 利用恒等式 an a1a2a3an(an0, n2) 求通項公式的方法稱為累乘法 ,a1a

10、2an 1累乘法是求型如:an 1g (n) a n 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(數(shù)列 g(n) 可求前 n 項積)。例 4、 已知 a11, ann(an 1an ) (nN*),求數(shù)列a n通項公式 .【解析】：Q ann(an 1an ) ,an1n 1,又有 ana1a2a3an( an 0, n 2) =anna1a2an112 3 n= n ,當(dāng) n 1 時 a11，滿足 ann ，ann .12n-1反思 :用累乘法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an1g(n)a n .五、構(gòu)造新數(shù)列 （待定系數(shù)法）: 將遞推公式an+1qand （ q,d 為常數(shù)， q0 ， d0 ）通過

11、 (an 1 x)q(an x) 與原遞推公式恒等變成 an 1dq(andq 1q) 的方法叫構(gòu)1造新數(shù)列，也即是待定系數(shù)法。例 5、已知數(shù)列an中 ,a1 1, an2an 11(n2) ,求an 的通項公式 .【解析】 :利用 (anx)2(an 1x) ,求得 an12( an 11) , an 1 是首項為a1 1 2,公比為2的等比數(shù)列即1 2n,n, anan 2 1反思：構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過(an 1x)q( anx) 來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或等比數(shù)列 .六 、倒數(shù)變換 ：將遞推數(shù)列can(c 0, d 0) ,取倒數(shù)變成1d 11an 1an 1c an的形andc1式

12、的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時將數(shù)列看成一個新的數(shù)列，即an再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。例 6、 已知數(shù)列a (nN * ) 中 , a11 , an1an,求數(shù)列a的通項公式 .n2an1n【解析】 :將 an 1an取倒數(shù)得 :121,Q112,1是以 112an1an 1anan 1anana1為首項 ,公差為 2的等差數(shù)列 .112( n 1) ,an1.an2n1反思 :倒數(shù)變換有兩個要點需要注意:一是取倒數(shù) .二是一定要注意新數(shù)列的首項,公差或公比變化了。七、特征根法： 形如遞推公式為an 2pa n 1qa n （其中 p， q 均為常數(shù)）。對 于 由 遞 推

13、公 式 an 2pan 1qan ， 有 a1, a2給 出 的 數(shù) 列 an ， 方 程x2px q 0 ，叫做數(shù)列an的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的兩個根，當(dāng)n1n1x2an的通項為 anAx1Bx2A Ba1, a2x1時，數(shù)列決定（即，其中，由把 a1 ,a2 , x1 , x2 和 n1,2，代入 anAx1n1Bx 2n 1，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）；當(dāng) x1x2時，數(shù)列an 的通項為 an( ABn )x1n 1，其中 A，B 由 a1,a2決定（即把 a1 ,a2 , x1 , x2 和 n1,2 ，代入 an( ABn) x1n 1 ，得到關(guān)于 A、 B

14、的方程組）。例 7: 數(shù)列 an 滿足 3an 25an12an0(n0,nN ) ， a1a,a2 b ,求 an【解析】：由題可知數(shù)列的特征方程是：3x 25x 20。x11, x22,32anAx1n 1Bx2n1AB () n 1 。又由 a1a, a2b ，于是3aABA3b 2a2a 3(a b)( 2 )n 12 B故 an3bbAB3( ab)33反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B 的用已知量 a,b 表示的值，從而可得數(shù)列 an 的通項公式。八、不動點法若 A,B0 且 AD-BC 0 ，解 xAxD,為其兩根Cx,設(shè)DI、若，數(shù)列 an 是等比

15、數(shù)列；anII、若1 是等差數(shù)列。，數(shù)列 an7a例 8、已知數(shù)列 a n 滿足 a n 12an2， a12 ，求數(shù)列 a n 的通項公n3式。7x2，得 2x 24x 2 03x1【解析】：令 x3，則 x=1 是函數(shù) f ( x )72x4x的不動點。7 a因為a n 112 ann2 5a13 2 ann5312an3 2an325122(12)所以a n 1 15a n5 5an15an1an1 5 ，1111 為首項，以2所以數(shù)列是以12 1為公差的等差數(shù)列，則an1a1511(n1)2，故 an2n8。an52n31f (x )3x1x7x2反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)4 x

16、的不動點，即方程2x的73根 x1 ，進而可推出112 ，從而可知數(shù)列 1為等差a n 1 1 a n1 5an1數(shù)列，再求出數(shù)列1 的通項公式，最后求出數(shù)列 an 的通項公式。a n1九、換元法即是將一復(fù)雜的整體用一個新的符號來表示，從而使遞推數(shù)列看起來更簡單，更易找到解決的方法。例 9、 已知數(shù)列 a n 滿足 a n11(14a n1 24 a n )， a11 ，16求數(shù)列 a n 的通項公式?！窘馕觥浚毫?b n124 a n，則 a n1 ( b n21)24故 a n 11 ( b n21 1)24代入 a n 11 (1 4 a n1 24 a n ) 得161 ( b n21

17、1)11 41 (b n21) b n 241624即 4bn21(bn3)2因為 b n1 24 a n0 ，故 b n 11 24 a n 1 0則 2b n 1 b n3 ，即 b n 11 b n3 ，22可化為 b n 131 ( b n3) ，2所以 bn3 是以 b113124a13124132 為首項， 以2為公比的等比數(shù)列，因此b n32 ( 1 ) n 1( 1 ) n2 ，則 bn( 1) n 2+3，即2221 24 a n1n23 ，得 an21n1n1( )3( )( )。2423反思：本題解題的關(guān)鍵是通過將124 a n 的換元為 b n ，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bn 11 bn322形 式 ， 從 而 可 知 數(shù) 列 b n3 為 等 比 數(shù) 列 ， 進 而 求 出 數(shù) 列 bn3 的通項公式，最后再求出數(shù)列 an 的通項公式。十、取對數(shù)法：形如 an 1panr ( p0, an0)這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an 1panq ，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）求解。例 10：已知數(shù)列an 中， a11,an 11 an2 (a 0) ，求數(shù)列 an 的通項公式 . 。a【解析】：由 an 11an2 兩邊取對數(shù)得 lg an 12 lg anlg1 ，aa令 bn