初中列方程解應(yīng)用題(行程問題)專題

1、初中列方程解應(yīng)用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量有關(guān)的問題。我們常用的基本公式是: 路程速度時(shí)間；速度路程時(shí)間；時(shí)間路程速度.行程問題是個(gè)非常龐大的類型,多年來在考試中屢用不爽,所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習(xí),熟悉了行程問題的學(xué)生,在多種類型的習(xí)題面前都會(huì)顯得得心應(yīng)手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從提高到,運(yùn)行時(shí)間縮短了。甲，乙兩城市間的路程是多少?【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為,那么列車在兩城市間提速前的運(yùn)行時(shí)間為，提速后的運(yùn)行時(shí)間為.【等量關(guān)

2、系式】提速前的運(yùn)行時(shí)間提速后的運(yùn)行時(shí)間=縮短的時(shí)間.【列出方程】. 例2：某鐵路橋長(zhǎng)1000，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1，整列火車完全在橋上的時(shí)間共。求火車的速度和長(zhǎng)度。【分析】如果設(shè)火車的速度為，火車的長(zhǎng)度為，用線段表示大橋和火車的長(zhǎng)度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： y 1000 60x1000y 40x【等量關(guān)系式】火車行駛的路程=橋長(zhǎng)+火車長(zhǎng)；火車行駛的路程=橋長(zhǎng)-火車長(zhǎng) 【列出方程組】 舉一反三：1小明家和學(xué)校相距。小明從家出發(fā)到學(xué)校，小明先步行到公共汽車站，步行的速度為60，再乘公共汽車到學(xué)校，發(fā)現(xiàn)比步行的時(shí)間縮短了，已知公共汽車的速度為，求小明從家

3、到學(xué)校用了多長(zhǎng)時(shí)間。2根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運(yùn)專線項(xiàng)目建成后，連云港至徐州的最短客運(yùn)時(shí)間由現(xiàn)在的2小時(shí)18分鐘縮短為36分鐘，其速度每小時(shí)將提高.求提速后的火車速度。（精確到）3徐州至上海的鐵路里程為，從徐州乘”C “字頭列車A，”D”字頭列車B都可直達(dá)上海，已知A車的速度為B車的2倍，且行駛的時(shí)間比B車少.求A車的速度及行駛時(shí)間。（同學(xué)們可能會(huì)認(rèn)為這是雙人行程問題，其實(shí)這題的類型可歸結(jié)于例1的類型，把B車的速度看成是A提速后的速度，是不是也可看成單人單程的問題呀?。?一列勻速前進(jìn)的火車用15秒的時(shí)間通過了一個(gè)長(zhǎng)300米的隧道（即從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道）。又知其間在隧

4、道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2.5秒，（光速）1）求這列火車的長(zhǎng)度2）如果這列火車用25秒的時(shí)間通過了另一個(gè)隧道，求這個(gè)隧道的長(zhǎng) 2.單人雙程（等量關(guān)系式：來時(shí)的路程=回時(shí)的路程）：例1：某校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營(yíng)，先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了;返回時(shí)汽車以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了.學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥咳绻O(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為，由題目條件：去時(shí)用了，則有些同學(xué)會(huì)認(rèn)為總的速度為，然后用去時(shí)走平路的速度+去時(shí)爬坡的速度=總的速度，得出方程，這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟嗉拥摹２环猎O(shè)平路的長(zhǎng)度為，坡路的長(zhǎng)度為，則去時(shí)走平路用了，去時(shí)爬

5、坡用了，而去時(shí)總共用了，這時(shí)，時(shí)間是可以相加的；回來時(shí)汽車下坡用了，回來時(shí)走平路用了，而回來時(shí)總共用了.則學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)的距離為?！镜攘筷P(guān)系式】去時(shí)走平路用的時(shí)間+去時(shí)爬坡用的時(shí)間=去時(shí)用的總時(shí)間 回來時(shí)走平路用的時(shí)間+回來時(shí)爬坡用的時(shí)間=回來時(shí)用的總時(shí)間【列出方程組】注：?jiǎn)稳穗p程的行程問題抓住來時(shí)的路程=回時(shí)的路程、路程=速度時(shí)間，再把單人單程的行程問題練練熟就ok了，題型跟單人單程的題型差不多，把上面的例題弄懂，這里就不多做練習(xí)了。 3.雙人行程:（）單塊應(yīng)用：只單個(gè)應(yīng)用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時(shí)同地同向而行：A,B兩事物同時(shí)同地沿同一個(gè)方向行駛例：甲車的速度為，乙

6、車的速度為，兩車同時(shí)同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過后兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 80x km 乙 甲60x km280km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】2）同時(shí)同地背向而行：A，B兩事物同時(shí)同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時(shí)同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過后兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙 60x km80x km280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【列出方程】3）同時(shí)相向

7、而行（相遇問題）:例:甲，乙兩人在相距的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時(shí)處發(fā)后相遇，求甲，乙兩人的速度。【分析】如果設(shè)甲的速度為，則乙的速度為，甲走過的路程為，乙走過的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲1.5x km1.52x km乙AB 10 km 280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】4）追及問題：例：一對(duì)學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以的速度行進(jìn)后，一名教師騎自行車以的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了多少時(shí)間？【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了，則教師走過的路程為，學(xué)生走過的路程

8、為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程為，學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程為，又由于教師走過的路程等于學(xué)生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 學(xué)生5x km 教師 15x km【等量關(guān)系式】教師走過的路程=學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程+學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程【列出方程】5）不同時(shí)同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)后甲，乙兩人同時(shí)到達(dá)B地，已知乙的速度為，問，甲的速度為多少？【分析】如果設(shè)甲的速度為，則乙出發(fā)前甲走過的路程為，乙出發(fā)后甲走過的路程為，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后

9、甲走過的路程，而乙走過的路程為，甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 甲x km3x km 乙 503 km【等量關(guān)系式】乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】6）不同時(shí)相向而行例：甲，乙兩站相距，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為；一列快車從乙站出發(fā)，速度為。兩車相向而行，慢車先出發(fā)，快車開出后多少時(shí)間兩車相遇？【分析】如果設(shè)快車開出后兩車相遇，則慢車走過的路程為，快車走過的路程為100。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 慢車60x100x快車 448km【等量關(guān)系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程【列出方程】

10、注：涉及此類問題的還有同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行、不同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問題就會(huì)迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。（）結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應(yīng)用。1） 相向而行+背向而行例：A，B兩地相距，小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過后兩人相遇；再過，小明余下的路程是小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？ 【分析】如果設(shè)小明騎車的速度為，小麗騎車的速度為，相遇前小明走過的路程為，小麗走過的路程為；相遇后兩人背向而

11、行，小明走過的路程為，小麗走過的路程為。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 小明 小麗 相遇前xyAB36kmx-0.5y0.5y0.5xy-0.5x小麗小明【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程 相遇后小明余下的路程=2相遇后小麗余下的路程【列出方程組】2)同向而行+相向而行例：一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35千米/時(shí)的速度前進(jìn)，突然，1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/時(shí)的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合。1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與其他隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】由題意“1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10

12、千米后掉轉(zhuǎn)車頭”可知1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時(shí)間為，不妨設(shè)1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合的時(shí)間為。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊(duì)員 1號(hào)隊(duì)員35x45x10km【等量關(guān)系式】1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時(shí)間所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)1號(hào)隊(duì)員走的路程=10?！玖谐龇匠獭孔ⅲ荷婕按祟悊栴}的還有同向而行+相背而行、追及+同向而行、追及+相背而行、追及+相向而行，只要把它們分成單個(gè)類型，按照題意一步一步求解，這里就不一一舉例了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。舉一反三：1.甲，乙兩人

13、從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯40級(jí)，乙平均每分鐘爬樓梯50級(jí)，甲先出發(fā)，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)樓頂。問從樓底到樓頂共有樓梯多少級(jí)？2甲，乙兩人在相距的兩地相背而行，后甲，乙兩人相距，已知甲的速度為，求乙的速度。3.小彬和小明每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，（1如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，小彬站在他前面10米處，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小明能追上小彬。4.一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營(yíng)訓(xùn)練。他們以的速度行進(jìn)，走了的時(shí)候，學(xué)校要將一個(gè)緊急通知傳給隊(duì)長(zhǎng)。通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以的速度按原路追上去，隊(duì)長(zhǎng)出發(fā)后經(jīng)過

14、多少時(shí)間接到通知？5.兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)，沿一條公路開往B地。甲車比乙車每小時(shí)多行8千米，甲車比乙車早40分鐘到達(dá)途中的C地，當(dāng)乙車到達(dá)C地時(shí)，甲車正好到達(dá)B地。已知C至B地的路程是40千米，求乙車每小時(shí)行多少km？6.A，B兩地相距，甲，乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。已知甲車速度為，乙車速度為，經(jīng)過多少小時(shí)兩車相距。7甲乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，在相距900千米的AB兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是每小時(shí)25千米，乙車的速度是每小時(shí)20千米。請(qǐng)問：（1）甲車第一次從后面追上乙車是在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間？（2）甲車在第一次從后面追上乙車之后又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第二次從后面追上乙車？（3）甲

15、乙兩車第二次迎面相遇是在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間？4.行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，此類問題同學(xué)們做起來覺得無(wú)從下手。其實(shí)只要把路程看做單位“1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解），這就相當(dāng)于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要，乙開汽車從A地到B地需要，如果甲，乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)后兩車相遇?！痉治觥款}目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道A與B的距離，就可以得出A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無(wú)論取什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇呢？為此，我們不妨設(shè)A與B的距離為,經(jīng)過后兩車

16、相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：，可以把兩邊的消去，得到方程，立馬得出。說明路程無(wú)論取什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”。舉一反三：1.甲從A地到B地需要，乙從A地到B地需要，甲，乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，甲先到達(dá)B地后掉頭向A方向行駛，問，甲，乙兩人從A地同時(shí)出發(fā)到兩人相遇需要多長(zhǎng)時(shí)間？2.甲開汽車從A地到B地需，乙騎摩托車從B地到A地需。如果乙騎摩托車從B地出發(fā)往A地，后甲開汽車從A地往B地，那么甲出發(fā)多少時(shí)間與乙相遇？5.環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)

17、第一次相遇時(shí)，兩人所走路程差為一周長(zhǎng)；相向而行，第一次相遇時(shí)，兩人所走路程和為一周長(zhǎng)。例1：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長(zhǎng)，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一地點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過兩人第二次相遇呢？如果不是，請(qǐng)說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹椋瑒t小紅的跑步速度為【等量關(guān)系式】小紅跑的路程爺爺跑的路程=400m【列出方程】注：再過兩人第二次相遇，用上面那個(gè)方程式就可以表示出來。例2：甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車的速度較快，當(dāng)兩車反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每相遇一次;當(dāng)兩車同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每相遇一次，求兩

18、車的速度。【分析】設(shè)甲，乙兩車的速度分別為和?！镜攘筷P(guān)系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng) 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng)【列出方程組】舉一反三：1.甲，乙兩人在周長(zhǎng)長(zhǎng)的環(huán)形跑道上競(jìng)走，已知乙的速度是，甲的速度是乙的1.25倍，乙在甲前。問多少分鐘后，甲可以追上乙？2.甲，乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行，每隔相遇一次;同向而行，每隔相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲，乙兩人每分鐘個(gè)跑幾圈？6.水流問題一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度 水速：水流動(dòng)的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣软標(biāo)?船速水速逆速=船速水速船行速度