橢圓中兩個(gè)最大張角

1、-作者xxxx-日期xxxx橢圓中兩個(gè)最大張角【精品文檔】橢圓中的兩個(gè)最大張角在橢圓中有兩個(gè)比較特殊的角，一個(gè)是短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的張角，另一個(gè)是短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)到長軸上兩個(gè)頂點(diǎn)的張角，它們都是橢圓上任意一點(diǎn)到這兩對(duì)點(diǎn)的所有張角中最大的兩個(gè)角，它們有著重要的應(yīng)用，給解決一些問題帶來很大的方便，現(xiàn)歸納如下：一兩個(gè)重要結(jié)論XYOP命題1如圖：已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大。分析：，而在為減函數(shù)，只要求的最小值，又知，利用余弦定理可得。證明：如圖，由已知：，所以，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）由余弦定理得：（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以當(dāng)時(shí)，的值最小，因?yàn)椋源藭r(shí)最大。即點(diǎn)為橢

2、圓短軸的端點(diǎn)時(shí)最大。 命題2如圖：已知為橢圓長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大。XYOQABP分析：當(dāng)最大時(shí)，一定是鈍角，而在上是增函數(shù)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，再求的最大值。證明：如圖，不妨設(shè)，則 ，所以， 則，又，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，所以當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大。二兩個(gè)結(jié)論的應(yīng)用 利用上面兩個(gè)結(jié)論，在解決一些問題帶來很大的方便：例1已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)使得，求橢圓離心率的取值范圍。分析：因?yàn)榇嬖?，所以只要最大角，即，即，也就是，從而求出的范圍。解析：由結(jié)論1知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大，因此要最大角，即，即，也就

3、是，解不等式，得，故橢圓的離心率。例2設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn)，已知是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，求的值。分析：由結(jié)論1知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大，且最大角為鈍角，所以本題有兩種情況：或。解析：由已知可得，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大且為鈍角，由結(jié)論1知，橢圓上存在一點(diǎn)，使為直角，又也可為直角，所以本題有兩解；由已知有（1）若為直角，則，所以，得，故；（2）若為直角，則，所以，得，故。評(píng)注：利用最大角知道，可以為直角，從而容易判斷出分兩種情況討論，避免了漏解的情況。例3已知橢圓,長軸兩端點(diǎn)為，如果橢圓上求這個(gè)橢圓的離心率的取值范圍。分析：由結(jié)論2知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大，因此只要最大角不小于即可。解析：由結(jié)論2知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大，因此只要，則一定存在點(diǎn)，使，即所以,得，故橢圓的離心率的取值范圍是。三鞏固練習(xí)：1已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍。2已知橢圓，是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。答案：1解：由結(jié)論1知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),最大，若此時(shí)，則有：，又，所以，因?yàn)闄E圓越扁，這樣的點(diǎn)一定存在，所以的取值范圍為： 。2解：由結(jié)論1知，當(dāng)點(diǎn)越接近短軸的端點(diǎn)時(shí)，越大，所以