工學(xué)第七章歐氏空間課件

1、第七章歐氏空間一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo)1熟練掌握向量的內(nèi)積，夾角，長(zhǎng)度，距離概念；2掌握schwarz不等式及應(yīng)用；3理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，求法及應(yīng)用，了解子空間正交補(bǔ)的概念及應(yīng)用；4理解正交變換，正交矩陣的概念、性質(zhì)及關(guān)系；5理解對(duì)稱變換的概念，性質(zhì)及其與對(duì)稱矩陣的關(guān)系。熟練掌握對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣的正交化方法。二、重點(diǎn)：二、重點(diǎn)：內(nèi)積，歐氏空間，正交，標(biāo)準(zhǔn)正交組，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交變換，對(duì)稱變換。三、難點(diǎn)：三、難點(diǎn)：正交變換，對(duì)稱變換。四、課時(shí)：四、課時(shí)： 20學(xué)時(shí)1工學(xué)第七章歐氏空間向量的內(nèi)積 定義定義1 1 設(shè)v是r上一個(gè)向量空間，如果 .v、有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)記作 .與它對(duì)應(yīng)，并且滿足：;

2、 、）, ）,;aa ）, 當(dāng)時(shí)，;0這里 ,va r 、 、 是 中任意向量、則叫向量 與的內(nèi)積，而v叫做對(duì)這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)的一個(gè)歐氏空間，記作 ).,(、v2工學(xué)第七章歐氏空間說(shuō)明：定義中的 1）4）稱為內(nèi)積公理。這里把內(nèi)積的符號(hào)記為 ,主要是與 3v中內(nèi)積相區(qū)別，也就是說(shuō) , 是對(duì)實(shí)數(shù)域上 的所有向量空間通用的符號(hào)。 今后，談到歐氏空間 nr，如無(wú)特殊情況，它的內(nèi)積為：1,nnnkx y 3工學(xué)第七章歐氏空間內(nèi)積的性質(zhì)： （1） v，有 00 ，（2）如果 v，有 00，特別地，若 00,（3） 有rav,aa；（4） rbbaav；nrnr1111,njrinjjijijjiriibaba

3、：1111,有4工學(xué)第七章歐氏空間定義2 設(shè) ：v為的長(zhǎng)度，則， 向量的長(zhǎng)度是零,非零向量的長(zhǎng)度是正數(shù) aa 長(zhǎng)度是1的向量，稱為單位向量。即 則1為單位向量 任一非零向量 ，都可以化為單位向量 事實(shí)上： 則, 0即為單位向量 說(shuō)明：說(shuō)明：5工學(xué)第七章歐氏空間定理定理1 1 在歐氏空間中， v，有：)1 (,2，當(dāng)且僅當(dāng) 與線性相關(guān)，等式成立。 .)(),(,11nnnnrbbaar取中在,11nnbaba則由定理1得： )()(221221211nnnnbbaababa這正是大家熟知的cauchy（柯西）不等式。說(shuō)明：6工學(xué)第七章歐氏空間因此我們也把不等式（）叫cauchyshwarz不等式

4、。在 中， , c a b,bacgf，規(guī)定 ,baf gfgdx則 22bbbaaafgdxfdxg dx這也是大家熟知的shwarz(施瓦茲)不等式。 ：v 則, ，當(dāng) 與正交時(shí)，等式成立。 稱為內(nèi)積勾股定理。 7工學(xué)第七章歐氏空間設(shè),是歐氏空間 v的兩個(gè)非零向量. 與的夾角為.定義: ,cos說(shuō)明說(shuō)明: : 222,. 1,1這樣定義是符合意義的, 且 和的夾角 是唯一確定的 ), 0(上在定義定義3 38工學(xué)第七章歐氏空間 由 ,cos則: ,arccos 當(dāng) .0,. 0cos,2正交與稱即時(shí)補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義: : 零向量與任意向量均正交. 推廣：推廣：在歐氏空間中， n與向量中每個(gè)

5、向量正交.則 1與的任意線性組合也正交.即 0,0,1niiiia9工學(xué)第七章歐氏空間與則v定義定義4 4 在歐氏空間中. ,v 的距離 ),(d說(shuō)明：說(shuō)明： 與的距離實(shí)際是 的長(zhǎng)度. 距離的性質(zhì): （i）正定性：當(dāng) :0),(,d時(shí)(ii) 對(duì)稱性： );,(),(dd(iii) 三角不等式： ).,(),(),(ddd稱(i)、(ii)、(iii)為距離公理。（iii）在解析幾何中的意義是：三角形兩邊之和大于第三邊。10工學(xué)第七章歐氏空間定理定理2 2 如果w是歐氏空間v的一個(gè)子空間，那么對(duì)v的內(nèi)積來(lái)說(shuō)，w也是一個(gè)歐氏空間。11工學(xué)第七章歐氏空間7.2 正交基正交基定義 1. 歐氏空間中的

6、一組兩兩正交的非零向量 叫的一個(gè)正交組。如果這組向量都是單 位向量。則稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組。 說(shuō)明： 正交組是線性無(wú)關(guān)的向量組。 在維歐空間中.兩兩正交的非零空間向量個(gè)數(shù)不超過(guò)n個(gè).在面幾何中.正交的非零向量是有兩個(gè).在空間解幾中.正交的非零向量是有3個(gè). 特別:如果 是n維歐氏空間的一組正交組.則稱 為v的一個(gè)正交基.如果 是n維歐氏空間v的標(biāo)準(zhǔn)正交基.則稱為v的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.n1n1n112工學(xué)第七章歐氏空間定理1 向量 關(guān)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的第i個(gè)坐標(biāo)等 于 與第個(gè)基向量的內(nèi)積. 定理2 設(shè) 是歐氏空間v的一個(gè)線性無(wú)關(guān)組，那么可以求出v的一個(gè)正交組 使得 可由 線性表示出。（k=1，2，m

7、）。maa 1m1說(shuō)明： kmaa 1 此定理不僅給出標(biāo)準(zhǔn)正交組是存在的。而且給出一個(gè)具體求正交組的方法。使得我們可由任一個(gè)線性無(wú)關(guān)組出發(fā)得出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組，這種方法叫正交化方法。有的書上稱為施密特正交化方法。 對(duì)于n 維歐氏空間v，如果 是v的基。則由正交化方法可得到v的一個(gè)正交基。 進(jìn)而得到v 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基 即n維歐氏空間v一定有正交基。因而有標(biāo)準(zhǔn)正交基。 n， 11nnn1111 稱為正交化公式。 11111111kkkkkkkk13工學(xué)第七章歐氏空間定義2. 一個(gè)n階實(shí)矩陣叫做一個(gè)正交矩陣，如果： iuuuu說(shuō)明：由定義得： 說(shuō)明： uu1 定理3：維歐氏空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基到另一個(gè)標(biāo)

8、準(zhǔn) 正交基的過(guò)渡矩陣的正交矩陣。 （1）給出兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣所具有的屬性。 （2）由定理可以得到：如果 是標(biāo)準(zhǔn)正交基,是正交矩陣，則由 = 得到是標(biāo)準(zhǔn)正交基。21n，,21n，,21n，14工學(xué)第七章歐氏空間定義3、設(shè)w是歐氏空間v的一個(gè)非空子集.如果 ,且 與w中每一個(gè)向量正交，則稱 與w正交，記為:v0,ww或說(shuō)明： v中與w正交的向量所成的子集記為 , w0,/wvw即 www是v的一個(gè)子空間.15工學(xué)第七章歐氏空間定理4. 令w是歐氏空間v的一個(gè)有限維子空間. 那么wwv因而v中每一向量可以唯一寫成這是 , .是唯一的.ww定理5 設(shè)w是歐氏空間v的一個(gè)有限維子空間， 是v的任

9、意向量，是在w上的正射 影，那么對(duì)于w中任意向量 .都有 說(shuō)明: 把在上的正射影叫做到的最佳逼近.16工學(xué)第七章歐氏空間定義定義4 4 歐氏空間 vv與是同構(gòu)的，如果： （i）存在 vv到的一個(gè)同構(gòu)映射： :vvf（ii）對(duì) ,v 都有 )(),(,ff說(shuō)明：說(shuō)明： （ii）稱為保內(nèi)積不變 如果 f是歐氏空間 vv到的同構(gòu)映射，則 f是向量空間 vv到的同構(gòu)映射，因而同構(gòu)的 歐氏空間有相同維數(shù)。 定理定理6 6 說(shuō)明：說(shuō)明： 任意n維歐氏空間與 nr同構(gòu)。 兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu) 維數(shù)相等。 歐式空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定。 17工學(xué)第七章歐氏空間7.3 7.3 正交變換正交變換定義定義1

10、.1.歐氏空間 的一個(gè)線性變換 叫做一個(gè)正交變換。如果對(duì)于任意 。都有：vv| )(|說(shuō)明：保持向量長(zhǎng)度不變的線性變換叫正交 變換。（旋轉(zhuǎn)變換，鏡面反射等都是正交變換）。18工學(xué)第七章歐氏空間 定理定理1.1. 設(shè) 是歐氏空間的一個(gè)線性變換。則),.()(),(,v（保持內(nèi)積不變） 是正交變換 （ ）|)(|v（保持長(zhǎng)度不變）說(shuō)明：正交變換保持夾角不變把 的標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成標(biāo)準(zhǔn)正交基。 v 關(guān)于 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是正交矩陣。v19工學(xué)第七章歐氏空間7.4 7.4 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣陣定義2 若 是數(shù)域 上 階矩陣，如果afna等于它的轉(zhuǎn)量，即 ，則稱 是對(duì)稱矩陣。aa a定

11、義1 設(shè) 是歐氏空間 的一個(gè)線性變換。v( ),( ) 則稱 是一個(gè)對(duì)稱變換。如果對(duì) ，有v,20工學(xué)第七章歐氏空間定理定理1 1 設(shè) 是歐氏空間 的一個(gè)線性變換，v 是對(duì)稱變換 關(guān)于 的標(biāo)準(zhǔn)v正交基的矩陣是對(duì)稱矩陣。說(shuō)明：對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣是1-1對(duì)應(yīng)的。定理定理2 2 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根都是實(shí)數(shù)。說(shuō)明：由于我們是在實(shí)數(shù)域上引入向量的“內(nèi)積”概念，即歐氏空間都是在實(shí)數(shù)域上進(jìn)行討論的，故對(duì)稱變換 的特征多項(xiàng)式的根都是 的特征根。21工學(xué)第七章歐氏空間定理定理3 3：n維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱變換的屬于不同特征根的特征向量彼此正交。說(shuō)明：一個(gè)線性變換關(guān)于不同特征根的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。定理定理4

12、4：設(shè) 是n維歐氏空間 的一個(gè)對(duì)稱變換那么存在 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得 關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式。vv說(shuō)明： 歐氏空間 的對(duì)稱變換可以對(duì)角化。v即如果 是對(duì)稱變換，則存在 的標(biāo) 準(zhǔn)正交基。使得 關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式。 v22工學(xué)第七章歐氏空間要使 有一個(gè)正交基，而 在這個(gè)基下的矩陣是對(duì)角形式，則 一定是對(duì)稱變換。即對(duì)稱變換 可以使 有一個(gè)由 的特征向量組成的正交基。vv 對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣1-1對(duì)應(yīng)，則由對(duì)稱變換可對(duì)角化到對(duì)稱矩陣可對(duì)角化。即設(shè) 是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣。則存在一個(gè)n階正交矩陣 使得 是對(duì)角形式。 auauu23工學(xué)第七章歐氏空間 最后我們給出具體求最后我們給出具體求u u

13、的方法的方法: : 由 故 第七章給出的求可遞矩陣 的方法。 是對(duì)角形式,但這樣求出的 ,一般說(shuō)來(lái)還不是正交矩陣。( 是過(guò)渡矩陣),然而,注意到 的列向量是 的特征向量.對(duì)于不同特征根的特征向量來(lái)說(shuō)是彼此正交的.因此,我們還需要再對(duì) 中同一個(gè)特征根的線性無(wú)關(guān)向量施行正交化手續(xù)就得到了要求的 .具體步驟:.1 uu.1auub. baatt1tttttau24工學(xué)第七章歐氏空間 1）求出 的特征根 是 的不同特征根; 2）對(duì)每一 ;解方程組: 得基礎(chǔ) 解系.這就是 的一組基.由這組基施行正交 化,得到 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 。 3）以這些標(biāo)準(zhǔn)正交基為到向量排成一列 即為所求。aat1i10inxia

14、x（）ivivkii,1utitktikikk),;,;,;,(112211112125工學(xué)第七章歐氏空間7.5 酉空間定義1. 設(shè)v是復(fù)數(shù)域上一個(gè)向量空間，如果對(duì)于v中任意一對(duì) 、向量，有一個(gè)確定的復(fù)數(shù) 與它們對(duì)應(yīng)，則，叫做與的內(nèi)積，并且下列條件滿足： ,1） ， 是 的共軛復(fù)數(shù)；,2） ,3） ;,aa4） 是非負(fù)實(shí)數(shù),并且當(dāng) 時(shí)， ， 是v中任意向量, 是c中任意數(shù)，那么v叫做對(duì)于這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)是一個(gè)酉空間。0,0,26工學(xué)第七章歐氏空間設(shè)v是酉空間，則 （1） （2） , ,aaa _a是 的共軛（3） 0, 00,（4） jiminjjinjjjmiiibaba,1111 27工學(xué)第七

15、章歐氏空間定義2 設(shè) 是酉空間, 為 的長(zhǎng)度。v,則v說(shuō)明： 當(dāng) 00時(shí)當(dāng) 0,0時(shí)當(dāng) 的單位向量為稱時(shí)v,1 aavca則,定理1. 設(shè) 是酉空間, 當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，等式成立.即：柯西施瓦茲不等式在酉空間中也成立。v,2則v,與28工學(xué)第七章歐氏空間 定義3. 設(shè) 是酉空間， 時(shí)， 稱 正交.v0,當(dāng)v與 說(shuō)明：零向量與任意向量相交。 定義 4. 的一組兩兩正交的向量組叫 的一組正交組， 的正交組中每一個(gè)向量都是單位向量，則稱該正交組為一個(gè)規(guī)范正交組。vvv說(shuō)明：與歐氏空間一樣,設(shè)v是n維酉空間則： 中兩兩正交的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組 叫的 一個(gè)正交基。vn1v 中兩兩正交的個(gè)線性無(wú)關(guān)的

16、單位向量 叫的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。vn1 中一組線性無(wú)關(guān)的向量組，總可以用施密特正交化方法進(jìn)行正交化，并擴(kuò)充成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。v29工學(xué)第七章歐氏空間定義5. 設(shè) 是酉空間 的一個(gè)有限維子空間令 則 是 的子空間，稱為 的正交補(bǔ)，且 . wv,0,/vvwwvwwwv定義6. 設(shè) 是 n階復(fù)矩陣，如果 則稱為一個(gè)酉矩陣。uiuuuu（其中 的共軛）ijijijuuuu是),( 1uu定理2. n維酉空間一個(gè)規(guī)范正交基則另一個(gè)規(guī)范正交基的過(guò)渡矩陣是一個(gè)酉矩陣。30工學(xué)第七章歐氏空間7.6 7.6 酉變換的對(duì)稱變換酉變換的對(duì)稱變換定義定義1:1: 酉空間的一個(gè)線性變換是一個(gè)酉變換. 如果 都有,v , 與歐氏空間平行,有:是維的酉空間的一個(gè)線性變換,則是酉變換 把規(guī)范正交基變?yōu)橐?guī)范正交基 關(guān)于規(guī)范正交基的矩陣是酉矩 陣說(shuō)明:31工學(xué)第七章歐氏空間定義定義 2:2: 酉空間了 的一個(gè)線性變換叫做一 個(gè)對(duì)稱變換(也稱為厄米特變換).如果 對(duì) 都有v,v)(,),(定義定義 3:3: 階復(fù)矩陣 是一個(gè)埃爾米特矩陣,如 果 。 nhhh1 實(shí)對(duì)稱矩陣 是